正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理1．正、余弦定理：在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.重要结论在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ； (5)∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 3. 三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah(h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bcsinA ＝12acsinB ＝12absinC.3.例题讲解例1.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒， 求边长c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin ===οb B a A ∵b <a ∴B<A ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===οοBCb c 当A =120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===οοB C b c解二：设c = x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a, 3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，a ＝53b ，又b ＋c ＝2a ，所以c ＝73b .根据余弦定理的推论cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，把a ＝53b ，c ＝73b 代入，化简得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.例3.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析 由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.4.过关练习(1)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.(1)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即2b2＝b2＋c2－2bc cos A，又c2＝b2＋2bc，∴cos A＝22，A＝45°，sin B＝12，B＝30°，∴C＝105°.(2)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋C<π，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.。

1、利用正弦定理解三角形.2、利用余弦定理解三角形.板块一：正弦定理 1、正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2、在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．注意：情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 【例1】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .解 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin Csin B＝6－22.【变式1】考试要求典题精讲正弦定理和余弦定理1、(课本改编题)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.632、△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．33、(课本精选题)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________.2板块二：余弦定理余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； (2)已知三边问题．【例2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .求角B 的大小；解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.【变式2】1、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(5t )2＋(3t )2－(7t )22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.2、 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－43 C ．1 D.23[解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.①由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.故选A.板块三：三角形中常用的面积公式及正弦余弦综合应用 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【例3】在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．4 3【变式3】已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )CA ．22B ．82C.2D.221、(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.12、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．π63、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，解得sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66. 答案：664、(2013·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值； 课堂检测(2)若cos A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．解：(1)因为cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝sin A ， 即cos A cos π6－sin A sin π6＝sin A ，所以32cos A ＝32sin A . 显然cos A ≠0，否则由cos A ＝0得sin A ＝0，与sin 2 A ＋cos 2 A ＝1矛盾，所以tan A ＝33. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(2)因为cos A ＝14，4b ＝c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝15b 2，所以a ＝15b .因为cos A ＝14，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝154.由正弦定理得15b sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝14.5、(2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并由正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2. 6、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，解得sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理ABsin C＝BC sin A ，得sin C ＝66.1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3， ∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ， ∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 2、(2013·徐州摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A ，且C ＝120°.(1)求角A ； (2)若a ＝2，求c .[解] (1)由正弦定理及a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A 得sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B －sinC cos A .课后复习所以sin(A ＋C )＝sin(B ＋C )．因为A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＋C ＝B ＋C ，所以A ＝B . 又因为C ＝120°，所以A ＝30°.(2)由(1)知a ＝b ＝2，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋4－2×2×2cos 120°＝12，所以c ＝2 3. 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足b cos C ＋12c ＝a .(1)求角B ；(2)若a ，b ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状． 解：(1)法一：由正弦定理得sin B cos C ＋12sin C ＝sin A .而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C . 故cos B sin C ＝12sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，故cos B ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝a .化简得a 2＋b 2－c 2＋ac ＝2a 2，即b 2－c 2＋ac ＝a 2， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由题知b 2＝ac .由(1)知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以a 2＋c 2－2ac ＝0，即a ＝c ， 所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．。

正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则有正弦定理和余弦定理：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA；b^2 = c^2 + a^2 - 2cacosB；c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC可以通过变形得到以下公式：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc；cosB = (c^2 + a^2 - b^2) / 2ac；cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab同时还有以下关系：a = 2RsinA；b = 2RsinB；c = 2RsinCa:b:c =asinB = bsinA；bsinC = csinB；asinC = csinAABC的面积S = absinC = bcsinA = acsinB = r其中r为三角形内切圆半径，可以通过S = (a + b + c)r得到。

选择题：1.在△ABC中，已知a = 2，b = 6，A = 45°，则满足条件的三角形有2个。

2.在△ABC中，A = 60°，AB = 2，且△ABC的面积为3，则BC的长为3.3.已知在△ABC中，a = x，b = 2，B = 45°，若三角形有两解，则x的取值范围是2＜x＜22.4.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是(8,10)。

注：原文中存在格式错误，已经进行修正。

整理得2c=b+bc，因为c≠0，所以等式两边同时除以c，得到2=c+b，解得c=2/(b+1)。

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为315，b-c=2，cosA=1/4，求a的值。

解析：由cosA=1/4，得到sinA=√15/4，S△ABC=bcsinA=bc*√15/4=315，因此bc=24.又因为b-c=2，所以b^2-2bc+c^2=4，联立解得b^2+c^2=52.由余弦定理得，a=b+c-2bccosA=52-2*24*(1/4)=64，因此a=8.在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=π/4，b^2-a^2=c^2/2.1)求tanC的值；2)若△ABC的面积为3，求b的值。

三角形中的正弦定理与余弦定理正文：三角形中的正弦定理与余弦定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它包含了很多重要的定理和公式。

在三角形的研究中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要且常用的公式。

它们可以帮助我们计算三角形的各种属性，如边长、角度等。

本文将详细介绍这两个定理的含义、推导过程，并给出实际应用的一些例子。

一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边与三个对应的正弦值之间存在一定的关系。

设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB、sinC分别为三个角的正弦值。

这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的比例关系。

如果我们已知了三角形的一个角度和两个对应的边长，就可以利用正弦定理来计算第三个边的长度。

例如，已知三角形ABC中，角A的度数为30°，边AB的长度为3，边AC的长度为4，我们可以利用正弦定理求解边BC的长度。

根据正弦定理，我们有：BC/sinA = AC/sinC代入已知条件，得到：BC/sin30° = 4/sinC进一步计算可得：BC = 4*sin30°/sinC ≈ 4*0.5/sinC = 2/sinC通过这个简单的计算过程，我们可以求解出BC的长度。

正弦定理在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种与三角形边长相关的问题。

二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边与一个对应的角度之间存在一定的关系。

设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的关系。

利用余弦定理，我们可以计算三角形的一个边长，当已知该边的两个对应角度和另一边的长度时。

例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为3，边AC的长度为4，角C的度数为60°，我们可以利用余弦定理来计算边BC的长度。

正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ；2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A asin ＝Bb sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形.巩固练习1．在中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状.3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ 巩固练习1．已知在ABC ∆中，2,6,45==︒=∠BC AB A在ABC ∆中，213,2tan tan +=-=c b bb c B A ，求三内角2．在ABC ∆中，已知B C A 2=+，32tan tan +=⋅C A ，求A 、B 、C 的大小，又知顶点C 的对边C 上的高等于34，求三角形各边a 、b 、c 的长．知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值．【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=πsin sin sin sin cos cos cos cos 2222221336ααββααββ-++-+=221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值.2．在中，a ，b ，c 分别是的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且，求的大小及的值．3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积．例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2cA bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222cb a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得C B A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，R 为外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+=，90A =.故为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c b b c b c ab ac ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c bc ac ab+-+-=⋅⋅，即22b c +22222222()()4a b c a c b a ⎡⎤+-++-⎣⎦=也即222b c a +=，故为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得A A b B B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得AAB B B A cos sin sin cos sin sin 22=,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800-2B,即A=B 或A+B=900.∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22=,即Ab a cos cosB =,又由余弦定理得bcac b b a 22ac b -c a 222222-+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2, ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABC AC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有bc B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理：B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-A C C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ①又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b 则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c 若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin 2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ）成等比数列 又 在中，由余弦定理得（II ）在中，由正弦定理得 ．3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A 7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD =则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中 由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A 化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD AD C B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=， 所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--， 将tan 2tan A B =代入上式并整理得 22tan 4tan 10B B --=.解得2tan 2B =，舍去负值得2tan 2B +=，从而tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD= 2AB 边上的高等于2。

正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解| 微 点 提 醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ， 所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 解法二：利用角的关系来判断 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°， 所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二 已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。

正弦定理和余弦定理知识要点归纳：一、 正弦定理（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R Cc B b A a 2sin sin sin === 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

二、余弦定理第一形式，2b =B ac c a cos 222-+余弦定理第二形式，cosB = acb c a 2222-+ 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；⑵已知三角形三边，求其它元素。

（3）已知三角形两边和其中一边的对角，求第三边。

三、△ABC 的面积用S 表示 ① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； 四、在△ABC 中： ()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. △ABC 是锐角三角形0,,,,2A B C A B B C C A ππ⇔<<<+++<sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔> 若sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或sin(A+B)=sinC ,cos(A+B) -cosC ,tan(A+B) -tanC ==2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos C B A =+典型例题精析：考点五：正弦定理、余弦定理例1设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.例2 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，,求的面积.cos A-2cos C 2c-a =cos B bsin sin C A142b =ABC ∆例3（15年江苏）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.例4（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值；（II ）求cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.。

正弦定理和余弦定理1．正弦定理2．余弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． [小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．43B ．2 3 C. 3 D.322．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.2 5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为__1534______．题型一:利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；B ＝π3.(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． a ＝3，c ＝2 3.1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； 2. )若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 45°. 题型二：用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；A ＝120°.(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．钝角三角形．2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小；A ＝π3. (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．等边三角形．题型三：三角形面积有关的问题典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；A ＝π3. (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . b =c=2以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A . (1)求角A 的大小；A ＝π3. (2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC . 3321.△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32 D . 3 3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( ) A ．30° B ．45°C ．45°或135° D ．60°4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22C.12 D ．－125．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．π28．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sinC ＝55，则c ＝22________；a ＝________.6 9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.4 10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；B ＝45°.(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .1＋3， 611．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .＝74.。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

正弦定理余弦定理知识点正弦定理和余弦定理是三角形中常用的公式。

1.三角形中常用的公式包括：角度和公式A+B+C=π；海伦公式S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中 p=(a+b+c)/2；正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中 R 为外接圆半径；余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC。

2.三角形中的边角不等关系：A>B⟺a>b,a+b>c,a-b<c。

3.正弦定理可用于以下情况：①已知两角和任一边，求其他两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角；③几何作图时，存在多种情况。

4.已知两边和其中一边的对角解三角形的情况：(1)A为锐角，有一解；(2)A为锐角或钝角，当a>b时有一解。

5.余弦定理可用于以下情况：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

6.三角形面积公式为 S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB。

在解题时，可以利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状。

例如，在△ABC 中已知 acosB=bcosA，利用扩充的正弦定理可以得到 sin(A-B)=0，因此 A=B，即△ABC 为等腰三角形。

练题：1.在△ABC 中，若 XXX2bcosBcosC，可判断三角形的形状。

2.在△ABC 中，已知 atanB=btanA，可判断三角形的形状。

3.已知△ABC 中，有 cosA+2cosCsinB=2，可判断三角形的形状。

解：由题意可得tanA=1，tanB=2，tanC=3则tan(A+B)=tan(180°-C)=tanC=-3tan(A+B)+tanC=-3+3=0又因为A、B、C为锐角，所以A+B+C=180°而tan(A+B+C)=\frac{tan(A+B)+tanC}{1-tan(A+B)tanC}=0所以A+B+C=180°综上所述，A+B+C=180°.3．在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边。

直角三角形的正弦定理与余弦定理直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在直角三角形中，有两个特殊的角度，一个是直角角度，即90度角；另一个角度则是锐角或钝角。

正弦定理和余弦定理是用于计算三角形中任意一边和角度之间的关系的数学定理。

在直角三角形中，正弦定理和余弦定理可以简化为更常用的形式。

1. 正弦定理：正弦定理表示三角形的边与其对应的角度之间的关系。

对于任意三角形ABC，其中C为直角角度，a、b、c分别为对应的边长。

正弦定理的公式表达为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中sin(A)表示角A的正弦值，同理sin(B)和sin(C)表示角B和角C的正弦值。

根据正弦定理，我们可以计算直角三角形中任意一边的长度。

2. 余弦定理：余弦定理表示三角形的边与其对应的角度之间的关系。

对于任意三角形ABC，其中C为直角角度，a、b、c分别为对应的边长。

余弦定理的公式表达为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中cos(C)表示角C的余弦值。

根据余弦定理，我们可以计算直角三角形中任意一边的长度。

通过正弦定理和余弦定理，我们可以解决一些与直角三角形相关的计算问题，比如已知两边长度和一个角度，求解其他角度或边长。

举个例子，如果我们已知一个直角三角形的直角边长为3，斜边长为5，我们可以通过计算求得另一直角边的长度。

首先，我们可以使用正弦定理计算斜边对应的角度sin(C) = c / a = 5 / 3，通过反正弦函数求得角C的值为35.26度。

然后，我们可以使用余弦定理计算另一直角边的长度c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)，代入已知的值计算得到c^2 = 9 + b^2 - 2 * 3b * cos(35.26)，进一步简化为b^2 - 6b * cos(35.26) + 4 = 0。

然后解一元二次方程得到b的值，从而求得另一直角边的长度。

正弦定理和余弦定理一：基础知识理解 1．正弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二：基础知识应用演练1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D.322．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：1选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.2选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3 选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2.答案：2 5、解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°，整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3. 因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534. 答案：1534小结：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角 或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <ba ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. 思考一下：在本例(2)的条件下，试求角A 的大小．方法小结：1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝ 2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34 又sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．试题变式演练 (2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23， ∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．（3）与三角形面积有关的问题[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[解] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ， 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2. 方法小结：1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用． 2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．试题变式演练 (2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ，则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝b c＝2， 即b ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－125．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0，7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．选做题1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C＝________.2．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析1解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22，又c <a ，则C <60°，故C ＝45°. 4解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cosC ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.6解析：选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin Aa ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4.答案：4 10解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.11解：(1)因为3a －2b sin A ＝0，所以 3sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B ＝32.又B 为锐角，所以B ＝π3. (2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7.由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6.又a >c ，故a ＝3，c ＝2. 于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u ur |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34， 因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74. 课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析1解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72， 2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab， ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. 法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334， 即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3， ∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．选择题解析1解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝12，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.答案：12解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π， 所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.4 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40.所以a ＋c ＝210.。

正弦定理和余弦定理所有公式在三角形学中，正弦定理和余弦定理是两个基本的定理，它们分别描述了三角形中角和边之间的关系。

这篇文章将介绍正弦定理和余弦定理的所有公式及其应用。

正弦定理正弦定理描述三角形中任意一角的正弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中A、B、C分别为三角形的三个角度，a、b、c分别为相应的边长。

应用：1. 计算三角形的边长：已知一角及其对边，以及另外两边，可以通过正弦定理求解第三边。

2. 判断三角形的形态：如果正弦定理中最大的sin对应最长的边，则三角形为锐角三角形；如果最大的sin对应最短边，则三角形为钝角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过正弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

余弦定理余弦定理描述三角形中任意一角的余弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：a² = b² + c² - 2bcCosA b² = a² + c² - 2acCosB c² = a² + b² - 2abCosC应用：1. 计算三角形的边长：已知三角形中一个角度和另外两边的长度，可以通过余弦定理求解剩余一边的长度。

2. 判断三角形的形态：如果余弦定理中最大的Cos对应最大的边，则三角形为钝角三角形；如果最大的Cos对应最短的边，则三角形为锐角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过余弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

练习题：1. 已知三角形ABC的边长分别为a=8, b=10, c=12，求角A的正弦值和余弦值。

第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]3．三角形中常用的面积公式1 a；上的高)(1)S＝ah(h表示边2111 C；B＝ab＝＝bc sin Aac sin sin (2)S2221(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．2[小题能否全取] 1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．233 D. C.3 2BCAC32AC322＝，即＝，所以AC＝＝×由正弦定理得：解析：选Bsin A sin B sin 60°sin 45°23223.2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°D ．C．60°75°＋c－a2221＋4b－31＝＝，＝A∵cos 解析：选C2bc22×12×又∵0°<A<180°，∴A＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()．两解B ．无解A．C．一解D．解的个数不确定ba，＝∵选B解析：B sin sin A24b＝sin ∴B，＝sin 45°sin A18a22＝B∴sin .3 B有两个．a<b，∴又∵＝，Ba＝2若所对边的长分别为a，b，c.)4．(2012·陕西高考在△ABC 中，角A，B，Cπ________. b＝23，则，c＝63＝4，所以b×23×＝2. B－2ac cos ＝4＋12－2×2＋＝ac222b解析：由余弦定理得22答案：．ABC，AC＝7，AB＝5，则△的面积为________5．△ABC中，B＝120°－10x cos 120°，2x＝25＋＝解析：设BCx，由余弦定理得493.x－24＝＝，即x0x整理得＋52315131＝S＝因此.3×5××ABBC×sin B＝×ABC△4222315 答案：4在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的(1).A>AB?a>b?sin >sin B角也较大，即在△ABC中，ABC中，已知A和时，解的情况如下：a、b(2)在△为钝角A A为锐角或直角图形a＝ba≥b关系式sin A b<a<A sin b b>a解的个一解一解一解两解数利用正弦、余弦定理解三角形典题导入A sin ，且，cb，，BC的对边分别为a，b)1][例(2012·浙江高考在△中，内角ABCA. B3a cos ＝的大小；求角B(1)2sin A，求a，c，b＝3sin C＝的值．若(2) 及正弦定理B cos a3＝A sin b由(1)]自主解答[ba＝3cos B＝，得sin B，B sin A sinπ＝＝3，所以所以tan BB.3ca.＝2a＝，得c及A＝2sin (2)由sin C C sin sin A，－2ac cos Bc3由b＝及余弦定理b＝a＋222. －a＋cac得9＝223.2，c＝所以a3＝的大小．(2)的条件下，试求角A在本例ba，＝∵解：BA sin sinπsin3·31sin aB＝＝sin ∴A＝. 2b3π＝A∴.6．由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法2. ＝A2a sin B＋b cossin 所对的边分别为．△1ABC的三个内角A，B，Ca，b，c，aAb (1)求；a222. ，求baB＋3(2)若c＝解：(1)由正弦定理得，222sin A＝A sincos A sin B＋sin B，即22. ＝2sin A)sin B(sincos A＋Ab2.2sin A，所以＝故sin B＝aa?1＋3?＝a，得cos B＝b3＋222.c由余弦定理和(2)c2 2，a＝由(1)知b221 a3)，故c＝(2＋222＝cos可得B.22，所以B＝＝45°. B，故B又cos >0cos 2利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2]在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋bc. 2222a(1)由已知，2根据正弦定理得][自主解答由余弦定理得a＝b＋c－2bc cos A，2221故cos A＝－，∵0<A<180°，∴A＝120°.23222C＋sin B sin sin CB＋sin＝.得(2)由(1)sin＝A4又sin B＋sin C＝1，1解得sin B＝sin C＝.2∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C，是等腰的钝角三角形．ABC∴△．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相(1) 应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等(2) 这个结论．C＝π从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋变形，得出内角的关系，应移项提取公因式，一般两边不要约去公因式，在上述两种方法的等式变形中，注意[] 以免漏解．以题试法，向，c所对的边分别为a，bABC)已知△的三个内角A，B，C(2012·2．安徽名校模拟A7??2A，coscos 2. n，n＝＝1)m，且m·量＝(4，－??22 的大小；求角A(1) 的形状．ABC，试判断△32＝a2＝c＋b若(2)．A??A cos 2，，2cos＝1)，n(1)解：∵m＝(4，－??2A cos 1＋A(2cos＝4·－∴m·n＝4cos－cos 2A2223. A－1)＝－2cos＋A＋2cos A227 ，又∵m·n＝27 ，∴－2cos2＝＋3A＋2cos A21＝解得cos A.2π＝，∴A<∵0<Aπ.3 ，＝3，且＋＝bc－2bc cos Aa222a中，在△(2)ABC1 ①.＝c－2bc·b＋c－bc＋∴3)(＝b222222 ＝又∵b＋c，23＝ba＝b＝3，∴＝3 ，于是，解得＝＋3－，代入①式整理得－＝∴b23cc2c30c2 3，即△ABC为等边三角形．c＝与三角形面积有关的问题典题导入cos 的对边，aB，C，新课标全国卷)已知a，bc分别为△ABC三个内角A，[例3](2012·0. －b－c＝C3＋a sin C (1)求A；.3，求b，若(2)a＝2，△ABCc的面积为C sin ＋3sin Ac－＝0及正弦定理得sin A cos C][自主解答(1)由a cos C＋3a sin C－b0.＝－sin CB－sin，A－C因为B＝π－0. ＝－sin CC－cos A sin C所以3sin A sinπ1??sin0，所以＝由于sin C≠－A. ??62π＝，故AA＜π0又＜.31＝3，故bcbc sin A＝4.S(2)△ABC的面积＝2而a＝b＋c－2bc cos A，故b＋c＝8. 222222.＝c＝b解得．由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．1112．在解决三角形问题中，面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B最常用，因为公式222中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法12A－cos AA＝cos.ABC3．(2012·江西重点中学联考)在△中，cos 22(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sin B＝2sin C，求S.ABC△122A－cos A，＝解：(1)由已知得(2cos A－1)cos2π1则cos A＝.因为0<A<π，所以A＝. 32．bcb sin B，可得2，＝＝＝由(2)cC sin sin C sin B.2c即b＝9－a＋c－＋c22222c4b1 ＝＝＝所以cos A，2224bcc，b＝，23解得c3＝31133＝＝所以S.3×3Abc sin ＝××2ABC△22221．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的() ．必要不充分条件B．充分不必要条件 A ．既不充分也不必要条件D ．充要条件C．.>cos B cos 解析：选C a<b?A<B?Aπ＝，b中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝2．(2012·泉州模拟)在△ABC33) 1，△ABC的面积为，则a的值为(22 B ．A．133C. D. 2π311，则由余弦定理可得＝2×bc sin A＝×1×c sin＝，解得c解析：选D由已知得2232π23.a＝?1－2×2×1×cos＝3a＝4＋3，已知b，c在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，3．(2013·“江南十校”联考)c tan A2)＝(＝22，1＋＝，则aC＝23，c bB tan45°B．．30° A D．60° C ．45°或135°c2tan A＝和正弦定理得解析：选B由1＋b tan B A，A cos B＝2sin C cos sin cos AB＋sin，C即sin ＝2sin C cos A1.60°所以cos A＝，则A＝22322 ＝，由正弦定理得CA sin sin2 ＝则，sin C2.C＝45°<a，则C<60°，故又c22b，c，若a＋，角A，B，C所对边的长分别为a，b．4(2012·陕西高考)在△ABC中2)cos C的最小值为＝2c(，则23 B. A. 2211D ．－ C. 2211＋b－c＝2ab cos C，又c＝＋b2222222a解析：选C由余弦定理得a＝(2(aab cos C，得)22＋b22a2ab1＋b＝2.≥C＝)，即cos ab4ab42222)(的形状是ABC，则△C<sin B sin＋A sin中，若ABC在△)上海高考(2012·．5．B．直角三角形A．锐角三角形．不能确定C．钝角三角形D c－＋b222a＝C＋b，所以cos 222是钝角，故△<c选C由正弦定理得aC<0，所以解析：ab2 是钝角三角形．ABC的大小为A sin B，则角所对的边分别是a、b、c.若b＝2aC6．在△ABC中，角A、B、________．≠0，解析：由正弦定理得sin B＝2sin A sin B，∵sin B1.＝150°A∴sin A＝，∴A＝30°或 2 或150°答案：30°π的大小为________，b．＝3，A＝，则Ca7．在△ABC中，若＝33π3sin 35ππ1Ab sin 或＝B＝＝，所以πC＝(B＝舍去)，所以sin 解析：由正弦定理可知6326aπππ＝π－－＝－A－B.236π答案：2＝B(2012·8．北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，，C的对边分别为a，b，b.若cπ5________.＝ac＝________CB5，＝，sin ；＝，则254Cbcb sin c＋＝2c＝＝2，再由余弦定理得ba，则＝222根据正弦定理得解析：BB sin sin C sin．a＝－2(舍去)a－6)＝0，解得a＝6或，－－2ac cos B，即a4a－12＝0(a＋2)(262答案：21________.＝＝－，则bBb＋c＝7，cos ，北京高考9．(2012·)在△ABC中，若a＝241??－×)××2(7－b－＝，解得b＝4. 4＋(7b)－222b根据余弦定理代入解析：??44答案：. Bb sin CC－2a sin cabCA．△ABC的内角，B，的对边分别为a，，c，sin A＋sin ＝10 B 求；(1).ca，，求，若(2)A＝75°b＝2－2ac＝＋cb222.a由正弦定理得(1)解：. cos Ba＋c－2ac由余弦定理得b＝2222. B＝＝45°，因此B故cos 262＋.＝＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°(2)sin A＝sin(30°＋45°)462＋A sin 3，1b×＝＝＋故a＝B sin 2sin 60°sin C6.×＝＝2×c＝b sin 45°sin B所对的CBc，分别为内角A，在锐角三角形11．(2013·北京朝阳统考)ABC中，a，b，0.＝sin Aa－2b边，且满足3 的大小；求角B(1)uururuuuACAB·＝7，求的值．(2)若a＋c＝，且5a>c，b sin Ab＝0，因为解：(1)3a－2 B sin A＝0，A所以3sin －2sin3＝0sin ≠B，所以因为sin A. 2π＝B为锐角，所以B又.3π7.＝(1)(2)由可知，B＝.因为b3π，a根据余弦定理，得7＝＋c－2ac cos2237. ＋整理，得(ac)－3ac＝26. a＋c＝5，得＝ac由已知2.c＝a，故＝3，又a>ca－＋c2229－7b＋47 ，＝＝＝cos 于是A14bc274uuurruuuruuuuuurABAB|＝所以ACAC A cos A|·|＝|cos cb·7＝1. ×7＝×21412．(2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan .C tan A tan ＝)C tan ＋A．成等比数列；，c(1)求证：a，b.的面积ABCSa＝1，c＝2，求△(2)若)＝中，由于sin B(tan A＋tan C解：(1)证明：在△ABC C，tan A tanCA sin sin CA sin sin ??＋＝，所以sin B·??C cos cos ACA cos cos＝sin A sin C，cos 因此sin B(sin A cos C＋A sin C). ＝sin A sin CA所以sin B sin(＋C) ＋C，＝π又A ＋B，＝sin B所以sin(A＋C)sin因此2. CA sin B＝sin，＝ac由正弦定理得b2c成等比数列．即a，b，22，c＝，所以b，＝(2)因为a＝12－＋＋c－b2222221a3 ，cos B＝＝＝由余弦定理得42ac2×1×27 ，－sin 因为0<B<π，所以B cos＝12＝B47117＝的面积S＝故△ABC.××12×＝ac sin B4242若三边的长为连.c，b，a所对的边分别为C，B，A的内角ABC设△)湖北高考(2012·．1．)sin B∶sin C为(3A>B>C，b＝20a cos A，则sin A∶续的三个正整数，且7 ∶B．5∶6 A．4∶3∶24∶D3 ．6 ∶5∶C．54∶，a＝n＋2(n>1b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a解析：选D由题意可得>?＋n－?n＋2222?＋1?n－，化简得7n－13n且n∈N2*2)·＋＝20(n)，则由余弦定理可得3(n＋1)?1?n＋2n4.∶6∶5b sin B∶sin C＝a∶∶c＝，解得n＝4，由正弦定理可得sin A∶*N n∈60＝0，B＋A2－c，已知4sin A，B，C的对边分别为a，b，长春调研2．(2012·)在△ABC中，角27 ．ABC的面积为＋b＝5，c________＝7，则△cos 2C＝，且a2B＋A7 ，C＝－cos 224sin解析：因为227 ，－2cos所以2[1－cos(A＋B)]2＝1C＋217 0，，cos＝22＋CC2＋2cos C－2cos＝C＋1－cos 427－＋b22a11 ，解得cos C＝＝＝C.根据余弦定理有cos ab222的面ABC6，所以△ab)－7＝25－7＝18，＝＝＋b＋－7,3ab＝ab＋2ab－7(a＋b22222a＝ab33113＝＝积S.6×ab sin C＝×ABC△222233 答案：20. cos aC＝b－c)cos A－(2C3．在△ABC中，角A，B，的对边分别为a，b，c，且满足求角A的大小；(1)33＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．3a ＝，S (2)若ABC△4解：(1)法一：由(2b－c)cos A－a cos C＝0及正弦定理，得(2sin B－sin C)cos A－sin A cos C＝0，∴2sin B cos A－sin(A＋C)＝0，sin B(2cos A－1)＝0.，0≠B sin ，∴π<B0<∵．1＝cos A∴.2π＝，∴A∵0<A<π.3 ，A－a cos C＝0法二：由(2b－c)cosc－＋c－a＋b222222ab－a·＝0，及余弦定理，得(2b－c)·ab22bca－＋c222b1 cos A＝，＝，∴＋整理，得bc－a＝bc22222bcπ＝Aπ，∴∵0<A<. 3313 ＝，＝bc sin S(2)∵A ABC△42π331 ＝，即sin bc432 3，①∴bc＝π，A＝3，＝＋＝bc－2bc cos A，aa∵222 3 ，②c＝6＋∴b22，c＝3由①②得b＝为等边三角形．∴△ABC＝1，b＝3，A＋所对的边．若，，的三个内角分别是△，，．已知1abcABCABCa________.＝C sin ，则B2＝C．1Ba sin ，或＝30°150°(舍)＝，∴A＝sin A，∴B＝60°.又∵2解析：在△ABC中，A＋C＝B2b1.＝90°，∴sin C＝∴C1答案：) cos C，则这个三角形一定是(2．在△ABC中，a＝2b B．直角三角形A．等腰三角形DC．等腰直角三角形．等腰或直角三角形法一：由正弦定理知：(化边为角)解析：选A，＋C)B cos C，又A＝π－(B sin A＝2sin. CB cos )sin A＝sin(B＋C＝2sin ∴，cos CC＋cos B sin C＝2sin B∴sin B cos0，sin B cos C－cos BC＝∴sin0.)＝∴sin(B－C.＝C又∵B、C为三角形内角，∴Bcb－＋222a，＝法二：cos C(化角为边)由余弦定理知ab2c－＋b－c＋b222222aa 2a＝b·＝，∴a2ab.c，∴b＝c＋∴a＝ab－c，∴b＝222222，已知b，cABC中，角A，B，C所对的边分别为a，3．在△1.＝－cos 2C 4 的值；sin C(1)求c的长．2,2sin A＝sin C时，求b及当(2)a＝1 ，，且0<C<π2＝－2sin解：(1)因为cos 2C＝1－C410＝sin C所以. 4ca2cos由cos 2＝C＝，得c＝4.2＝1C－sin ＝(2)当a2,2sin A＝C时，由正弦定理CA sin sin61±＝0<C<π得cos C，及－. 44bC，得abb＝由余弦定理ca＋－2cos 2222，62或6＝b，解得0＝12－b6±．??，26bb＝6，＝??或所以????4.＝c＝4c??c，a，C所对的边长分别为，b，4．设△ABC的内角A，B42.b＝且cos B＝， 5 a的值；当A＝30°时，求(1) 的值．时，求的面积为3a＋c(2)当△ABC34＝B，所以sin .B＝解：(1)因为cos 55510aba＝，可得＝，所以a＝由正弦定理.3B sin 30°sin 3A sin31 ，＝Bac·sin B，sin S(2)因为△ABC的面积＝523所以10.ac＝ac＝3，10 ，2ac cos Bc由余弦定理得b＝a＋－2228 16，＋＋得4＝ac－c－2222a＝ac 520.＝即a＋c2240. c(a＋)＝，＝2－ca所以(＋)ac202210. ca所以＋＝2。

一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b c RABC===2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2cR ;③a:b:c=sinA: sinB: sinC;④sin sin sin sin a b c aA B C A ++=++222222222cos ;2cos ;2cos .2b c a A bc a c b B ca a b c C ab +-=+-=+-=解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。

已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。

（∵sinA>sinB ⇔22a b R R >⇔a>b ⇔A>B ）2、在在ΔABC 中，已知a,b 和A 时，解的情况如下：3、三角形中的一些常用结论在⊿ABC 中，设角A 、B 、C 的对边长度分别为（1）三角形内角和定理 A+B+C=π（2）三角形中的诱导公式Sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,（3）三角形中的边角关系三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（4）三个重要结论①A＞B＞C⇔sinA＞sinB＞sinC;②sinA:sinB:sinC=a:b:c.③二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

三角形的余弦定理与正弦定理三角形是几何学中最基本的形状之一。

在研究三角形的性质和特征时，余弦定理和正弦定理起到了重要的作用。

它们是利用三角形的边长和角度之间的关系来解决各种三角形问题的工具。

本文将详细介绍三角形的余弦定理与正弦定理的定义、公式推导和应用。

一、余弦定理余弦定理是描述三角形边长与角度关系的定理。

对于任意三角形ABC，假设a、b、c分别表示BC、AC和AB的边长，而∠A、∠B和∠C分别表示三角形的内角A、B和C，则余弦定理可以表示为以下公式：c² = a² + b² - 2ab·cosCb² = a² + c² - 2ac·cosBa² = b² + c² - 2bc·cosA其中，cosA、cosB和cosC分别表示角A、B和C的余弦值。

推导过程：我们可以通过向三角形ABC引入高，再利用勾股定理和直角三角形的性质推导余弦定理。

设三角形ABC的高为h，起点为顶点A，终点为D，连接BD和CD，如图所示。

[图示]由于三角形ADC为直角三角形，根据勾股定理，我们可以得到：AC² = AD² + CD² ------ (1)在三角形ABD中，我们可以应用勾股定理得到：AB² = AD² + BD² ------ (2)注意到BD = BC - CD，将其代入式(2)，我们可以得到：AB² = AD² + (BC - CD)²= AD² + BC² + CD² - 2BC·CD ------ (3)由于三角形ABC为平面图形，AD ⊥ BC，所以∠ADC = ∠C。

根据余弦定理，我们可以得到：CD² = AC² + AD² - 2AC·AD·cosC ------ (4)将式(1)代入式(4)，我们可以得到：CD² = (AD² + CD²) + AD² - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 2AD² + CD² - 2AD·CD·cosC将式(4)代入式(3)，我们可以得到：AB² = 2AD² + BC² - 2BC·CD + 2AD² - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC·CD - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC·CD - 2AC·AD·cosC由于三角形为平面图形，所以CD = BC·cosA，代入上式得：AB² = 4AD² + BC² - 2BC²·cosA - 2AC·AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC²·cosA - 2AC²·cosC= 4AD² + BC² - 2AC²·cosC - 2BC²·cosA由几何性质可知，4AD² = c²，所以：c² = a² + b² - 2ab·cosC ------ (5)同理，可以推导出余弦定理的其他两个公式。

余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。

本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。

一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。

二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。

- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。

2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。

- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。

四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。

余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。

而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。

此外，两个定理之间也存在一定的联系。

通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。

在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。

总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。