中考考点正弦定理余弦定理正切定理的计算与应用
正弦定理、余弦定理和正切定理是三角函数中常用的计算公式，也是中考数学考试中的重要考点。它们能够帮助我们计算和解决与三角形相关的各种问题。本文将介绍正弦定理、余弦定理和正切定理的基本公式及其应用。
一、正弦定理
在任意三角形ABC中，设三条边的长度分别为a、b、c，且对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
根据正弦定理，我们可以计算未知边长或角度的值。例如，已知两条边和夹角的情况下，可以通过正弦定理来计算第三条边的长度或第三个角的大小。
例题1：
已知三角形ABC，AB=8cm，AC=6cm，∠B=60°，求∠A和BC的长度。
解：
根据正弦定理可得：
8/sinA = 6/sin60° sinA = 8*sin60°/6
A = arcsin(8*sin60°/6) ≈ 54.6°
又根据三角形内角和为180°的性质可得∠C = 180° - ∠A - ∠B =
180° - 54.6° - 60° = 65.4°
再利用正弦定理求得BC的长度：
BC/sin65.4° = 6/sin60°
BC = 6*sin65.4°/sin60° ≈ 6.87cm
所以，∠A ≈ 54.6°，BC ≈ 6.87cm。
二、余弦定理
在任意三角形ABC中，设三条边的长度分别为a、b、c，且对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：
c² = a² + b² - 2ab*cosC
根据余弦定理，我们可以计算任意一个角的余弦值或者未知边长的长度，进而解决与三角形相关的各种问题。
例题2：
已知三角形ABC，AB=7cm，AC=5cm，∠B=60°，求∠A和BC的长度。
解：
根据余弦定理可得： BC² = 7² + 5² - 2*7*5*cos60°
= 49 + 25 - 70*0.5
= 61
所以，BC ≈ √61 ≈ 7.81cm
1.三角形的有关性质
(1)在△ABC中，内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况；
(2)a＋b>c，a－b
(3)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A+B＝π2⇔三角形为等腰或直角三角形；
cos2A=cos2B⇔A＝B⇔三角形为等腰三角形；
tan2A=tan2B⇔A＝B⇔三角形为等腰三角形；
(4) sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，sinA2＋B2＝sinπ2－C2＝cos C2，cosA2＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2.
(5) 三角形中的边角关系:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，
即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
2.正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容
asin A＝bsin B＝csin C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
形式 ①a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC
②sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(其中R是△ABC外接圆半径)
③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A cos A＝b2＋c2－a22bc
cos B＝a2＋c2－b22ac
cos C＝a2＋b2－c22ab
解决
的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，
5.9 正弦定理 余弦定理
【基础知识精讲】
1.正弦定理、三角形面积公式
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R.
面积公式：S△=21bcsinA=21absinC=21acsinB.
2.正弦定理的变形及应用
变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=Ra2,sinB=Rb2,sinC=Rc2.
应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.
b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.
①A为锐角时
②A为直角或钝角时.
(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.
3.余弦定理
在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2accosB；
c2=a2+b2-2abcosC；
变形公式： cosA=bcacb2222,cosB=acbac2222,cosC=abcba2222
在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.
4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π
0＜A，B，C＜π
sin2BA=sin2C=cos2C
sin(A+B)=sinC
特别地，在锐角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜cosA.
正弦定理和余弦定理讲解
⼀、学习⽬标1. 掌握正弦定理、余弦定理和三⾓形的⾯积公式，并能应⽤这些公式解斜三⾓形.
2. 能正确理解实际问题中仰⾓、俯⾓、视⾓、⽅位⾓及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.
3. 能熟练应⽤正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、⼏何等⽅⾯的问题.
4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能⼒.
⼆、重点、难点
重点：正、余弦定理及其证明；⽤正弦定理、余弦定理解三⾓形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.
三、考点分析
本章是在学习了三⾓函数、平⾯向量等知识的基础上，进⼀步学习如何解三⾓形的.正、余弦定理是我们学习三⾓形相关知识的延续和发展，这些定理进⼀步揭⽰了三⾓形边与⾓之间的关系，在⽣产、⽣活中有着⼴泛的应⽤，是我们求⾓三解形的重要⼯具，本章内容经常会与三⾓部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.1. 正弦定理 （1）正弦定理
在⼀个三⾓形中，各边和它所对⾓的正弦的⽐相等，即在ABC ?中R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为AB
C ?外接圆半径）
， 上式对任意三⾓形均成⽴.
（2）利⽤正弦定理可以解决如下有关三⾓形的问题：
①已知三⾓形的两⾓和任⼀边，求三⾓形的其他边与⾓； ②已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓，求三⾓形的其他边和⾓. 2.余弦定理
（1）余弦定理：三⾓形任⼀边的平⽅等于其他两边的平⽅和减去这两边与它们夹⾓的余弦的积的两倍.即在ABC ?中，C
ab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=
余弦定理还有另⼀种形式：
若令?=90C ，则22
2
b a
c +=，这就是勾股定理.
ab
c b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2
