2008年华中科技大学附属中学数学试卷(B)班级：姓名：成绩：一、填空题。
（20分）1. 一个数，亿位上的数字是9，千万位上的数字是5，万位上的数字是8，千位上的数字是4，其余各位上都是0，这个数是（），四舍五入到亿位约是（）亿。
2. 9升80毫升=（）升3.2小时=（）小时（）分23. 把0.66，66.6℅，0.67和这四个数按从大到小的顺序排列（）。
34. 1.8排量的宝来汽车，手动型的汽车行使200千米需耗油13升，自动型的汽车行使50千米需耗油3.5升。
自动型与手动型的汽车的耗油量的比是（）：（）。
（化成最简整数比）5. 正方形的边长增加20%，周长增加（）%，面积增加（）%。
6. 12、24和72的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
7. 一个圆柱体的下底面的面积正好与侧面积相等，如果这个圆柱体的底面不变，高增加1厘米，它的表面积就增加12.56平方厘米，原来这个圆柱体的表面积是（）平方厘米。
（π=3.14）8. 要使四位数30□4既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填（）。
9. 边长为1厘米的小正方体，如下图这样层层重叠放置。
（1）当叠到5层高时，底面一层有（）个小正方体。
（2）当叠到5层高时，共有（）个小正方体。
10. 如图横轴表示小明行驶的时间，纵轴表示小明离开家的距离，请你仔细观察下图.从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了（）分钟，去时平均速度是每小时（）千米。
二、判断题。
（5分）1. 三个连续的自然数中，至少有一个合数。
（）2. 真分数一定比假分数小。
（）3. 走同一段路，甲要2小时，乙要3小时，甲与乙的速度比是2：3。
（）4. 一支钢笔10元，先降价20%，后提价20%，价格不变。
（）5. 正方形、长方形和圆的周长都相等时，它们中面积最大的是正方形。
（）三、选择题。
（5分）1. 如果x＋y=1，那么x、y（）。
A. 成正比例B. 成反比例C. 不成比例D. 无法确定2. 一种微型零件长0.5毫米，画在一幅图上长为5cm ，这幅图的比例尺是（ ） A ．1:10 B.10:1 C.1:100 D.100:13. 把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有（ ）种。
2011年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数 学（试卷满分： 150分 考试时间120分钟）一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分。
每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1.化简|2|-等于（ ）A ．2B . 2-C .2±D .122.下列事件中，必然事件是（ ）A ．掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是1B . 掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数C . 掷一枚普通的硬币，掷得的结果不是正面就是反面D . 从99个红球和一个白球的布袋中随机取出一个球，这个球是红球 3.下列物体中，俯视图为矩形的是（ ）A ．B .C .D . 4.下列计算结果正确的是（ ）A ．2a a a ⋅=B .22(3)6a a = C .22(1)1a a +=+ D .2a a a +=5.如图1，在正方形网格中，将△ABC 绕点A 旋转后得到△ADE ，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ） A ．顺时针旋转90° B .逆时针旋转90° C .顺时针旋转45° D .逆时针旋转45°6.已知⊙O 1,和⊙O 2的半径分别为5和2，O 1 O 2=3，则⊙O 1,和⊙O 2的位置关系是（ ） A ．外离 B .外切 C .相交 D .内切7. 如图2，铁道口的栏杆短臂OA 长1m ，长臂OB 长8m ，当短臂外端A 下降0.5m 时，长臂外端B 升高（ ） A ．2m B .4m C .4.5 D .8m二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 8.13的相反数是 。
9.若∠A =30°，则∠A 的补角是 。
10．将1 200 000用科学记数法表示为 。
11.某年6月上旬，厦门市日最高气温气温如下表所示：那么这些日最高气温的众数为 ℃12．一个n 边行的内角和是720°，则边数n = 。
九年级数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.若关于x 的方程()21440a x x -+-=是一元二次方程，则a 的取值范围为（）A.1a ≠B.1a > C.1a < D.0a ≠A【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的方程()21440a x x -+-=是一元二次方程，∴10a -≠，∴1a ≠，故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如()200ax bx c a ++=≠的方程叫做一元二次方程．2.方程()2252x x x +=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.1，－3，2B.1，7，－10C.1，－5，12D.1，－3，10D【分析】先把一元二次方程化为一般式，找出二次项系数、一次项系数、常数项即可完成判断．【详解】解：化为一般式为：23100x x -+=，方程的二次项系数、一次项系数、常数分别为1，－3，10．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、各项系数，明确一元二次方程的一般形式是：20(ax bx c a ++=，b ，c 是常数且0)a ≠，在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．3.不解方程，判断方程x 2+2x﹣1=0的根的情况是（）A.有两个相等的实根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定B【分析】根据方程各项系数结合根的判别式即可得出△＝8＞0，由此即可得出结论．【详解】∵在方程x 2+2x ﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．”是解题的关键．4.抛物线()2211y x =--可由抛物线22y x =-平移得到，则平移的方式是（）A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C【分析】根据二次函数的平移变换的性质得出答案．【详解】解：将22y x =-的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度可得抛物线22(2)1y x =--，A ．选项错误，不符合题意；B ．选项错误，不符合题意；C ．选项正确，符合题意；D ．优化一下图片选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．5.由二次函数2231y x +＝（﹣），可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x ＝﹣3C.其最小值为1D.当x ＜3时，y 随x 的增大而增大C【分析】由解析式可知a ＞0，对称轴为x =3，最小值为0，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，可得出答案．【详解】由二次函数2231y x +＝（﹣），可知：A ：∵a ＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；B ．∵其图象的对称轴为直线x ＝3，故此选项错误；C ．其最小值为1，故此选项正确；D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值及对称轴两侧的增减性是解题的关键．属于基础题目．6.如图，要为一幅长29cm ，宽22cm 的照片外部配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米？设相框边的宽度为cm x ，则可列方程为（）A.3(292)(222)29224x x ++-⨯⨯B.3(292)(222)29224x x ---⨯⨯C.5(292)(222)29224x x ++=⨯⨯ D.5(292)(222)29224x x --=⨯⨯C【分析】设相框边的宽度为cm x ，根据等量关系式：相框与照片的总面积=照片面积54⨯列出方程即可．【详解】解：设相框边的宽度为cm x ，根据题意得：5(292)(222)29224x x ++=⨯⨯，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键．7.抛物线y=2(x-1)2+c 过(-2，y 1)，(0，y 2)，(52，y 3)三点，则122,,y y y 大小关系是()A.231y y y >> B.123y y y >>C.213y y y >> D.132y y y >>D 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(52，y 3)直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y 1，y 2，y 3的大小关系，从而可以解答本题．【详解】解：∵y=2(x-1)2+c ，2>0，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；(52，y 3)关于直线x=1的对称点是(12-，y 3)，∵-2<12-<0<1∴y 1＞y 3＞y 2，故选D ．【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．8.若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（）A.14B.1C..4D.3B【详解】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++==∴22111111444a ba b a b ab++=+=++又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a ，b 看做是方程2410x x -+=的两个根∴a+b=4，ab=1∴4=144a b ab +=⨯1故答案为B.【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．9.如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，1AB =，四边形EFGH 也是正方形，设A 、E 两点问的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图像可能为（） A.B. C. D.A【分析】根据正方形为中心对称图形，可得到Rt Rt AEH DHG ≌△△，AE DH =，根据勾股定理可得222EH AE AH =+，再由勾股定理与正方形面积关系可得22(1)y x x =+-，对二次函数关系式进行配方求出顶点式，根据抛物线开口方向和顶点位置，即可确定函数图像大致位置．【详解】解：已知四边形ABCD 、EFGH 为正方形则Rt Rt AEH DHG ≌△△，AE DH =，1AD AB ==，AE x =Q ，DH x \=，1AH x \=-，222EH AE AH =+Q ，22(1)y x x \=+-，2221y x x x =+-+，2221y x x =-+，2112[(]24y x =-+，2112(22y x =-+，则函数图像为抛物线，开口向上，顶点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图像、正方形性质、勾股定理等知识，结合正方形性质与勾股定理知识列出函数关系式是解题关键．10.对于二次函数2y ax bx c =++，规定函数()220(0)ax bx c x y ax bx c x ⎧++≥=⎨---<⎩是它的相关函数．已知点M ，N 的坐标分别为112⎛⎫- ⎪⎝⎭，，912⎛⎫⎪⎝⎭，，连接MN ，若线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（）A.31n -<≤-或514n <≤ B.31n -<<-或514n ≤≤C.1n ≤-或514n <≤ D.31n -<<-或1n ≥A【分析】根据题意可求出24y x x n =-++的相关函数解析式为：()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩．画出图象，讨论当线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有1个公共点，2个公共点，3个公共点时n 的值，再结合图象，即可确定线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点时，n 的取值范围．【详解】解：由题意可求24y x x n =-++的相关函数解析式为：()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩．如图，线段MN 与()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩的图象恰有1个公共点时，∴当2x =时，1y =，即22421n -+⨯+=，解得：3n =-；当函数()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩的图象向上移动且与线段MN 恰有3个公共点时，由图可知函数()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩与y 轴的交点为(01)-，，∴1n =-，∴当31n -<<-时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点；当函数()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩的图象继续向上移动且又一次与线段MN 恰有3个公共点时，由图可知函数()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩与y 轴的交点为(01)，，∴1n =；当函数()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩的图象又继续向上移动且与线段MN 恰有2个公共点时，由图可知此时函数()22404(0)x x n x y x x n x ⎧-++≥=⎨--<⎩经过点1(1)2-，，∴2114122n ⎛⎫⎛⎫--⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：54n =，∴当514n <≤时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解“相关函数”的定义，并利用数形结合的思想是解题关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.方程x 2＝2x 的解是_______．x 1＝0，x 2＝2【分析】先移项得到x 2﹣2x ＝0，再把方程左边进行因式分解得到x （x ﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x ＝0或x ﹣2＝0，即可得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2．【详解】解：∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．12.已知a 是一元二次方程2340x x --=的根，则220223a a -+的值为______．2018【分析】根据方程的解得定义即可求出2340a a --=，变形得：234a a +-=-．最后整体代入求值即可．【详解】∵a 是一元二次方程2340x x --=的根，∴2340a a --=，即234a a +-=-，∴22202232022(3)202242018a a a a -+=+-+=-=．故答案为：2018．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．13.一个等腰三角形的两边长是方程2680x x -+=的两个根，那么这个等腰三角形的周长是__________．10【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x 的值为2或4，然后分两种情况考虑：2为腰，4为底边；2为底，4为腰．【详解】解：方程2680x x -+=，分解因式得：（x -2）（x -4）=0，可得x -2=0或x -4=0，解得：12x =，24x =，当等腰三角形的边长是2、2、4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三角形的边长是4、4、2时，这个三角形的周长是4+4+2=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．14.汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是s ＝20t ﹣5t 2，汽车刹车后停下来前进的距离是_____．20m【分析】函数的对称轴为：t ＝2ba-＝202(5)-⨯-＝2，当t ＝2时，函数的最大值，即可求解．【详解】函数的对称轴为：t ＝2ba-＝202(5)-⨯-＝2，a ＝﹣5＜0，函数有最大值，当t ＝2时，函数的最大值为s ＝20×2﹣5×22＝20，故答案为20m ．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，一定要注意审题，弄清楚题意，题目难度不大．15.已知抛物线y ＝a 2x +bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠c )，且a ﹣b +c ＝0．下列四个结论：①若b ＝﹣2a ，则抛物线经过点(3,0)；②抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；③一元二次方程﹣a ()22x -+bx ＝2b +c 有一个根x ＝﹣1；④点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线上，若当1x ＞2x ＞2时，总有1y ＞2y ，则5a +c ≥0．其中正确的是_____．(填写序号)①②④【分析】由题意可得，抛物线的对称轴为直线x ＝1，图象经过点(﹣1,0)，由抛物线的对称性即可判断①；由Δ＝2224()4()b ac a c ac a c -=+-=-≥0，即可判断②；由a ﹣b +c ＝0，则方程a ()22x -+b (2﹣x )+c ＝0在2﹣x ＝﹣1是成立，求得x ＝﹣3，即可判断③；由题意可知，由题意可知，抛物线开口向上，且﹣2ba≤2，则﹣b ≤4a ，结合a ﹣b +c ＝0，即可判断④．【详解】解：∵抛物线y ＝a 2x +bx +c (a ，b ，c 是常数)，a ﹣b +c ＝0，∴(﹣1，0)是抛物线与x 轴的一个交点．①∵b ＝﹣2a ，∴对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1，∵抛物线经过点(﹣1,0)，∴抛物线经过点(3,0)，即①正确；②Δ＝2224()4()bac a c ac a c -=+-=-≥0，∴抛物线与x 轴一定有公共点，∵a ≠c ，∴抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点．故②正确；③方程﹣a ()22x -+bx ＝2b +c 整理得，a()22x -+b (2﹣x )+c ＝0，∵a ﹣b +c ＝0，∴当2﹣x ＝﹣1时，a +b +c ＝0，∴x ＝3，∴一元二次方程﹣a ()22x -+bx ＝2b +c 有一个根x ＝3；故③错误；④由题意可知，抛物线开口向上，且﹣2ba≤2，∴﹣b ≤4a ，∵a ﹣b +c ＝0，∴﹣b ＝﹣a ﹣c ，∴﹣a ﹣c ≤4a ，∴5a +c ≥0．故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与x 轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．16.如图，拋物线228y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线的对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是AC AP CP 、、的中点，连接DE 、DF ，则DE DF +的最小值为______．DE 、DF 为APC △的中位线，即得出1()2DE DF CP AP +=+．连接BP 、BC ，即得出BP AP =，从而推出11()22DE DF CP BP BC +=+≥，即B ，C ，P 三点共线时，DE DF +的值最小，最小值为12BC ．根据抛物线解析式可求出B 和C 点的坐标，从而得出OB 和OC 的长，进而由勾股定理求出BC 的长，即得出DE DF +的最小值．【详解】∵点D 、E 、F 分别是AC 、AP 、CP 的中点，∴DE 、DF 为APC △的中位线，∴12DE CP =，12DF AP =，∴1()2DE DF CP AP +=+．如图，连接BP BC ，．由抛物线的对称性可得出BP AP =，∴1()2DE DF CP BP +=+，∴CP BP +最小时，DE DF +最小．∵CP BP BC +≥，∴DE DF +的最小值即为12BC 的长，此时B ，C ，P 三点共线．对于228y x x =-++，令0y =，则2280x x -++=，解得：14x =，22x =-，∴(40)B ，，∴4OB =．令0x =，则8y =，∴(08)C ，，∴8OC =，∴BC =，∴CP BP +≥∴12DE DF +≥⨯，即DE DF +的最小值为故答案为：【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的对称性，三角形三边关系的应用以及勾股定理等知识．确定出当B ，C ，P 三点共线时，DE DF +最小，且最小值为12BC 是解题关键．三、解答题（共8小题，共72分）17.解方程：（1）2310x x --=（2）()25410x x x -=-（1）12332222x x =+=-（2）152x =，22x =．【分析】（1）根据配方法解方程即可；（2）等号右面提取公因式2，再移项，最后根据因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：2310x x --=，231x x -=，2993144x x -+=+，2313(24x -=，∴31322x -=±，∴123133132222x x =+=-；【小问2详解】解：()25410x x x -=-，()252(25)x x x -=-，()252(25)0x x x ---=，(25)(2)0x x --=，∴250x -=或20x -=，∴152x =，22x =．【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．18.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次．．．．．．．，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？每轮转发中平均一个人转发给11人【分析】设每轮转发中平均一个人转发给x 人，根据题意可得出第一轮转发共有(1)x +人收到短信，则第二轮转发共有2(1)x x ++人收到短信，由此可列出关于x 的等式，解出x 即可．【详解】解：设每轮转发中平均一个人转发给x 人，由题意得：21133x x ++=，解得：121112x x ==-，（舍），∴每轮转发中平均一个人转发给11人．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．19.如图，抛物线()21y a x h k =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线AB 的解析式为2y mx n =+．（1）=a ______，h =______，k =______（2）当22x -<<时，1y 的取值范围是______（3）当12y y <时，x 的取值范围是______（1）1-，1，4（2）154y -<≤（3）0x <或3x >【分析】（1）由图象可知该抛物线顶点坐标为(14)，，与x 轴的交点A 的坐标为(30)，，从而可知1h =，4k =．再将(30)，代入()2114y a x =-+，即可求出a 的值；（2）由图象可知该抛物线对称轴为直线1x =，开口向下，从而得出当21x -<≤时，y 随x 的增大而增大，当12x <<时，y 随x 的增大而减小，进而得出1y 的最大值为4．求出当2x =-时，1y 的值和当2x =时，1y 的值，再比较，即可得出当22x -<<时，1y 的取值范围；（3）根据求12y y <时，x 的取值范围，即求函数()2114y x =--+的图象在2y mx n =+的图象下方时，x 的取值范围，再结合图象即可得解．【小问1详解】解：由图象可知该抛物线顶点坐标为(14)，，与x 轴的交点A 的坐标为(30)，，∴()2114y a x =-+．将(30)，代入()2114y a x =-+，得：()20314a =-+，解得：1a =-．∴1a =-，1h =，4k =．故答案为：1-，1，4；【小问2详解】解：由（1）可知该抛物线的解析式为()2114y x =--+．由图象可知该抛物线对称轴为直线1x =，开口向下，∴当21x -<≤时，y 随x 的增大而增大，当12x <<时，y 随x 的增大而减小，∴当22x -<<时，1y 的最大值为()21144--+=．∵当2x =-时，()212145y ---+=-=，当2x =时，()212143y --=+=，∴当22x -<<时，1y 的取值范围是154y -<≤；【小问3详解】解：对于()2114y x =--+，令0x =，则13y =，∴(03)B ，．求12y y <时，x 的取值范围，即求函数()2114y x =--+的图象在2y mx n =+的图象下方时，x 的取值范围．由图象可知当0x <或3x >时，函数()2114y x =--+的图象在2y mx n =+的图象下方，∴当12y y <时，x 的取值范围是0x <或3x >．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键．20.关于x 的一元二次方程2310--=kx x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若221213x x +=，求k 的值．（1）94k >-，且0k ≠（2）9k =【分析】（1）根据题意可知该一元二次方程根的判别式0∆>，即可列出关于k 的不等式，解出k 的解集．再根据一元二次方程的定义可知0k ≠，即得出结果；（2）由一元二次方程根与系数关系可得出123x x k +=，121x x k=-．再根据222121212()2x x x x x x +=+-，即得出关于k 的分式方程，解出k ，再舍去不合题意的值即可．【小问1详解】解：∵2310--=kx x ，∴31a k b c ==-=-，，．∵关于x 的一元二次方程2310--=kx x 有两个不相等的实数根，∴224(3)4(1)0b ac k ∆=-=--⨯->，解得：94k >-．∵方程2310--=kx x 为一元二次方程，∴0k ≠，∴94k >-，且0k ≠；【小问2详解】解：∵2310--=kx x ，∴31a k b c ==-=-，，．∴1233b x x a k k -+=-=-=，121c x x a k ==-．∵222121212()2x x x x x x +=+-，∴2311()2()3k k -⨯-=，解得：1239k k =-=，，经检验1239k k =-=，都是原方程的根．∵94k >-，且0k ≠，∴9k =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，分式方程的应用等知识．掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式为24b ac ∆=-，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a+=-和12c x x a ⋅=是解题关键．21.如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，在直线BC 的下方作格点D 使AD BC ⊥，垂足为H ，并作出BDA ∠的角平分线DE ．（2）在图2中画出所有可能的格点F ，使BCF △为以BC 为直角边的等腰直角三角形．（3）在图3中的线段BC 上画出点G ，使45AGC =︒∠．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）直接利用网格得出与AB 垂直的直线进而确定点格点D 得出答案；（2）直接利用网格分别作出11,BF BC BF BC ⊥=，22,CF BC CF BC ⊥=确定点格点1F ，2F 得出答案；（3）借助第（2）问作45FBC ∠= ，通过作平行四边形AFBM 得45AGC FBC ∠=∠= ，进而得出答案．【小问1详解】解：如图：点D 和射线DP 即为所求；【小问2详解】解：如图：点12,F F 即为所求；【小问3详解】解：如图点G 即为所求．【点睛】本题考查了格点图通过数格子连对角线作垂直，角平分线，特殊角，转化思想是解决问题的关键．22.“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词，所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋人米的售价为x 元（x 为正整数），每分钟的销售量为y 袋．（1）求出y 与x 的函数关系式：（2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w 元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？（3）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？（1）5500y x =-+（2）70；4500元（3）65【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，列出函数关系式即可；（2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列出二次函数解析式，求出最值即可；（3）根据题意列出不等式，进行计算即可．【小问1详解】解：由题意得：()100805y x =+-⨯，整理得：5500y x =-+；∴5500y x =-+；【小问2详解】解：由题意得：()()405500w x x =--+，整理得：()225700200005704500w x x x =-+-=--+，∵50a =-<，∴当70x =时，w 有最大值：4500；∴销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元．【小问3详解】解：由题意得：5003875w -≥，即：25700200005003875x x -+--≥，整理得：214048750x x -+≤，()()65750x x --≤，∴6575x ≤≤；∵让消费者获得最大的利益，∴65x =；∴此时大米的销售单价是65元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据题意正确的列出二次函数解析式是解题的关键．23.问题背景（1）如图1，已知ABC 是等边三角形，60ADB ∠=︒，过C 点作CM BD ⊥于M 点，过C 点作CN AD ⊥于N 点，求证：DC 平分ADM ∠．尝试应用（2）如图2，已知在等腰直角ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，E 是BC 中点，在ABC 内部作90ADC ∠=︒，且135ADB ∠=︒，连接DE ，求证：222BD DE BE +=．拓展创新（3）如图3，已知ADF △中752FAD AD ∠=︒=，，延长FA 至B 点，52.5BAC ∠=︒，H 是DF 的中点，过H 点作DF 的垂线交AC 的反向延长线于E 点，连接7.5ED EDA ∠=︒，请直接写出DF 的长度．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1DF =+【分析】（1）设AD 与BC 交于E ，先证明ACN BCM ≌△△得到CN CM =，再由CN AD CM BD ⊥，⊥，即可（2）设AE 与CD 交于F ，先证明DAE ECD ∠=∠，过点E 作EN CD ⊥于N ，EM AD ⊥交AD 延长线于M ，再证明AME CNE △≌△得到EM EN =，求出45EDC ∠=︒，进而求出90BDE ∠=︒，则在Rt BDE △中，由勾股定理得：222BD DE BE +=；（3）如图所示，连接EF ，过点E 作EM AF ⊥于M ，EN AD ⊥交DA 延长线于N ，由线段垂直平分线的性质得到EF ED =，再证明EAN FAE =∠∠，进而推出EM EN =，证明Rt Rt EMF AED △≌△，得到7.5EFA EDA ==︒∠∠，利用三角形内角和定理求出120AEF ∠=︒，进一步求出75DEF ∠=︒，咋52.5DFE FDE ==︒∠∠，由此推出45DFA ∠=︒，60FDA ∠=︒过点A 作AT DF ⊥于T ，则112DT AD AT FT ===，，利用勾股定理求出AT 的长即可得到答案．【详解】解：（1）设AD 与BC 交于E ，∵ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ADB ==︒=，∠∠，∴CAD ACB CED ADB DBC ∠+∠=∠=∠+∠，∴CAD CBD ∠=∠，∵CN AD CM BD ⊥，⊥，∴90ANC BMC ∠=∠=︒，∴()AAS ACN BCM △≌△，∴CN CM =，又∵CN AD CM BD ⊥，⊥，∴DC 平分ADM ∠；（2）设AE 与CD 交于F ，∵90AB AC BAC =∠=︒，，E 是BC 中点，∴90AEC ADC =︒=∠∠，AE BE CE ==，∵DAE ADC AFC AEC ECD +==+∠∠∠∠∠，∴DAE ECD ∠=∠，过点E 作EN CD ⊥于N ，EM AD ⊥交AD 延长线于M ，∴90EMA ENC ==︒∠∠，∴()ASA AME CNE △≌△，∴EM EN =，∴1452EDC MDN ==︒∠，∵135ADB ∠=︒，∴36090BDE ADB EDC ADC =︒---=︒∠∠∠∠，∴在Rt BDE △中，由勾股定理得：222BD DE BE +=；（3）如图所示，连接EF ，过点E 作EM AF ⊥于M ，EN AD ⊥交DA 延长线于N ，∵H 是DF 的中点，EH DF ⊥，∴EH 垂直平分DF ，∴EF ED =，∵75FAD =︒∠，∴180105FAN FAD ∠=︒-∠=︒，∵52.5FAE BAC ==︒∠∠，∴52.5EAN FAN FAE FAE =-=︒=∠∠∠∠，∴AE 平分FAN ∠，∵EM AF ⊥，EN AD ⊥，∴EM EN =，在Rt EMF △和Rt EMF △中，EF ED EM EN=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EMF AED △≌△，∴7.5EFA EDA ==︒∠∠，∴180120AEF EFA EAF ∠=︒-∠-∠=︒，∵18045AED EDA FAD FAE ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∴75DEF AEF AED =-=︒∠∠∠，∴18052.52DEF DFE FDE ︒-===︒∠∠∠，∴45DFA DFE EAF =-=︒∠∠∠，60FDA FDE ADE =+=︒∠∠∠过点A 作AT DF ⊥于T ，∴90ATF ATD ∠=∠=︒，∴3045DAT TAF TFA =︒==︒∠，∠∠，∴112DT AD AT FT ===，，在Rt ADF 中，由勾股定理得：AT ==∴FT AT ==∴1DF DT FT =+=+【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．24.在平面直角坐标系中，抛物线()21y x k x k =+++（为常数）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）当3k =-时，直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（2）在（1）的条件下，如图1，连接BC ，点E 是第四象限内抛物线上的动点，过点E 作EFBC ⊥于点F ，EG x ∥轴交直线BC 于点G ，求EFG 面积的最大值；（3）如图2，当0(1)k k <≠-时，在直线l ：1y kx =+上是否存在点Q ，使得OQB △为直角三角形且这样的Q 点有且只有．．．．3个？若存在，请求出此时k 的值，并求出所有的Q 点坐标：若不存在，请说明理由．（1）()()()1,0,3,0,0,3A B C --；（2）8164；（3）255k =-，Q 坐标为：251(,)55，（0，1）或5133．【分析】（1）把3k =-代入()21y x k x k =+++，分别令0x =，0y =即可求出A 、B 、C 的坐标；（2）设点E 的坐标为：()2,23t t t --，利用直线BC 的表达式用t 表示点G 的坐标，用含t 的式子表示GE ，求出最大值，再利用等腰直角三角形面积公式用GE 表示FGE S ，确定点GE 取最大值时FGE S 面积最大．（3）以OB 为直径的圆与直线l 相切时，直线1y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90OQB ∠=︒，即可求出满足条件的k ，以及此时点Q 的坐标，再分别求出满足90QOB ∠=︒和90QBO ∠=︒时点Q 的坐标即可．【小问1详解】当3k =-，2=23y x x --当0x =时，=3y -，由2230x x --=得：=1x -或3x =，()()()1,0,3,0,0,3A B C --；【小问2详解】直线BC 的表达式为：3y x =-，设点E 的坐标为：()2,23t t t --，则G 的坐标为：()22223,t t t t ---，223993244GE t t t ⎛⎫+=--+≤ =-⎪⎝⎭，由题意知FGE △是以GE 为斜边的等腰直角三角形214FGE S GE = ，当GE 取最大值94时，FGE S 有最大值8164；【小问3详解】以OB 为直径，作M ，当直线CE 与M 相切时，此时在直线1y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90OQB ∠=︒，且切点为Q ，连接QM ，如图令0y =代入2(1)y x k x k =+++，解得：x k =-或=1x -，(,0)B k ∴-，设直线l 与y 轴交于点C ，交x 轴于点E ，把0y =代入1y kx =+，1x k∴=-1(,0)E k ∴-，令0x =代入1y kx =+1y =∴，(0,1)C ∴，1OC ∴=，1EO k=-，OB k =-，90MQE EOC ∠=∠=︒ ，CEO CEO ∠=∠，QEM OEC ∴∆∆∽，∴QM EQ OC EO =，122k QM OB ==- ，∴211k EQ k -=-，12EQ ∴=，GO 与M 相切，∴由切线长定理可知：1CO QC ==，32EC EQ CO ∴=+=，∴由勾股定理可求得：2EO ==，∴12k -=，5k ∴=-．当直线l 与M 相交时，若在直线1y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90OQC ∠=︒，则直线l 必过点B ，即E 与B 重合如图所示：OB k =- ，1OE k=-，1k k ∴-=-，1k ∴=±（舍去），综上可知：5k =-，∴直线l 表达式为：2515y x =-+，52OE ∴=，作QN OE ⊥，则QN OC ∥，∴EQN ECO∆∆∽QN EN QE CO EO CE ∴==，11352QN ∴=，13QN ∴=，56EN =，555263ON ∴=-=，∴Q的坐标为：133，当90QOB ∠= 时，Q 与点C 重合，Q 坐标为（0，1），当90QBO ∠= 时，把255x =代入2515y x =-+，得15y =，Q坐标为：1(,)55，综上可知：5k =-，Q 坐标为：1()55，（0，1）或133．【点睛】本题主要考查了求二次函数表达式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求等腰直角三角形面积的最值，二次函数与直角三角形的几何综合题，切线长定理、圆周角定理，灵活运用转化思想是解决问题的关键．。
2011年华中科技大学信号与线性系统考研真题一、填空题1．积分⎰∞--+2)1()2(dt t t u δ的值=_______;2．信号)1()4sin()(-+=t j et t x ππ的周小周期______;3．离散周期信号的傅立叶级数k a 具有离散性和______性;4．信号)(t x 为一周期信号,其基本频率为n ω,傅立叶级数为k a ,则信号22)(dtt x d 的傅立叶系数为_______;5．若LTI 系统输入)(t x 和输出)(t y 满足⎰+∞∞----=ττττd t xe t y )()3sin()(则该系统的频率响应特性=)(ωj H ______;6．序列∑=--=5][)1(][m mm n n x δ的傅立叶变换为)(),(0j jnk e X e X 则=______;7．信号)1()3(-∙t x t x 的奈奎斯特抽样频率为N ω,则)(t x 的奎斯特抽样频率为______; 8．信号的拉氏变换为)1()1(2+----t u et _______,收敛域为_______;9．右边序列][n x 的z 变换=-+-+--=------]1[,22311)(245146x zz z z z z Z X 则______; 二、判断题1.因果系统一定是有记忆系统。
（）2.冲激响应一定绝对可积（或绝对可和）是LTI 系统稳定的充要条件。
（）3.信号在时域中的平移不会导致拉氏变换收敛域的变化。
（）4.两个不同的LTI 系统对同一激励可能产生相同的响应。
（）5.信号)(t x 的频谱函数为。
，j X 310),(-取样周其为对其进行冲激抽样ω若)(ωj X 满足条件：当πω500>，0|)(|=ωj X ，由香农抽样定理知，)(t x 可完全由其抽样信号恢复。
三、选择题1.若],2[]2[][--+=n u n u n x 则序列]2[n x 包含（）个非零值。
