第三章 微分中值定理与导数的应用
教学目的和要求：
1、 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论，并会使用这些定理；了解柯西中值定理的条件和结论
2、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法
3、 了解泰勒定理以及用多项式逼近的思想
4、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用
5、 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）
重点：
1、 应用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明一些等式、不等式和根等问题
2、 用洛必达法则求各种未定式的极限
3、 极值的应用
难点：
1、 应用中值定理证明一些等式或不等式时辅助函数的作法
2、 极值的应用
课时安排：16学时
第一节 微分中值定理
教学目的和要求：
微分中值定理是导数应用的理论基础，本节主要讲三个中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，学生要理解这些定理的条件和结论，并会使用这些定理证明等式、不等式等有关问题。培养学生利用辅助函数证明有关问题的能力。
重点：
应用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明一些等式、不等式和根等问题
难点：
应用中值定理证明一些等式或不等式时辅助函数的作法
教学过程：
一、罗尔定理
1、费马引理
注：
（1）导数等于零的点称为函数的驻点。曲线)(x f y 在其驻点处有水平的切线。
（2）为罗尔定理的证明打下基础
2、罗尔定理
3、几何解释
注意问题：
（1）罗尔定理中如果有一个条件不满足，结论可能不成立
（2）罗尔定理的条件是充分的但不是必要的。即满足条件，结论一定成立。不满足条件，结论可能成立，也可能不成立。
3、例题分析
例1 不求)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个根，并指出所在的区间．
注：本题考察对罗尔定理的理解和运用．
例２ 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ．证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 ξξξ)
()(f f -='．
注：本题考察应用罗尔定理证明抽象函数等式时，辅助函数的构造方法．
例３ 证明方程0155
=+-x x 有且仅有小于１的正实根．
注：本题考察零点定理和罗尔定理的联合应用，当证明有根时用罗尔定理，证明仅有一个根时采用反证法用罗尔定理． 二、拉格朗日中值定理
1、拉格朗日中值定理
2、几何解释
3、推论1、推论2
注意问题：
（1） 定理的条件是充分条件而非必要条件．
（2） 应用广泛且非常灵活: (a)可用它的变形形式，(b)可用于证明一些等式或不等式,
(c)可在任何一个满足定理条件的区间上应用．
4、例题分析
例４ 证明：2arccos arcsin π
=+x x )11(≤≤-x ．
注意：本题考察如何利用推论１证明一些恒等式．
例５ 证明当0>x 时，x x x
x <+<+)1ln(1． 注意：本题考察如何利用拉格朗日中值定理证明一些不等式．
例６ 设0lim >=∞→a a n n ，证明a a n n n n ln )1(lim =-∞
→． 注意：本题考察利用拉格朗日中值定理如何求极限．
三、柯西中值定理
1、柯西中值定理
2、几何解释
3、例题分析
例7 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导．证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使
)]0()1([2)(f f f -='ξξ．
注意：本题考察如何利用柯西中值定理证明一些等式．
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系：
注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式和不等式的步骤．关键是利用逆向思维设辅助函数．
五、课外练习
1、思考题：试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.
2、练习
（１）试证至少存在一点),1(e ∈ξ，使ξln cos 1sin =．
提示：令x x f ln sin )(=，x x F ln )(=，用柯西中值定理证明；
令x x x f ln 1sin ln sin )(⋅-=，用罗尔定理证明．
（２）设],0[)(π∈x f ，且在),0(π内可导，证明至少存在一点),0(πξ∈，使ξξξcos )()(f f -='．
提示：令x x f x F sin )()(=，用罗尔定理证明．
（３）若)(x f 可导，试证在其两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点．
提示：设2121,0)()(x x x f x f <==．
欲证：),(21x x ∈∃ξ使0)()(='+ξξf f ，
只要证 0)()(='+ξξξξf e f e ，亦即 0])([='
=ξx x x f e ． 作辅助函数)()(x f e x F x =，验证函数)(x F 在],[21x x 满足罗尔定理的条件．
六、练习题
１、填空题：
(１) 函数4
)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.
(２) 设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____________个根，它们分别在
区间_____________上.
(３) 罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是_________________.
(４) 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_______与函数在这区间内某点处的
_______之间的关系.
