第二章 线性电阻网络分析
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第2章线性电阻电路分析 (1)
短接： eq = 2 // 3 + 4 // 6 = R
结论：若电路中两点电位相等，则： ① 可将这两点短路 ② 可将这两点之间连接的支路断开 对某些对称性电路可采用此方法处理
例2－4 图2－7所示电路每个电阻都是2Ω, 求a, b两端的等效电阻
解： d c e
根据电路的对称性, 可知 c, d, e三点等电位, 故可用导线短接。
2.1.2 电阻的串联、并联等效变换
主要内容 电阻的串联 电阻的并联 电阻的混联
2.1.2 电阻的串、并联等效变换 1. 串联电路的等效变换及分压关系 电阻首尾相连，流过同一电流的连接方式，称为串联。
VAR: u = u1 + u2 + 鬃 un VAR: u = Req i ? = R1 i + R2 i + 鬃 Rn i ?
须注意的特殊情况 1） 电压源与二端元件并联
+ us 2) 电流源与二端元件串联 is
例：求a，b间的等效电路
2A c 1A 图(1) + 3V a + 2V b
1A
2V +
c
- 3V + a
b 图(2)
2. 实际电压源和实际电流源的等效变换 1) 实际电源的两种模型
R uS i u b a
iS R
2-1
2.1.1 基本概念
二端网络及其等效变换
1. 电阻电路：由电阻元件、独立电源和受控源组成 的电路。 2. 二端网络：具有两个外接端钮的电路，也称单口网 络（一端口网络）。 二端网络分类：无源二端网络，有源二端网络。 二端网络的伏安特性 (VCR) ：关联参考方向的电 压与电流关系式。 I
U = f (I )
电路分析基础第二章--线性电阻电路的分析
2.2 电阻的Y形连接和△形连接及 等效变换
2.2 电阻的Y形连接和△形连接及 等效变换
Y—Δ连接的等效变换的条件： 对应端流入或流出的电流必须保持相等，
对应端之间的电压也必须保持相等，即等效 变换后电路的外部性能保持不变。
2.2 电阻的Y形连接和△形连接及 等效变换
从三角形连接电阻求等效星形连接电阻 的关系式
R1
R 12
R 31 R 12 R 23 R 31
R2
R12
R12 R23 R23 R31R3Fra bibliotekR12
R23 R31 R23
R31
2.2 电阻的Y形连接和△形连接及 等效变换
从星形连接电阻求等效三角形连接电阻
的关系式
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R2 R3 R1
③等效变换时，两电源的参考方向要一 一对应。
④任何一个电动势 E 和某个电阻 R 串 联的电路，都可化为一个电流为 IS 和这个 电阻并联的电路。
2.4 支路电流法
能够用电阻串、并联等效变换公式将电 路化简、并且用欧姆定律求解的电路都是简 单电路；反之，则为复杂电路。
复杂电路的分析与计算的主要内容：给 定网络的结构、电源及元件的参数，要求计 算出网络里各个支路的电流及电压、还有时 要计算电源或电阻元件的功率。
路分析课程中，用等效电源置换原电源后， 不影响外电路的工作状态。
2.3 电源的连接及两种实际电源模 型的等效变换
实际的直流电压源可以看成是由理想的 电压源和电阻串联构成的
U E IR0
实际的直流电流源可以看成是由理想的 电流源和电导并联构成的
I IS GU
第2章 线性网络的基本分析方法和定理
5
2.1.1 电阻串联
图2.2 开关闭合后的实物图 如图2-2所示，当开关闭合时，两个灯泡都亮。把两只小灯泡顺次连接在电路 里，一只灯泡亮时，另一只灯泡也亮。像这样把元件逐个顺次连接起来的电路 称串联电路。
6
2.1.1 电阻串联
图2.3 调换开关位置后的实物图 如图2-3所示，当调换开关位置后，两个灯泡都亮。由以上现象可以得出，串 联电路的电流只有一条路径，通过一个元件的电流同时也通过另一个；串联电 路中只需要一个开关，且开关的位置对电路没有影响。
7
2.1.1 电阻串联
S
I U
U1
U2
I1
R1
I2 R2
图2-4 实例2-2电路图
在电路中，把几个电阻元件依次首尾连接起来，中间没有分支，在电源的作用 下流过各电阻的是同一电流，这种连接方式叫做电阻的串联，如图2-4所示为 两个电阻串联后由一个电源供电的串联电路，通过测量得知总电压U=U1+U2， 电流I=I1=I2，等效电阻R=R1+R2，因此串联电路的特点如下：
R = R1 + R2
（2-3）
由式（2-3）表明：串联电路中的等效电阻等于各个电阻之
和。
实例2-3 将3Ω，6Ω和9Ω三个电阻串联在电路中，其等效
电阻R为多少？
解：因为串联电路中的等效电阻等于各个电阻之和，所以
R=3+6+9=18Ω
12
2.1.1 电阻串联
4．串联电路的功率分配
如图2-4所示，设R1上的电压为U1，功率为P1；R2上的电压为U2，功率为P2 。 根据 U = U1+ U2 得 IR= IR1+IR2 等式两边同时乘以I，得 I2R = I2R1 + I2 R2
2.1.1 电阻串联
图2.2 开关闭合后的实物图 如图2-2所示，当开关闭合时，两个灯泡都亮。把两只小灯泡顺次连接在电路 里，一只灯泡亮时，另一只灯泡也亮。像这样把元件逐个顺次连接起来的电路 称串联电路。
6
2.1.1 电阻串联
图2.3 调换开关位置后的实物图 如图2-3所示，当调换开关位置后，两个灯泡都亮。由以上现象可以得出，串 联电路的电流只有一条路径，通过一个元件的电流同时也通过另一个；串联电 路中只需要一个开关，且开关的位置对电路没有影响。
7
2.1.1 电阻串联
S
I U
U1
U2
I1
R1
I2 R2
图2-4 实例2-2电路图
在电路中，把几个电阻元件依次首尾连接起来，中间没有分支，在电源的作用 下流过各电阻的是同一电流，这种连接方式叫做电阻的串联，如图2-4所示为 两个电阻串联后由一个电源供电的串联电路，通过测量得知总电压U=U1+U2， 电流I=I1=I2，等效电阻R=R1+R2，因此串联电路的特点如下：
R = R1 + R2
（2-3）
由式（2-3）表明：串联电路中的等效电阻等于各个电阻之
和。
实例2-3 将3Ω，6Ω和9Ω三个电阻串联在电路中，其等效
电阻R为多少？
解：因为串联电路中的等效电阻等于各个电阻之和，所以
R=3+6+9=18Ω
12
2.1.1 电阻串联
4．串联电路的功率分配
如图2-4所示，设R1上的电压为U1，功率为P1；R2上的电压为U2，功率为P2 。 根据 U = U1+ U2 得 IR= IR1+IR2 等式两边同时乘以I，得 I2R = I2R1 + I2 R2
线性电阻网络分析
I1
I3
I5
U
R
R I4
I2 R R
R I6R
R
R I7
叠加原理： 在线性电路(linear circuit)中，当有两个或两个以上的独立电 源作用 时，任意 支路的电流或电压，都是各个独立电源单 独作用而其他 独立电 源不作用时，在该支路中产生的各电 流分量或各电压分量的代数和。
例2-6 应用叠加原理计 算图示电路的支路电 流 I6 和电压 U2。
R3
Usi
R4
I6
U2
R6
R5
I5
R3
Usi
R4
I6
U2
R6 I 5 R5
R3
R4
I 6
R6 I 5 R5
U 2
应用叠加原理，应注意以下几点： (1)只能用来计算线性电路的电流和电压，对非线性电路不适用
(2)叠加时要注意电压和电流的参考方向，求和时要注意各电 压量和电流分量的正负, 某电流或电压分量的参考方向与 其对应合成电流或电压的参考方向一致时, 在迭加式中该
电压为 U，参考方
+
向从 a 指向 b。
E1–
I1
求并联支路电压弥尔曼定理 :
+ E–2 R1 I2
a
R2 IS b
I3 + R3 U
–
Ei
U
Gi E i
Ri
Gi
1 Ri
2.6 替代定理 (substitution theorem)
替代定理：任意线性和非线性，时变和时不变网 络，在存在唯一解的条件下，若某支路电压或支 路电流已知，那么该支路就可以用一独立的电压 源或电流源替代(电压源等于该支路电压，电流 源等于该支路电流)，并不影响网络中其余部分 的电流，电压。
线性电阻电路分析方法
u
U oc
开路电压
短路电流
I sc
i
当它向外电路提供电流时，它的端电压u总是小于uS ， 电流越大端电压u越小。
线性电阻电路分析方法
一个实际电压源，也可用一个理想电流源iS与一个 电阻R并联的支路模型来表征其特性。
utistRRit
u
U oc
开路电压
线性电阻电路分析方法
短路电流
I sc
i
二、两种模型的等效变换
Y形电阻 形相 形邻 电电 阻阻 之的 和乘
线性电阻电路分析方法
2、 Y 的等效变换
R1
R12 R 31 R12 R 23
R 31
R2
R 23R12 R12 R 23
R 31
R3
R 31R 23 R12 R 23
R 31
R12
R1R2
R2R3 R3
R3R1
线性电阻电路分析方法
§2.3 实际电源的等效变换
一、实际电压源
实际 电源
u
i
Uo
u
u
U oc
i 实际电源伏安特性
开路电压
短路电流
I sc
i
如果把这一条直线加以延长，它在u轴和i 轴各有一 个交点 Uoc和 Isc 。
线性电阻电路分析方法
一个实际电压源，可用一个理想电压源uS与一个电 阻R 串联的支路模型来表征其特性。
R 23
R1R2
R2R3 R1
R3R1
线性电阻电路分析方法
R
31
R1R2
R2R3 R2
R3R1
2、 Y 的等效变换
R12
R1R2
R2R3 R3
第2章 电阻电路的分析
R6 b
R4
R5
解：
Rab=R1+ R6+(R2//R3)+(R4//R5)
电阻混联电路的等效电阻计算，关键在于正确找 出电路的连接点，然后分别把两两结点之间的电阻进 行串、并联简化计算，最后将简化的等效电阻相串即 可求出。
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例2：如图 (a)所示，电源US 通过一个T型电阻传输
注意：等效变换是对外电路而言，即变换前后端口处 的伏安关系不变，即a、b两端口间电压均为U，端口 处流入或者流出的电流I相同。
电压源
电流源
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两种电源模型等效变换的条件是：
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等效互换的原则：当外接负载相同时，两种电源模
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现以下图所示电路为例来说明导出节点电位法的过 程：（设b点为零电位点）
US1 U I1 R1 US2 U I 2 R2
US3 U I3 R3
U I 4 R4 0
I1
U S1 U R1
I2
U S2 U R2
I1 I2 I3 I4 0
(2)总电流等于各分支电流 之和。 I=I1+I2 (3) 总电阻的倒数等于各电 阻倒数之和。即 1 1 1 RR R 1 2 R R1 R2 即: R R
1
+
R1 U
R2
R
U
– b (a)
– b (b)
2
图1-16 电阻的并联
(4) 并联电阻电路 的分流关系为: I1
线性电阻网络分析
提高稳定性
选择适当的电阻值
选择适当的电阻值可以减小元件之间的电压和电流差异，从而提高 稳定性。
增加元件容差
元件容差是元件参数的允许误差范围，增加元件容差可以降低元件 参数对电路性能的影响，提高稳定性。
优化网络拓扑
通过优化网络拓扑结构，可以减小元件之间的耦合效应，提高稳定性。
优化元件参数
选择适当的电阻材料
在物联网和智能电网中的应用
物联网
在物联网领域，电阻网络可以应用于传感器网络中，用于监测各种物理量如温度、湿度、压力等，实现远程数据 采集和传输。
智能电网
在智能电网中，电阻网络可以用于实现电能计量、故障检测等功能，提高电网的智能化水平和供电可靠性。同时， 电阻网络也可以用于可再生能源并网发电系统的电能质量监测和调控。
电感元件
表示为纯电感，其电流与电压的相 位差为90度。
02
线性电阻网络的数学模型
电路方程
01
02
03
基尔霍夫电流定律
在电路中，流入节点的电 流等于流出节点的电流。
基尔霍夫电压定律
在电路中，任意两点之间 的电压等于电位降落。
欧姆定律
在电路中，电阻元件两端 的电压与流过它的电流成 正比。
节点电压法
03
线性电阻网络的性能分析
电压与电流的关系
1 2
欧姆定律
在线性电阻网络中，电压和电流成正比关系，即 V=IR，其中 V 是电压，I 是电流，R 是电阻。
串联和并联
在串联电路中，总电压等于各电阻上的电压之和； 在并联电路中，总电流等于各支路电流之和。
3
分压和分流
在串联电路中，电阻越大，其上的电压越高；在 并联电路中，电阻越小，其上的电流越大。
第二章 电阻电路的分析
第一节 引言
电阻电路 分析方法
仅由电源和线性电阻构成的电路
（1）欧姆定律和基尔霍夫定律 是分析电阻电路的依据； （2）等效变换的方法,也称化简的 方法
电路的等效变换
1. 两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个 端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电 路为二端网络(或一端口网络)。 无 源 i 无 一 i 源 端 口
c
8 5 2
8
8
c
8
8
c
2
8
d
2
2
d
2
a
d
b
a
Rab 不变
b
2
a
b
断开c、d 短路c、d c和d为等电位点 2 8 ( 2 2)( 8 8) Rab 2 3.2 Rab 3.2 28 ( 2 2) ( 8 8)
课堂分析： a 2欧 b c 6‖3=2欧
R1 Rk Rn
R eq 等效
i
+
+ u1
_ + U _ + u _ k n
i
u _
u
_
由欧姆定律
u R1i RK i Rn i ( R1 Rn )i Req i
Req R1 Rk Rn Rk Rk
k 1 n
结论：
课堂分析：
（1）S1和S5闭合。其他断开。 （2）S2、S3和S5闭合。其他断开。 （3）S1、S3和S4闭合。其他断开。 （2）Rab=R1+R2//R3 //R4=1+1/3=1.33欧 （3）Rab=R1//R4 =0.5欧
第二章 等效变换
例2：
求图2-9a电路中电流 I1, I2, I3 , I4。
I
I2 I1
解: 思路
Δ→Y
Req
I
Rb
48 2, 同理, 求得 : Rc 2, Rd 1, Req (1 Rb ) //(5 Rd ) Rc 4 4 48 1 Rb 18 I 3 A, 由分流公式, 可得: I1 I 1A, I 2 I I1 2 A 2 Req 1 Rb 5 Rd U db 5 I1 1 I 2 I3 0.75 A, I 4 I1 I 3 1.75 A 4 4
根据电路的对称性, 可知 c, d, e三点等电位, 故可用导线短接。
8 2 8 2 3 3 2 16 Req [( 2 // 1) 2] //(2 // 1) 2 // 2 8 2 3 3 15 3 3
§2-4电阻的Y－Δ 等效变换
R1, R2, R3 Y(星)形连接 R3, R4, R5 R1, R3, R4 Δ(三角)形连接 R2, R3, R5
②
'' Req R1 Req 6 6 12 ③
15 10 6 ②R R2 R34 15 10
'' eq ' R2 Req
Req R1 R2 //(R3 R4 ) R1
R2 ( R3 R4 ) 15(5 5) 6 12 R2 R3 R4 15 5 5
6 9 54 断开时，Req 2＋4） 3 6) （ //( 3.6 6 9 15
结论：若电路中两点电位相等，则： ①可将这两点短路 ② 可将这两点之间连接的支路断开 对某些对称性电路可采用此方法处理
《电路原理》PPT课件
a
+ E
I2
–
R2
IS
R1
I1
在左图电路中只含有两个节 点，若设 b 为参考节点，则电路 I3 中只有一个未知的节点电压。
R3
b
(1) 选定参考节点，标明其余n-1
iS2
个独立节点的电压
(2) 列KCL方程：
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2
1 i2 R2
i3 R3
i3 3A,
当电路中含理想电流源支路时
例：试求各支路电流。
a
c
支路中含有恒流源。
+ 42V –
12
6 I1
I2 7A
I3 3
(1) 只让一个b 回路电流经d过恒流源支路，该回路电流值为恒流源值。
(2) 把电流源的电压作为变量，增补电流源电流与回路电流之间的约束方程。
(3) 电流源的转移法。
例：用回路法试求各支路电流。
i3 6 - 18 - 6i3 18- 1 1)i3 25 - 6
2
整理为:
-52i1i1-+21i21i-2
i3 -
-12 6i3 6
- i1 - 6i2 + 10i3 19
解得：
i1 -1A, i2 2A, i4 i3 - i1 4A i5 i1 - i2 -3A i6 i3 - i2 1A
+
U1
_
2. 3 节点电压法(node-voltage
节点电压的概念：
method)
任选电路中某一节点为零电位参考点，其他各节点对参考点的电压，称为节点电 压。 节点电压的参考方向从节点指向参考节点。
第2章电阻性网络分析的一般方法38页
根据以上分析，网孔①、②、③的电流方程可 写成：
20
R11 iℓ1 + R12 iℓ2 + R13 iℓ3 = uS11 R21 iℓ1 + R22 iℓ2 + R23 iℓ3 = uS22 R31 iℓ1 + R32 iℓ2 + R33 iℓ3 = uS33
这是具有三个网孔电路的网孔电流方程的一 般形式。也可以将其推广到具有n个网孔的电路 ，n个网孔的电路网孔电流方程的一般形式为
(R1 R 2 ) i1 R 2 i2 uS
i2 iS
联立求解
i1
R1
1 R2
uS
R2 R1 R2
iS
由图2-5（a）可知支路电流i1与网孔电流iℓ1是 相等的，即
i1
i1
R1
1 R2
uS
R2 R1 R2
iS
i1
i1
24
分析上式，支路电流i1由两个分量组成，一个
是i
' 1
=
uS
/
节点① 节点②
iS1 iS2 i1 i2 0
iS2 iS3 i2 i3 0
用节点电压表示支路电流
i1
u1 R1
G1u1
10
i2
u1 u2 R2
G 2 (u1
u2)
i3
u2 R3
G3u2
代入节点①、节点②电流方程，得到
iS1 iS2
u1 u1 u2
R1
R2
0
iS2
网孔③ R5iℓ1 + R3iℓ2 +（R3 + R5 + R6）iℓ3 = - uS3
18
分析上述网络电压方程，可知 （1）网孔①中电流iℓ1的系数（R1+R4+R5）、网 络②中电流iℓ2的系数（R2+R3+R4）、网孔③中电 流iℓ3的系数（R3+R5+R6）分别为对应网孔电阻之 和，称为网孔的自电阻，用Rij表示，i代表所在的 网孔。 （2）网孔①方程中iℓ2前的系数（-R4），它是网 孔①、网孔②公共支路上的电阻，称为网孔间的 互电阻，用R12表示，R4前的负号表示网孔①与网 孔②的电流通过R4 时方向相反；iℓ3前的系数R5是 网孔①与网孔③的互电阻，用R13表示，R5取正表 示网孔①与网孔③的电流通过R5时方向相同；网 孔②、网孔③方程中互电阻与此类似。
20
R11 iℓ1 + R12 iℓ2 + R13 iℓ3 = uS11 R21 iℓ1 + R22 iℓ2 + R23 iℓ3 = uS22 R31 iℓ1 + R32 iℓ2 + R33 iℓ3 = uS33
这是具有三个网孔电路的网孔电流方程的一 般形式。也可以将其推广到具有n个网孔的电路 ，n个网孔的电路网孔电流方程的一般形式为
(R1 R 2 ) i1 R 2 i2 uS
i2 iS
联立求解
i1
R1
1 R2
uS
R2 R1 R2
iS
由图2-5（a）可知支路电流i1与网孔电流iℓ1是 相等的，即
i1
i1
R1
1 R2
uS
R2 R1 R2
iS
i1
i1
24
分析上式，支路电流i1由两个分量组成，一个
是i
' 1
=
uS
/
节点① 节点②
iS1 iS2 i1 i2 0
iS2 iS3 i2 i3 0
用节点电压表示支路电流
i1
u1 R1
G1u1
10
i2
u1 u2 R2
G 2 (u1
u2)
i3
u2 R3
G3u2
代入节点①、节点②电流方程，得到
iS1 iS2
u1 u1 u2
R1
R2
0
iS2
网孔③ R5iℓ1 + R3iℓ2 +（R3 + R5 + R6）iℓ3 = - uS3
18
分析上述网络电压方程，可知 （1）网孔①中电流iℓ1的系数（R1+R4+R5）、网 络②中电流iℓ2的系数（R2+R3+R4）、网孔③中电 流iℓ3的系数（R3+R5+R6）分别为对应网孔电阻之 和，称为网孔的自电阻，用Rij表示，i代表所在的 网孔。 （2）网孔①方程中iℓ2前的系数（-R4），它是网 孔①、网孔②公共支路上的电阻，称为网孔间的 互电阻，用R12表示，R4前的负号表示网孔①与网 孔②的电流通过R4 时方向相反；iℓ3前的系数R5是 网孔①与网孔③的互电阻，用R13表示，R5取正表 示网孔①与网孔③的电流通过R5时方向相同；网 孔②、网孔③方程中互电阻与此类似。
线性电阻电路分析方法
பைடு நூலகம்
互电阻可正可负，如果两个网孔电流的流向相同，互电 阻取正值；反之，互电阻取负值，且Rij= Rji ，如R23 = R32 = R3。
（3） -u S1、u S2 – u S3 、-u S3 分别是网孔①、网孔
②、网孔③中的理想电压源的代数和。当网孔电 流从电压源的“ + ”端流出时，该电压源前取“ + ” 号；否则取“ - ”号。理想电压源的代数和称为网 孔i的等效电压源，用uS i i 表示，i代表所在的网
例: 如图电路，求含电压源的最简等效电路。
5Ω 1Ω 4Ω 3Ω 3A 2Ω 1Ω + 12V 2Ω 8Ω 5V +
2．２ 电阻的Ｙ与△联接的等效变换
三个电阻可以接成星形，也可以接成三角形，两者可以等效变换。 1、Y→△：
R12 R1 R 2 R1R 2 R3 R1 R3
R2 R R R23 R2 R3 2 3 R1 当 R1=R2=R3=RY，R12=R13=R23=Ry 时， 有R △= 3 R Y
将网孔电压方程进行整理为：
网孔① （R1 + R4 + R5 ）iℓ1 – R4iℓ2 + R5iℓ3 = -uS1
网孔② –R4iℓ1 +（R2 + R3+ R4）iℓ2 + R3iℓ3 = uS2 – uS3
网孔③ R5iℓ1 + R3iℓ2 +（R3 + R5 + R6）iℓ3 = - uS3
注意：等效时要先确定等效电压源US的参考极性。
2.１.１０ 理想电流源的并联
如图，由 3 个理想电流源并联组成的 二端网络N。 VAR: KCL：I=IS1+IS2-IS3 可见， N 可以用 1 个理想电流源来等 效（参考方向向上）， IS= IS1+IS2-IS，IS为几个并联电流源的 等效电流源。
互电阻可正可负，如果两个网孔电流的流向相同，互电 阻取正值；反之，互电阻取负值，且Rij= Rji ，如R23 = R32 = R3。
（3） -u S1、u S2 – u S3 、-u S3 分别是网孔①、网孔
②、网孔③中的理想电压源的代数和。当网孔电 流从电压源的“ + ”端流出时，该电压源前取“ + ” 号；否则取“ - ”号。理想电压源的代数和称为网 孔i的等效电压源，用uS i i 表示，i代表所在的网
例: 如图电路，求含电压源的最简等效电路。
5Ω 1Ω 4Ω 3Ω 3A 2Ω 1Ω + 12V 2Ω 8Ω 5V +
2．２ 电阻的Ｙ与△联接的等效变换
三个电阻可以接成星形，也可以接成三角形，两者可以等效变换。 1、Y→△：
R12 R1 R 2 R1R 2 R3 R1 R3
R2 R R R23 R2 R3 2 3 R1 当 R1=R2=R3=RY，R12=R13=R23=Ry 时， 有R △= 3 R Y
将网孔电压方程进行整理为：
网孔① （R1 + R4 + R5 ）iℓ1 – R4iℓ2 + R5iℓ3 = -uS1
网孔② –R4iℓ1 +（R2 + R3+ R4）iℓ2 + R3iℓ3 = uS2 – uS3
网孔③ R5iℓ1 + R3iℓ2 +（R3 + R5 + R6）iℓ3 = - uS3
注意：等效时要先确定等效电压源US的参考极性。
2.１.１０ 理想电流源的并联
如图，由 3 个理想电流源并联组成的 二端网络N。 VAR: KCL：I=IS1+IS2-IS3 可见， N 可以用 1 个理想电流源来等 效（参考方向向上）， IS= IS1+IS2-IS，IS为几个并联电流源的 等效电流源。
第2章线性电阻电路分析
+R2 +R3 ，S打在位置“1”时，量程最大，分流电阻最小，为R1。因此可以
利用电阻串并联关系，首先从最小量程开始，求得总的分流电阻，在从最大 量程开始，逐一求出各分流电阻。分析如下：
S打在1 mA档，R1、R2、R3串联后与Rg并联，Ig = 100μA = 0.1 mA， I = 1 mA，根据分流关系，得
63
Rab
12 12
4 4
4 4
( 6 (6
3 3
2) 2)
3
2
5
63
需要注意的是，在电路改画过程中，必须从a端顺势画到b端，而不能 中途改变方向。图2.6（a）中不改变各电阻阻值，将a、e间用短路线联接
如图2.6（c）所示，那么a、b之间等效电阻Rab等于多少呢？读者可自行分
析。（注意：在图（c）中ade支路的4Ω电阻和3Ω电阻被短路线短接。答案：
R = 1.5 + （0 6 1 4）（11） 2.5Ω
06 14 11 最后求得
I 10 10 4 A R 25
此题也可以 利用Y形电阻网络 等效变换为三角 形电阻网络的方 法进行求解，请 读者自行分析。
2.3 电压源与电流源的等效变换
2.3.1 独立电源的串联和并联
n个理想电压源串联，可以等效成一个电压源。图2.10（a）所示为两 个电压源US1和US2串联，可以用一个等效的电压源US代替。
例2.5 求图2.9（a）所示电路中电流I。
解： 将3Ω、5Ω和2Ω三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形电阻 网络，如图2.8（b）所示，根据式（2.13）求得
R1 = 3 5 1.5Ω 325
R2 = 3 2 0.6Ω
325
R3 = 2 5 1Ω 325
利用电阻串并联关系，首先从最小量程开始，求得总的分流电阻，在从最大 量程开始，逐一求出各分流电阻。分析如下：
S打在1 mA档，R1、R2、R3串联后与Rg并联，Ig = 100μA = 0.1 mA， I = 1 mA，根据分流关系，得
63
Rab
12 12
4 4
4 4
( 6 (6
3 3
2) 2)
3
2
5
63
需要注意的是，在电路改画过程中，必须从a端顺势画到b端，而不能 中途改变方向。图2.6（a）中不改变各电阻阻值，将a、e间用短路线联接
如图2.6（c）所示，那么a、b之间等效电阻Rab等于多少呢？读者可自行分
析。（注意：在图（c）中ade支路的4Ω电阻和3Ω电阻被短路线短接。答案：
R = 1.5 + （0 6 1 4）（11） 2.5Ω
06 14 11 最后求得
I 10 10 4 A R 25
此题也可以 利用Y形电阻网络 等效变换为三角 形电阻网络的方 法进行求解，请 读者自行分析。
2.3 电压源与电流源的等效变换
2.3.1 独立电源的串联和并联
n个理想电压源串联，可以等效成一个电压源。图2.10（a）所示为两 个电压源US1和US2串联，可以用一个等效的电压源US代替。
例2.5 求图2.9（a）所示电路中电流I。
解： 将3Ω、5Ω和2Ω三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形电阻 网络，如图2.8（b）所示，根据式（2.13）求得
R1 = 3 5 1.5Ω 325
R2 = 3 2 0.6Ω
325
R3 = 2 5 1Ω 325
第二章电阻电路的分析
第二章 电阻电路的分析主要内容：定理法：叠加定理、替代定理、戴维南定理（诺顿定理）； 等效变换法：独立电源的等效变换、电阻的Y -Δ转换、移源法； 系统化法：节点电压法、回路电流法。
§2-1 线性电路的性质·叠加定理(superposition theorem)一、 线性电路的概念由线性元件及独立电源组成的电路。
电源的作用是激励，其它元件则是对电源的响应。
二、 线性电路的性质 1、齐次性： 若有图示的线性电路，在单电源激励下，以2R 的电流2i 为输出响应，则容易得到：s u R R R R R R R i 13322132++=由于321,,R R R 为常数，故有：s ku i =2显然，2i 与su 成比例。
在数学中，被称为“齐次性”，而在电路理论中则称为“比例性”。
2、相加性在图示的两激励电路中，若仍以2R 的电流2i 作为输出响应，则有：u+ |2us u+ ||2us s i R R R u R R i 2112121+++=显然，2i 由两项组成，第一项为电压源单独作用时，在电阻上引起的响应，每二项为电流源单独作用时，在电阻上引起的响应，每一项只与某个激励源成比例。
也即，由两个激励所产生的响应，表示为每一个激励单独作用时产生的响应之和。
这在数学中称为“相加性”，在电路理论中则称为“叠加性”。
三、 叠加定理在任何线性电阻电路中，每一元件的电流或电压都是电路中各个独立电源单独作用时在该元件产生的电流或电压的叠加。
叠加性是线性电路的一个根本属性。
注：叠加定理适用于线性电路。
在叠加的各分电路中，不作用的电压源置零（即，电压源用短路代替），不作用的电流源置零（即，电流源用开路代替），电阻不更动，受控源保留在各分电路中。
和分电路中的电压、电流的参考方向可以取为原电路中的相同方向，求和时，应注意各分量前的“+”、“-”号。
原电路的功率不等于按各分电路计算所得的功率叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积。
线性电阻电路分析报告
第二章 线性电阻电路分析电阻电路：由电阻元件和独立电源组成的电路，称为电阻电路。
独立电源在电阻电路中所起的作用与其它电阻元件完全不同，它是电路的输入或激励。
独立电源所产生的电压和电流，称为电路的输出或响应。
线性电阻电路：由线性电阻元件和独立电源组成的电路，称为线性电阻电路。
其响应与激励之间存在线性关系，利用这种线性关系，可以简化电路的分析和计算。
上一章介绍的2b 法的缺点是需要联立求解的方程数目太多，给手算求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题。
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模，从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程。
§2－l 电阻单口网络单口网络：只有两个端钮与其它电路相连接的网络，称为二端网络。
当强调二端网络的端口特性，而不关心网络内部的情况时，称二端网络为单口网络，简称为单口(One-port)。
电阻单口网络的特性由端口电压电流关系(简称为VCR)来表征(它是u -i 平面上的一条曲线)。
等效单口网络：当两个单口网络的VCR 关系完全相同时，称这两个单口是互相等效的。
单口的等效电路：根据单口VCR 方程得到的电路，称为单口的等效电路。
单口网络与其等效电路的端口特性完全相同。
一般来说，等效单口内部的结构和参数并不相同，谈不上什么等效问题。
利用单口的等效来简化电路分析：将电路中的某些单口用其等效电路代替时，不会影响电路其余部分的支路电压和电流，但由于电路规模的减小，则可以简化电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联 1.线性电阻的串联N 1 N 2VCR 相同等效两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方式，称为电阻的串联。
图(a)表示n 个线性电阻串联形成的单口网络。
用2b 方程求得端口的VCR 方程为其中上式表明n 个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻，其电阻值由上式确定。
2.线性电阻的并联两个二端电阻首尾分别相联，各电阻处于同一电压下的连接方式，称为电阻的并联。
电路分析基础第二章
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
令
R11=R1+R2 — 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 — 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。
自电阻总为正。 R12= R21= –R2 — 回路1、回路2之间的互电阻。 当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正 号；否则为负号。
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia
-R2Ib
= US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib
- R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且 互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic
(4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic
0 : 无关
特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （平面电路， Rjk均为负(当回路电流均取顺(或逆)时针方向)）
回路法的一般步骤： (1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向； (2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其 KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)；
-Ib+3Ic=3U2
增补方程: ② U2=3(Ib-Ia)
4Ia-3Ib=2
解得 Ia=1.19A
受控电压源
③ -12Ia+15Ib-Ic=0 9Ia-10Ib+3Ic=0
Ib=0.92A Ic=-0.51A
看作独立电 压源列方程
第二章 线性电阻网络分析
例
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 U
R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
RS + US _ R1
电流源看作电 压源列方程
i1
R4
iS
+
i2 iU 3
R2 _ R3
增补方程：
i S i2 i3
3
R4 E1
(2)
+ R1 I1
1
(4)
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例.
I1 7
+ 70V
–
求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a (1) n–1=1个KCL方程： 解 I2 I3 节点a：–I1–I2+I3=0 11 1 7 + (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 6V 2 – 7I1–11I2=70-6=64 b
i1
i
i3
R3
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I IS R º º 转换 + I º
RIS
_ R
º
受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作 独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路
电流表示。
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例
RS + US _
R1
R2
i1
+ R4
i2
_
增补方程：
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n4
b6
有向图
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电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支 路和节点与电路的支路和节点一一对应。
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有受控源的电路，方程列写分两步： (1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的 方程，消去中间变量。
2.4 回路电流法
回路电流法特点
列写方程的步骤和方法
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回路电流法特点
a i1 R1 uS1 + i2 R2
以回路电流作为电路变 量列写电路的KVL方程 独立回路为2。选图示的两个 独立回路，支路电流可表示 为：
I2 1 6A 11 +
U
解1.
I3
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7
– b
_
2
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I3
由于I2已知，故只列写两个方程
解2. I1 7 + 70V –
a
I2
11I2+7I3= 6
I1 1218 203 6A I 2 406 203 2A
I 3 I1 I 2 6 2 4A
P70 6 70 420W
P6 2 6 12W
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例
I1 7
+ 70V
列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） a
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
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2.2 KCL和KVL的独立方程数
独立电源
受控电源
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KCL的独立方程数
1 2 1 1 2 2 3 5 4 3
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i 2 i5 i 6 0 i3 i4 i5 0
3
R4 E1
(2)
+ R1 I1
1
(4)
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例.
I1 7
+ 70V
–
求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a (1) n–1=1个KCL方程： 解 I2 I3 节点a：–I1–I2+I3=0 11 1 7 + (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 6V 2 – 7I1–11I2=70-6=64 b
i1
i
i3
R3
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I IS R º º 转换 + I º
RIS
_ R
º
受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作 独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路
电流表示。
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例
RS + US _
R1
R2
i1
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对具有n个节点和 b 条支路的 电路: （1）先假设各支路电流的 参考方向，并标于图中 （2）应用KCL建立(n-1)个节 点电流方程 对节点（1） 对节点（2） 对节点（3）
I4 + E1 R1 I1 R4
E6
+
R6
I6 I5
(1)
(2)
+ E3 -
R5 E2
(3)
+ R2 I2
R1 R2
RS
+ US _
i2 iS i3
i1
R4
R3
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(3) 理想电流源的转移
iS
iS
iS
（a） 把理想电流源沿着包 含它所在支路的任意回路转移 到该回路的其他支路中去，得 到电流源和电阻的并联结构。 （b） 原电流源支路去掉， 转移电流源的值等于原电流源 值，方向保证各结点的KCL 方程不变。
R1i1 ( R1 R2 R5 )i2 ( R1 R2 )i3 0
( R1 R4 )i1 ( R1 R2 )i2 ( R1 R2 R3 R4 )i3 0
i i2
RS
+ US _ R1 R5 R4
i2
R2
特点
（1）减少计算量 （2）互有电阻的识别难度加 大，易遗漏互有电阻
2 3 7 5 8 4
回路
4
5
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
l bl b ( n 1)
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基本回路(单连支回路，独立回路) 6 4 2 1 3 1 5 2
5
6
2 3
1 3
4
2
1 3
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（3）熟练掌握电路的各种分析方法，并做到灵活
应用
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2.1 电路的图
图的定义 连通图和非连通图 树和连支 单连支回路
演示 目录 上页 下页 返回
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2.1 电路的图
i
R1 R3 抛开元 件性质
n5
1
b8
8
3 5
R2 + uS _
2
4
6
R4
1 3 5 2 6 4 7
对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电 流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便 可以求解这b个变量。
独立方程的列写
（1）指出各支路电流的参考方向 （2）从电路的n个节点中任意选择n-1个节点列写KCL方程 （3）选择b－n＋1（网孔数）个独立回路列写KVL方程
（4）联立求解得各支路电流
R5 I 5 R2 I 2 R3 I 3 E3 E2
R6 I 6 R5 I 5 R4 I 4 E6
E6 + R6 I6 I5 + R5 + E3 E2 2 R3 R2 I3 I2
(3)
（4）联立求解独立的节点方程 和独立的回路方程,即可求出图 示网络中待求的各支路电流。
(1) I4
观察可以看出如下规律：
R11=R1+R2 R22=R2+R3 回路1的自阻。等于回路1中所有电阻之和。 回路2的自阻。等于回路2中所有电阻之和。 自阻总为正。 R12= R21= –R2 回路1、回路2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取 正号；否则为负号。 ul1= uS1-uS2 ul2= uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。 回路2中所有电压源电压的代数和。
5U i3
+ R3 U _
U R3 i3
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 5U
R4 i1 ( R3 R4 )i3 5U
受控电压源看 作独立电压源 列方程
理想电流源支路的处理
(1) 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
i i2 i3
RS
R1
+
US _
i1
R4
R5
i2 i3
R2
表明
（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。
i
R3
解2
只让一个回路电流经过R5支路
( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S
3
4
4
6
结论 n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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KVL的独立方程数
KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
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2.3 支路电流法
支路电流法特点
列写方程的步骤
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支路电流法特点
以支路电流作为电路 变量列写KCL和KVL方程．
1 6A b 11
7
节点a：–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
7I1＋7I3=70
例
I1 7 +
70V –
列写支路电流方程.(电路中含有受控源） a
I2 1 +
5U
解
I3
节点a：–I1–I2+I3=0
7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U
11
2 b
+ 7
_
U
_
增补方程：U=7I3
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n4
b6
有向图
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电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支 路和节点与电路的支路和节点一一对应。
● 图的定义
G={支路，节点}
① １ ②
a. 图中的节点和支路各自是一个整体。 b. 移去图中的支路，与它所联接的节点依然存在， 因此允许有孤立节点存在。
Rkk:自电阻(为正) + : 流过互阻的两个回路电流方向相同
Rjk:互电阻
- : 流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关
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回路法的一般步骤：
(1)选定独立回路(独立回路数=网孔数），并确定其绕行方 向； (2) 对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l 个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)； (5) 其它分析。
a i1 R1 uS1 + i2 R2 i3 il2 R3