第六章微分中值定理及其应用
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；
2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时
§ 1中值定理（4学时）
教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。
教学难点：定理的证明。
教学难点：系统讲解法。
一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）
二、讲授新课：
（一）极值概念：
1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )
2. 可微极值点的必要条件:
Th ( Fermat ) ( 证 )
函数的稳定点, 稳定点的求法.
（二）微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.
2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .
用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.
Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.
推论1 函数
在区间I上可导且
为I上的常值函数. (证)
推论2 函数
和
在区间I上可导且
推论3 设函数
在点
的某右邻域
上连续,在
内可导. 若
存在,则右导数
也存在,且有
(证)
但是,
不存在时, 却未必有
不存在. 例如对函数
虽然
不存在,但
却在点
可导(可用定义求得
).
Th ( 导数极限定理 ) 设函数
在点
的某邻域
内连续,在
内可导. 若极限
存在, 则
也存在, 且
( 证 ) 由该定理可见,若函数
在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数
的连续点,要么是
的第二类间断点.这就是说,当函数
在区间I上点点可导时,导函数
在区间I上不可能有第二类间断点.
推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数
在闭区间
上可导, 且
( 证 )
Th ( Darboux ) 设函数
在区间
上可导且
. 若
为介于
与
之间的任一实数, 则
设
对辅助函数
, 应用系4的结果.
( 证 )
3. Cauchy中值定理:
Th 3 设函数
和
在闭区间
上连续, 在开区间
内可导,
和
在
内不同时为零, 又
则在
内至少存在一点
使
.
证分析引出辅助函数
. 验证
在
上满足Rolle定理的条件,
必有
, 因为否则就有
.这与条件“
和
在
内不同时为零”矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义.
（三）中值定理的简单应用:
1. 证明中值点的存在性
例1 设函数
在区间
上连续, 在
内可导, 则
, 使得
.
证在Cauchy中值定理中取
.
例2 设函数
在区间
上连续,在
内可导,且有
.试证明:
.
2. 证明恒等式: 原理.
例3 证明: 对
, 有
.
例4 设函数
和
可导且
又
则
.
证明
.
例5 设对
, 有
, 其中
是正常数. 则函数
是常值函数. (证明
).
3. 证明不等式:
例6 证明不等式:
时,
.
例7 证明不等式: 对
，有
.
4. 证明方程根的存在性:
证明方程
在
内有实根.
例8 证明方程
在
内有实根.
§ 2柯西中值定理和不定式的极限（2学时）
教学目的：
1. 掌握讨论函数单调性方法；
2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
教学要求：
1. 熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；
2. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。
教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital法则
教学难点：L’Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。
教学方法：问题教学法，结合练习。
一.
型:
Th 1 (
Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.
例1
例2
.
例3
. ( 作代换
或利用等价无穷小代换直接计算. )
例4
. (
Hospital法则失效的例 )
二.
型:
Th 2 (
Hospital法则 ) ( 证略 ) 例5
.
例6
.
註: 关于
当
时的阶.
例7
. (
Hospital法则失效的例 )
三. 其他待定型:
.前四个是幂指型的.
例8
例9
.
例10
.
例11
.
例12
.
例13
.
例14 设
且
求
解
.
§ 3 Taylor公式（2学时）
教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。
教学要求：
1. 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；
2. 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。
3. 会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。
教学重点：Taylor公式
教学难点：Taylor定理的证明及应用。
教学方法：系统讲授法。
一. 问题和任务:
用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度.
二. Taylor( 1685—1731 )多项式:
分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式
定义
Taylor 多项式
及Maclaurin多项式
例1 求函数
在点
的Taylor多项式. [1]P174.( 留作阅读 )
三. Taylor公式和误差估计:
称
为余项.称给出
的定量或定性描述的式
为函数
的Taylor公式.
1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor中值定理:
Th 1 设函数
满足条件:
ⅰ> 在闭区间
上
有直到
阶连续导数;
ⅱ> 在开区间
内
有
阶导数.则对
使
.
证 [1]P175—176.
称这种形式的余项
为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为
.
时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为
.
2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano型余项:
Th 2 若函数
在点
的某邻域
内具有
阶导数,且
存在,则
,
.
证设
,
. 应用
Hospital法则
次,并注意到
存在, 就有
=
.
称
为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为
. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).
四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开:
1. 直接展开:
例2 求
的Maclaurin公式.
解
.
例3 求
的Maclaurin公式.
解
,
.
例4 求函数
的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解
.
.
例5 把函数
展开成含
项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . ( [1]P179 E5, 留为阅读. )
2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式.
例6 把函数
展开成含
项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解
,
.
例7 把函数
展开成含
项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解
,
注意,
.
例8 先把函数
展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 . 利用得到的展开式, 把函数