1 5.1.2 垂线
基础题
知识点1 认识垂直
1．(贺州中考)如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是(A)
A．35° B．40°
C．45° D．60°
2．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系是垂直；若已知AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°.
3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．
解：因为AB⊥CD，
所以∠DOB＝90°.
又因为∠DOE＝127°，
所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB
＝127°－90°＝37°.
所以∠AOF＝∠BOE＝37°.
知识点2 画垂线
4．(和平区期中)画一条线段的垂线，垂足在(D)
A．线段上 B．线段的端点
C．线段的延长线上 D．以上都有可能
5．(邢台期中)下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(D)
知识点3 垂线的性质
6．下列说法正确的有(C)
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
2 ③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是(D)
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
D．垂线段最短
8．某中学创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点A修建一条花间小径到边BC.若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你这样画的理由是垂线段最短．
人教版数学七年级下册5.1.2《垂线》教学设计1
一. 教材分析
人教版数学七年级下册5.1.2《垂线》是几何初步知识中的重要内容，主要让学生掌握垂线的定义、性质和应用。本节课的内容是在学生已经学习了直线、射线、线段的基础上进行的，为后续学习平行线、相交线等知识打下基础。教材通过丰富的图片和生活实例，引导学生认识垂线，探究垂线的性质，培养学生的空间想象能力和几何思维。
二. 学情分析
七年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对直线、射线、线段有了初步的认识。但是，对于垂线的概念和性质，学生可能还比较陌生。因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和直观的演示，帮助学生建立垂线的概念，理解垂线的性质。此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高，教师在教学中应注重引导学生将几何知识运用到实际问题中。
三. 教学目标
1. 知识与技能：让学生掌握垂线的定义、性质，能运用垂线解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和几何思维。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结合作、积极探究的精神。
四. 教学重难点
1. 重难点：垂线的定义、性质和应用。
2. 突破方法：通过直观演示、实例分析、小组讨论等方式，帮助学生理解和掌握垂线的相关知识。
五. 教学方法
1. 情境教学法：通过生活实例和图片，引导学生认识垂线，感受垂线在生活中的应用。
2. 动手操作法：让学生亲自动手画垂线、观察垂线，加深对垂线性质的理解。
3. 小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。 4. 启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
六. 教学准备
1. 教具准备：直尺、三角板、多媒体课件等。
2. 学具准备：每人一份几何工具，如直尺、三角板等。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过展示一些生活中的垂线实例，如房间的墙壁、衣物的拉链等，引导学生观察和思考：这些实例中有什么共同特点？让学生初步感受垂线的概念。
第三节：垂线画法和性质课时练习
一、选择题
1．画一条线段的垂线，垂足在(D )
A．线段上 B．线段的端点
C．线段的延长线上 D．以上都有可能
2．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( D)
3．下列说法正确的有( C)
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数有( D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5.∠A的两边分别垂直于∠B的两边，∠A比∠B大60°，则∠A等于（ A ）
A.120° B.35° C.40° D.38°
6．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是(D )
A．两点确定一条直线
B．经过一点有一条直线与已知直线垂直
C．过一点只能作一条直线
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题
7、垂线的画法__1_放__.__2_移_.___3画线___.
8、过一点有且只有__一条直线___与已知直线__垂直______.
9.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=_145°__.
(1)ODCBA (2)ODCBA E(3)ODCBA
5．1.2 垂 线
教学目标
【知识与技能】
1.能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线.
2.通过画图，理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理.
3.理解点到直线的距离这一重要概念.
4.初步锻炼作图能力，能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用.
【过程与方法】
通过画图探究出两个公理，在不同的情况下过一点作已知直线的垂线，通过看图会找出点到直线的距离，在此基础上深入理解本节的两个公理，进而运用它们进行简单的说理或应用.
【情感态度】
进一步进行画图、探究、归纳等数学活动，特别强调动手画几何图形，体验数学的严密性、科学性、美观性.
【教学重点】
垂直定义、垂直公理的理解与运用.
【教学难点】
点到直线距离与垂线段的 区别与联系.
教学过程
一、情境导入
生活中的垂线
这节课我们将要学习有关这种关系的知识．
二、合作探究
探究点一：垂线的概念
【类型一】 利用垂直的定义求角的度数
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为(
)
A．30° B．40° C．50° D．60°
解析：先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.
方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．
【类型二】 垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数
如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数．
解析：首先根据垂直的概念得到∠BOD＝90°，然后根据∠1与∠3是对顶角，∠2与∠3互为余角，从而求出角的度数．
解：由题意得∠3＝∠1＝30°(对顶角相等)．∵AB⊥CD(已知)，∴∠BOD＝90°，(垂直的定义)，∴∠3＋∠2＝90°，即30°＋∠2＝90°，∴∠2＝60°.
