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基本电路理论

第四章电阻性网络的一般分析与网络定理

电子信息与电气工程学院

2004年7

月上海交通大学本科学位课程

第四章电阻性网络的一般分析与网络定理

电路分析方法传统上一般分为两大类：

•等效变换方法

•力图减小求解电路所需的独立方程数的方法

(关键是选择合适的电路变量)

在电路理论中除特勒根定理外，还有替代定理、

迭加定理、戴维宁和诺顿定理以及互易定理等。

它们主要用于简化网络的计算。通过对这些定理

的讨论，将加深对网络性质的理解。对于网络定

理，除了要掌握定理的内容外，还要了解网络定

理适用的范围和一些限制条件。

§4.1 回路分析法

基本要求：

熟练掌握用视察法列回路方程和网孔方程

掌握含受控源电路回路方程的列写

用虚回路法列写无伴电流源电路回路方程

§4.1 回路分析法

回路分析法是以各回路电流作为未知变量来列

写方程，所得方程称回路方程。

由于网络的独立回路数总小于支路数，所以，

回路分析法可以减少求解网络所需的联立方程

数。

从回路方程求得回路电流以后，再求出各支路

电压和电流。

右图三回路网络，规定了支

路电流的参考方向，指定了

回路电流i

m1、i

m2和i

m3的参

考方向。

根据KVL、KCL和支路特性，并用回路电流i

m1、i

m2和i

来表示的回路方程为

1454511

42466226

5635636ms

mss

msRRRRRiv

RRRRRivv

RRRRRiv







3R

5i3i

3mi

1mi1i2i4i

2mi6R5R6Sv

1R2R

1Sv2Sv①②③

④§4.1 回路分析法

简写成1454511

42466226

5635636ms

mss

msRRRRRiv

RRRRRivv

RRRRRiv





111213111

212223222

313233333ms

msRRRiv

RRRiv

RRRiv





11称回路1的自电阻；R

22称回路2的自电阻；R

33称回路

3的自电阻；自电阻总是正的。

12 = R

21，为回路1和回路2公共支路的电阻，称回路1和

回路2的互电阻。互电阻可正，可负。

s11表示回路1中所有电压源电压升的代数和。§4.1 回路分析法

具有m个回路的线性电阻网络方程

简写成RI = V

S11121111

21222222

12mms

mms

mmmmmmsmmRRRiv

RRRiv

RRRiv















式中I 为回路电流列向量，V

S为回路电压源列向量，

系数矩阵R称回路电阻矩阵，为对称矩阵。

ii称为第i个回路的自电阻

ij是第i个回路与第j个回路的互电阻

ij= R

ji，即回路电阻矩阵具有对称性§4.1 回路分析法

上式的解式为11121111

21222222

12mms

mms

mmmmmmsmmRRRiv

RRRiv

RRRiv













1,2,,m

misjjji

jivim



，

式中11121

21222

12m

mmmmRRR

RRR

RRR





§4.1 回路分析法

如果取网孔作回路的回路分析法，称网孔分析

法。

网孔分析法是以各网孔电流作为未知变量来列

写方程，所得方程称网孔方程。从网孔方程求

得网孔电流以后，再求出各支路电压和电流。

取网孔作回路所列方程一定是独立的，且比较

方便。只是网孔分析法仅适用于平面网络。§4.1 回路分析法

具有m个网孔的线性电阻网络方程

简写成RI = V

S11121111

21222222

12mms

mms

mmmmmmsmmRRRiv

RRRiv

RRRiv















式中I 为网孔电流列向量，V

S为网孔电压源列向量，

系数矩阵R称网孔电阻矩阵，为对称矩阵。

ii称为第i个网孔的自电阻

ij是第i个网孔与第j个网孔的互电阻

ij= R

ji，即网孔电阻矩阵具有对称性§4.1 回路分析法

例试用网孔分析法

求图示网络中通过R的

电流i

解用视察法可得网孔矩阵方程

解得i

R= i

2= -4880/5104 = -0.956A1

32441020

420820

1082040I

I





20V4

10240V

8R810

2I1I3I§4.1 回路分析法

例试列出图示网络的网孔

方程。

解将受控源当独立电源来处理，用视察法写网络方程

用网孔电流表示受控源的控制变量，即i

2= i

m1-i

m212211

223232ms

mRRRiv

RRRii



12211

2323320ms

mRRRiv

RRRi



网络含有受控电源时，其互电阻R

12≠ R

211R

2R2i

1mi

2mi1Sv

32ri§4.1 回路分析法

§4.1 回路分析法

例具有纯电流源支路

(无伴电流源支路)网络

网孔方程的建立

4SVSI

5R2R

2I1I

3SV

虚网孔电流法：取一个网孔电流，且仅仅一个网孔电流流经电流源。

由于该网孔电流就等于电流源电流，该网孔电流如同虚设，故称虚网

孔电流法。

1=I

-R

1+(R

1+R

3+R

4)I

2-R

3=-V

S3-V

-R

1-R

2+(R

2+R

4+R

5)I

3=V

S4

例求输入电阻R

iR25

10010k10k10.99I

解设输入端电压为V

1，并将受控电流源等效变换成

受控电压源，求出输入电流I

1，即可求得R

i= V

1/ I

175

I

1V25

100

10k10k1I19900I

2I§4.1 回路分析法

求得：

§4.2 节点分析法

基本要求：

熟练掌握用视察法列节点方程

掌握含受控电源电路的节点方程列写

含无伴电压源电路的改进节点方程列写

§4.2 节点分析法

节点分析法是以各节点的电位作为未知变量来

列写方程(节点方程)。

任选一个节点为基准节点(参考节点)，且电位

恒取为零。其他节点的电位就是它们与基准节

点之间的电压，称为节点电压。

从节点方程求得节点电压以后，再求出各支路

电压和电流。

根据KCL、KVL和支路特性，

以节点电压v

n1、v

n2和v

n3表示

的网络节点方程为在右图网络中，已标出各支路

电流的参考方向。网络共有四

个节点，选节点④为基准节点。

13553111

54566266

3623632266ns

nssGGGGGvGv

GGGGGvGv

GGGGGvGvGv





3R

5i3i

4i6R

5R6Sv

1Sv

2Sv①②③

④§4.2 节点分析法

电路分析基础李瀚荪版配套课件第四章

第四章

分解方法及单口网络

4-1 分解的基本步骤 4-2 单口网络的伏安关系 4-3 单口网络的置换－置换定理 4-4 单口网络的等效电路 4-5 戴维南定理 4-6 诺顿定理

4-7 最大功率传递定理 4-8 T形网络和П形网络的等效变换

单口网络：由元件相连接组成、对外只有两

个端钮的网络整体称为二端网络或单口网络，二端网络或直接称为单口。单口

§4-1 分解的基本步骤

1. 把给定的网络分为两个单口网络 N1和N2。 2. 分别求N1，N2的VCR。 3. 联立VCR，或由它们伏安特性曲线交点，求单口网络端钮上的电压u和电流i。 4. 分别求单口网络N1，N2中的电压，电流。

u Us Q

Us/R

{ u = Ri

u = Us

{ i =U / R

u = Us

Q：工作点，坐标（Us/R，Us）

§4-2 单口网络的伏安关系

求解单口网络的伏安关系方法： 1. 列电路方程：求u-i关系。列电路方程： 2. 外施电流源求电压法：端钮上加电流源，求入端电压，得到u-i关系。 3. 外施电压源求电流法：端钮上加电压源，求入端电流，得到u-i关系。

例1：求图示含电源和电阻的单口网络的 VCR。

例2：求图示含电源、电阻和受控源的单口网络的VCR。

例3：求图示只含电阻的单口网络的VCR。

(1)外施电压源法

4 2

(2)外施电流源法

§4-3

单口网络的置换—置换定理

若网络N由两个单口网络 N1 或 N2 连接组成，且已知端口电压和电流值分别为 u=α ， i=β ，则 N2 （或 N1 ）可用一个电压

为α的电压源或用一个电流为β的电流源置换，不影响 N1 （或 N2 ）

内各支路电压、电流原有数值。

例1：求图示电路的各支路电流。

i1 = 3.75A i2 = 1.5A i3 = 2.25A

第4章分解方法及单口网络

第四章

分解方法及单口网络

4.1 分解的基本步骤

4.2 单口网络的电压电流关系

4.3 置换定理

4.4 单口网络的等效电路

4.5 一些简单的等效规律和公式

4.6 戴维南定理（重点）

4.7 诺顿定理

4.8 最大功率传输定理

4.9 T形和π形网络的等效变换

叠加与分解

叠加方法：可使多个激励或复杂激励电路的求解问题化为简单激励电路的求解问题。仅适用于线性电路

分解方法：可使结构复杂电路的求解问题化为结构较简单的电路的求解问题。还可适用于非线性电路

单口网络的定义

大网络N看成由两个单口网络组成

像N1 、 N2这种由元件相连接组成、对外只有两个端纽的网络整体称为二端网络或单口网络/单口（one-port）。

 4.1 分解的基本步骤

一、基本步骤：

 把给定网络划分为两个单口网络N1和N2 ；

 分别求出N1和N2的VCR（计算或测量）；

 联立两者的VCR或由它们伏安特性曲性的交点，求得N1和N2的端口电压、电流；

 分别求解N1和N2内部各支路电压、电流。 N1 N2 1

1 i +N 二、说明：

 何处划分是随意的，视方便而定：

（全面求解网络角度）

求解端口电压u和端口电流i只是一种手段，故可用最少的联立方程求得结果。

 在工程实际中，电路往往应看成由两个既定的单口网络组成。



 4.2 单口网络的电压电流关系

一、（明确的）单口网络

在单口网络中不含有任何能通过电或非电的方式与网络之外的某些变量相耦合的元件，则称该单口网络为明确的。

二、单口网络的描述方式

1、具体的电路模型

2、端口电压与电流的约束关系

（表示为方程或曲线的形式）

3、等效电路

三、举例

例1 试求如图(a) 电路中实线所示含电压源和电阻的单口网络的VCR及伏安特性曲线。

解法1：单口网络的VCR由其本身性质所决定，与外接电路无关。故可在任何外接电路X（虚线所示）的情况下求它的VCR。

电阻网络

电阻网络问题的求解

问题描述

实验目的：Gauss 消去法是求解低阶线性方程组的基本方法。理解Gauss 消去法的原理和解题步骤，掌握该方法是计算实践的第一步；解对数据误差的敏感性也是计算实践中必须注意的问题。

实验题：电阻三维多层结构网络问题[24]，如图 1.2 所示，假设：

(1) 每一段线段表示一纯电阻，线段的交点为电路连接点；

(2) 当节点i 与j 相连时，用（i，j）表示节点之间的电阻；不直接相连时，它们间的电阻为∞。

(3) 节点 1 处外接地线，节点27 处接电源正极；

(4) 电源的电压为U；记每一节点处的电位为Vi , i=1,2,⋯27 。规定𝑉1=0,𝑉27=𝑈。

根据电路节点法原理，可写出此电网络的方程组：AV=b

其中节点电位向量为(V 1,V2 ,⋯,V26 )𝑇，节点电流向

量为b=(b 2,b 3,⋯,b 26)𝑇，AR25×25为电纳矩阵，其

元素按下法得出：当节点i与i1,𝑖2,⋯,𝑖𝑗相连时，

a𝑖𝑖=1(𝑖,𝑖1)+1(𝑖,𝑖2)+⋯+1(𝑖,𝑖𝑗),i=2,3,⋯,26

𝑎𝑖𝑗=−1(𝑖,𝑗),I,j=2,3,⋯,26;i≠j

𝑏𝑖=−𝑈(27,𝑖),i=2,3,⋯,26 

图1.2 电阻网络

因为与节点 27 直接连接的只有节点18，24，26，故只

有（27，18），（27，24），（27，26）三项的不为∞，即只有b18,𝑏24,𝑏26非零，其余均为零。为了计算简单，设

每线段的电阻为1，电源为+5V。

请你写出具体的线性方程组，你发现系数矩阵具有什么规律性？这些规律性对方程组的求解有什么帮助?

实验步骤与要求(1) 写出方程组的具体形式，注意其稀疏特点，非零元集中在主对角线的附近；(2) 采用Gauss消元法求解它；(3)假设第5-14，13-14，15-14，23-14 的4 条线路上的点阻有4%的增加。讨论问题的解将发生怎样的变化？分析原因，给出你的理由。(4)对这样特点的方程组，你还有什么好的方法？

(完整版)第四章电路定理-讲稿

1 第四章电路定理

线性网络的分析方法有两种：一是以KCL、KVL为基础的分析方法，如支路电流法、网孔电流法、回路电流法、结点电压法。另一种方法是电路定理。利用电路定理将复杂电路化简或将电路的局部用简单电路等效替代，以使电路的计算得到简化。这种方法有：叠加定理、代维南（诺顿）定理等。

第一节叠加定理

叠加定理是线性电路中的重要定理，在线性电路的分析计算中起着重要的作用。

一、齐性原理（线性原理）：

为了说明齐性原理，从一个简单的示例入手，如图4-4-1。

从电路结构可以看出，各电流、电压为：222R1R13322131s32312323211s1iRuuRRRRRRRuRRRiiRRRRRui 可见，任一支路的电流、电压均与电源电压成正比。这一结果具有普遍意义，即在只有一个独立源的电路中，任一部分的电压、电流响应与激励成正比，即齐性原理。

二、叠加定理：

叠加定理适用于多个独立电源作用的电路中。以图4-1-2为例。

求各支路电流和电压u12。利用结点电压法，由此

可见，在具有两个独立电源的电路中，支路电压和支路电流均由两部分组成，一部分与电压源有关，另一部分与电流源有关。可以证明，该结果等于每一个独立电源单独作用于电路时所产生的响应的叠加。证明如下。将图4-1-2分为两个电路图4-1-3（a）、4-1-3(b)。 ss2ss1ss10ss1nss1ni21u41ii21u41iiu21u iu21ui2uu)2121(电压、电流分别为：则 2 （1）当电压源单独作用时，电流源开路。

根据电路结构，电压、电流为：

（2）当电流源单独作用时，电压源短路。

根据电路结构，电压、电流为：

由此可见，)2(u)1(uu)2(i)1(ii)2(i)1(ii101010222111

这个特例具有普遍意义。叠加定理归纳如下：在多个电源作用的电路中，任一支路的电压、电流响应等于电路中每个独立源单独作用于电路产生的响应的代数和。所谓每一个电源单独作用是指其它独立源变为零（电压源短路，电流源开路）。如果电路中有受控源，此类电源不能单独作用于电路。通过例4-1说明。

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电阻网络

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