微分中值定理的应用

微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。

利用微分中值定理，我们可以解决一些与平均速率、瞬时速率和变化率有关的实际问题，比如求解曲线在某一点的斜率、判断函数在某一区间内的增减性等等。

在这篇文章中，我们将介绍微分中值定理的应用，并通过实际例子来说明如何利用微分中值定理解决实际问题。

一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。

微分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

在这里我们主要讨论拉格朗日中值定理，它的表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数。

二、求解曲线在某一点的斜率利用微分中值定理，我们可以求解曲线在某一点的斜率。

我们要求解函数y = x^2在点x = 2的斜率。

首先我们需要计算函数在区间[1, 3]上的平均速率：然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(1, 3)，使得f'(ξ) = 4。

函数y = x^2在点x = 2的斜率为4。

三、判断函数在某一区间内的增减性f'(x) = 3x^2然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(0, 2)，使得f'(ξ) = (f(2) - f(0)) / (2 - 0) = 2ξ^2。

由此可知，当ξ>0时，f'(ξ)>0；当ξ<0时，f'(ξ)<0。

函数y = x^3在区间[0, 2]上是递增的。

四、其他应用除了上述两个例子外，微分中值定理还可以应用于其它实际问题的求解。

利用微分中值定理可以证明罗尔定理和拉格朗日中值定理等，也可以用于解决曲线的凹凸性问题、优化问题等。

微分中值定理的应用4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.例 4.1.1[5]()f x 是定义在实数集R 上的函数,若对任意,x y R ∈,有2()()()f x f y M x y -≤-,其中M 是常数,则()f x 是常值函数.证明 对任意x R ∈,x 的改变量为x ∆,由条件有2()()()f x x f x M x +∆-≤∆,即()()f x x f x M x x+∆-≤∆∆,两边关于0x ∆→取极限得()()0limlim 0x x f x x f x M x x∆→∆→+∆-≤≤∆=∆所以()0f x '=.由中值定理()(0)()0f x f f x ξ'-==,即()(0)f x f =, 故在R 上()f x 是常值函数.思路总结 要想证明一个函数()f x 在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数()f x '在同一区间上恒为零即可.例4.1.2[2] 设()f x =112112321343x x x x x x ------,证明：存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.证明 由于()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,111(0)1220133f --=--=--,11(1)111121f =--0= .符合罗尔中值定理的条件,故存在ξ(0,1)∈,使()0f ξ'=例4.1.3 若()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)f f =0=,设3()()F x x f x =,试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使()0F ξ'''=.证明 由题设可知()F x ,()F x ',()F x '',()F x '''在[0,1]上存在,又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理,∃1ξ(0,1)∈使1()0F ξ'=,又23(0)[3()()]|0x F x f x x f x =''=+=可知()F x '在上1[0,]ξ满足罗尔中值定理,于是21(0,)ξξ∃∈,使得2()0F ξ''=,又23(0)[6()6()()]|0x F xf x x f x x f x ='''''=++=对()F x ''存在21(0,)(0,)(0,1)ξξξ∈⊂⊂,使 ()0F ξ'''=.例4.1.4[4]（达布定理的推论） 若函数()f x 在[,]a b 内有有限导数,且()()0f a f b +-''< ,则至少存在(,)c a b ∈,使得()0f c '=.证明 ()()0f a f b +-''<,不妨设()0f a +'<,()0f b -'>,因为()lim [()()]/()0x af a f x f a x a ++→'=--<由极限的局部保号性可知,∃1δ0>,当1(,)x a a δ∈+时,()()0f x f a -<,即()()f x f a <.同样∃20δ>,当2(,)x b b δ∈-时,()()0f x f b -<,即()()f x f b <.取12m in{,,}2b a δδδ-=,于是在(,)a a δ+,(,)b b δ-中,分别有()()f x f a <和()()f x f b <.故()f a ,()f b 均不是()f x 在[,]a b 中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为c 由费马定理可知,()0f c '=.小结 证明导函数方程()()0n f x =的根的存在性的证明方法有如下几种：①验证函数()f x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明()0f ξ'=.②在大多数情况下,要构造辅助函数()F x ,验证在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,证明()0F ξ'=,进而达到证明问题的目的.③验证x ξ=为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的. 例 4.1.5 设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,0a b <<,试证：,(,)a b ξη∃∈使()()2a b f f ξηη+''=.证明 由于0a b <<,2(),()f x g x x =,()20g x x '=≠,(,)x a b ∈由于(),()f x g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理 ,所以(,)a b η∃∈使22()()()2f f b f a b aηη'-=-()()()()()2f f b f a b a f b aηξη'-'⇒+==-,(,)a b ξ∈由上面二式可得,(,)a b ξη∃∈使得：()()2a b f f ξηη+''=.例4.1.6 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内不同的ξ,η使()()a b a bf f ξη+=+''.证明 由于,0a b >所以01a a b<<+.又由于()f x 在[0,1]上连续且(0)0,(1)1f f ==.由介值性定理,(0,1)τ∃∈使得()a f a bτ=+,()f x 在[0,],[,1]ττ上分别用拉格朗日中值定理有()(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=∈即()(),(0,)f f ττξξτ'=∈ (1)()(1)(),(,1)f f f ττηητ'-=-∈即1()(1)(),(,1)f f ττηητ'-=-∈于是由上面两式有1()1()()()f b f a b f ττηη--==''+()()()()f a f a b f ττξξ==''+将两式相加得1()()()()a b a b f a b f ξη=+''++即()()a b a bf f ξη+=+''.小结 大体上说,证明在某区间内存在,ξη满足某种等式的方法是：①用两次拉格朗日中值定理.②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例4.2.1[3] 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b ==⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以1()0f x '=.由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈.所以()0f ξ''<.例4.2.2 设0b a <≤,证明lna b a a b abb--≤≤.证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立. 下证 当0b a <<时,有lna b a a b ab b--<< ①作辅助函数()ln f x x =,则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使ln ln 1a b a bξ-=- ②由于0b aξ<<<,所以111a bξ<<③由②③有1ln ln 1a b aa bb-<<-,即lna b a a b ab b--<<.小结 一般证明方法有两种①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-； 第三步 把()f ξ'适当放大或缩小.4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题例4.3.1 设函数在0x x =点的某一邻域内可导,且其导数()f x '在0x 连续,而0nn x αβ<<当n →∞时00,n n x x αβ→→,求 ()()limn n n n nf f βαβα→∞--.解 设00{},{}()nn u x αβ⊂,则由拉格朗日中值定理有()()(),()n n n n n n n nf f f βαξαξββα-'=<<-. 已知0()nx n ξ→→∞,又()f x '在0x 连续,即00()lim ()x x f x f x →''=,所以0()()limlim ()lim ()()n n n n n x x n nf f f f x f x βαξβα→∞→∞→--'''===.例4.3.2 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞'+=,求lim ()x f x →∞.分析 由式[()()][()]xxf x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()xxF x f x e g x e==,显然()0g x '≠.解 由lim[()()]0x f x f x →∞'+=,知0ε∀>,0X ∃>当x X >时()()f x f x ε'+<,令()()xF x f x e=,()xg x e =对x X>,在[,]X x 上利用柯西中值定理有()()()()()()F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈即()()[()()]xXxXf x e f X ef f ee eeξξξξ'-+=-,亦有[()()]()()1X xX xf x f X ef f eξξ---'=+-,或|()||()||()()|(1)X xX xf x f X ef f e ξξ--'≤+++由于lim0X xx e-→+∞=,所以1,x X ∃>当1x x >时有X xeε-<和1X xe-<,于是1x x ∀>,使|()||()|2f x f X εε≤+即lim ()x f x →∞=.小结方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.4.4 证明零点存在性在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.例4.4.1 设iaR ∈且满足120 (02)31n a a a a n ++++=+,证明方程12012...0nn a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根.证明 引进辅助函数23112() (2)31n nxxxF x ax a a a n +=+++++,显然(0)(1)0F F ==,()F x 又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,()F x 满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=而1212()...nnF x a a x a x a x '=++++故方程1212...0nna a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根ξ.注 本题构造()F x 的依据是使()F x 得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程510x x +-=有唯一正根. 证明 （存在性）令5()1f x x x =+-,显然()f x 是连续函数,取区间[0,]N 则()f x 在[0,]N 上连续,在(0,)N 内可导,且4()510f x x '=+>,由连续函数的零点定理,知存在0x (0,)N ∈使0()0f x =即方程有正根(0)N >.（唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,设处0x 外还有一个10x >不妨设01x x <使1()0f x =则()f x 在01[,]x x 上满足罗尔中值定理条件,于是存在01(,)x x ξ∈使()0f ξ'=这与上面的4()510f x x '=+>矛盾.所以,方程有唯一的正根.例 4.4.3 设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,证明(,)a b ξ∃∈使()()()()()()0()()()f ag ah a f b g b h b f g h ξξξ='''并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.证明 作辅助函数()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =由于()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知(,)a b ξ∃∈使()()()0()()()()()()()f ag ah a F f b g b h b f g h ξξξξ'==''',①若令()1h x =,则由①式有()()10()()()1()()f ag a F f b g b f g ξξξ'=='',②由②式可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-此即柯西中值定理.若令()1h x =,()g x x =由①式有()10()()1()1f a aF f b bf ξξ'==',③由③可得()()()f b f a f b aξ-'=-此即为拉格朗日中值定理.此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法（1）构造恰当的函数()F x ,使()()F x f x '=；对()F x 使用洛尔定理即可证得结论存在ξ,使得()0f ξ=；（2）对连续函数()f x 使用介值定理；证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证.4.5 函数的单调性例4.5.1[6] 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导,()f x '单调增加,且(0)0f =,则函数()f x x在(0,)a 也单调增加.证明 对任意12,(0,)x x a ∈,且12x x <,则()f x 在1[0,]x 与12[,]x x 均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在11212(0,),(,)c x c x x ∈∈,使111()(0)()0f x f f c x -'=-, 21221()()()f x f x f c x x -'=-,由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以121121()()()f x f x f x x x x -≤-,从而1212()()f x f x x x ≤,即函数()f x x在(0,)a 也单调增加.4.6 导数的中值估计例4.6.1[7] 设()f x 在[,]a b 上二次可微, ()()0f a f b ''==,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得22()()()()f f b f a b a ξ''≥--.证明 因为函数()f x 在[,]2a b a +与[,]2a b b +上可导,所以由中值定理有11()()2(),(,),22a bf f a a b f c c a a b a +-+'=∈+- （1）22()()2(),(,),22a bf b f a b f c c b a b b +-+'=∈+-（2）(1)(2)+,并整理得212()()[()()]f c f c f b f a b a''+=--,（3）又()()0f a f b ''==,且()f x 在[,]a b 上二次可微,则分别在1(,)a c 与2(,)c b 内至少存在1ξ与2ξ,使11111()(),(,),f c f a c c aξξ'''=∈-（4）22222()(),(,),f c f c b c bξξ'''=∈-（5） (4)(5)+,并整理得211122()()()()()(),f c f c f c a fc b ξξ''''''+=-+-（6） 将（6）式代入（3）式得11222()()()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-=-+--令12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=,则11222()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-≤-+--()f b aξ''≤-即22()()()()f f b f a b a ξ''≥--,(,)a b ξ∈.解题方法小结选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论. 4.7 证明函数在区间上的一致连续例4.7.1 设函数()f x 在(0,1]内连续且可导,有0lim ()0x x f x +→'=,证明：()f x 在(0,1]内一致连续.证明 由函数极限的局部有界性知,存在0M >和(0,1)c ∈,使(),(0,]x f x M x c '≤∈于是12,(0,]x xc ∀∈,且12x x ≠不妨设12xx <由柯西中值定理,12(,)x x ξ∃∈,有2121()()()2()1/(2)f x f x f f x x ξξξξ'-'==-即221212212x x x x x x x -=+-≤-故0,ε∀>2m in{(),}2c Mεδ∃=,当12,(0,]x x c ∈,且21x x δ-<时,由上面两式得到212121()()22f x f x M x x M x x ε-≤-≤-<于是知()f x 在(0,]c 上一致连续,由于()f x 在(0,1]上连续,所以()f x 在[,1]c 上一致连续, 由定理知()f x 在(0,1]内一致连续.证明函数在区间上的一致连续解题小结：利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性例 4.8.1 设函数()f x 在点0x =的某邻域内有二阶连续导数,且()limx f x x→=,证11()n f n ∞=∑绝对收敛. 证明 由0()limx f x x→=且()f x 在0x =可导,知(0)0,(0)0f f '==故()f x 在点x =处的一阶泰勒公式为：2211()(0)(0)()()2!2!f x f f x f x f x ξξ'''''=++=,(0,)x ξ∈因()f x M''≤,故221()()2!2M f x f x xξ''=≤.取1x n=有211()()2M f n n≤ 由于211()2n Mn∞=∑收敛,由比较判别知11()n f n∞=∑绝对收敛. 定理[8] 已知()f x 为定义在[1,)+∞上的减函数,()F x 为定义在[1,)+∞上的连续函数,且()()0F x f x '=>,(1,)x ∈+∞. ⑴当极限l i m ()n F n →∞存在时,正项级数1()n f n ∞=∑收敛,设其和为a,则lim ()(1)lim ()(1)(1)n n F n F a F n F f →∞→∞-≤≤-+；⑵当极限lim ()n F n →∞=∞时,正项级数1()n f n ∞=∑发散.证明 下面只证定理的前半部分.因为函数()F x 在区间[,1]k k +上满足中值定理的条件（其中1k ≥）,所以在(,1)k k +内至少存在ξ使得(1)()()F k F k f ξ+-=成立,又()f x 为减函数,故有(1)(1)()(),1,2,,f k F k F k f k k n +<+-<=⋅⋅⋅.将上述n 个不等式相加得(2)(3)...(1)(1)(1)(1)(2)...()f f f n F n F f f f n ++++<+-<+++. 令(1)(2)...()nS f f f n =+++, 则(1)(1)(1)(1)nnS f f n F n F S -++<+-<,（1）第10页 因极限lim ()n F n →∞存在,()f x 为减函数,从而数列{()}F n 有界,(1)(1)f n f +<,所以数列{}nS 单调递增且有上界,故极限lim nn S →∞存在,即级数1()n f n ∞=∑收敛.从而lim()0n f n →∞=,由（1）可得1lim ()(1)()lim ()(1)(1)n n n F n F f n F n F f ∞→∞→∞=-≤≤-+∑.例4.8.2 判定级数21nn n e∞=∑是否收敛？若收敛,请估计其和.解 令2()xf x x e -=,2()(22)xF x x x e -=-++,则()()F x f x '=,()(2)xf x x x e -'=-,故当2x ≥时,()0f x '≤,此时()f x 为减函数,又lim ()n F n →∞0=,由定理知级数21nn n e∞=∑收敛,且22lim ()(2)lim ()(2)(2)nn n n n F n F F n F f e∞→∞→∞=-≤≤-+∑,所以210(2)(1)0(2)(2)(1)nn n F f F f f e∞=-+≤≤-++∑即2212111014nn n eeeee∞----=+≤≤+∑.判定级数的敛散性的一般解题方法方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；方法二 先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论；。

微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它有着广泛的应用。

本文将讨论微分中值定理在各个领域中的应用，以展示该定理的实际价值。

首先，微分中值定理在物理学领域中被广泛应用。

在运动学中，通过对位移、速度和加速度的关系进行微分运算，并应用微分中值定理，可以得出物体在某一时刻的速度与实际速度之间的关系。

这对于分析物体的运动规律以及建立运动模型具有重要意义。

其次，微分中值定理在经济学领域中的应用也非常显著。

在经济学中，市场需求和价格之间存在着紧密的关系。

通过应用微分中值定理，可以得出在某一时刻市场均衡价格的存在性及其与市场需求的关系。

这对于制定经济政策、分析市场波动以及预测商品价格具有重要影响。

此外，微分中值定理在工程学领域也发挥着重要作用。

在工程设计中，经常需要估计材料的特性以及构件的强度。

通过应用微分中值定理，可以推导出在某一点上材料的变形与材料特性之间的定量关系，进而对构件的强度进行评估和优化。

另外，微分中值定理在计算机科学领域中也具有广泛的应用。

在图像处理中，通过应用微分中值定理，可以实现图像边缘检测和轮廓识别等计算机视觉任务。

此外，在机器学习和数据分析中，微分中值定理可用于优化算法和模型训练，提高模型的收敛速度和预测准确性。

总结来说，微分中值定理在物理学、经济学、工程学和计算机科学等领域中都有着广泛的应用。

这些应用凸显了微分中值定理在理论研究和实际问题解决中的重要性和实用性。

通过对微分中值定理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然规律和现象，并利用它们来推动科学技术的发展和社会进步。

总之，微分中值定理作为微积分中的重要定理，在各个领域中都有着广泛的应用。

通过运用微分中值定理，我们可以推导出各种现象之间的定量关系，从而提高问题的解决效率和准确性。

值得指出的是，微分中值定理只是微积分中的一个基础定理，它的应用远不止于此，它为我们开启了更深层次的数学探索和实践应用的大门。

对于理解微积分的精髓和掌握实际问题解决的方法论，微分中值定理的学习和应用是不可或缺的一部分。

第2章 微分和微分法·导数的简单应用90 §2-4 微分中值定理及其应用读者知道，常数(作为区间上的常值函数)的导数恒等于零，那么相反的结论也是正确的吗？又当函数)(x f 在区间),(b a 内单调增大时，由于0(0)()()0(0)x f x x f x x ≥∆>⎧+∆-⎨≤∆<⎩， 从而0)()(≥∆-∆+x x f x x f , 所以它的导数(若存在的话)()()()lim0∆→+∆-'=≥∆x f x x f x f x x那么反过来，若)(0)(b x a x f <<≥'时，函数)(x f 在区间),(b a 内一定是单调增大的吗？要回答这样的问题，就要用到微分学中最重要的一个定理，即微分中值定理(或称拉格朗日中值定理).1.微分中值定理 为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理. 罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b f a f ，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=(图2-14)（*）.证 因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，所以它在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m .若=m M ，则()0()≡≤≤f x a x b ，结论显然成立；若<m M ，则)(x f 在区间),(b a 内某点c 取到最大值或最小值（即不可能同时在两个端点上取到最大值和最小值）.根据定理2-1，有()0f c '=.【注】下面的结论有时也称为罗尔定理： 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b =.若()f x 在开区间(,)a b 内有导数，则至少有一点(,)c a b ∈，使()0f c '=.(图2-15)只要作辅助函数()()()F x f x f a =-，则()()0F a F b ==.根据已证的罗尔定理，就会有点),(b a c ∈，使()()0F c f c ''==.微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使)()()()(b c a ab a f b fc f <<--=' （2-6）（*）罗尔一生从未接受微积分.他是一个代数学家.他可能是在研究代数方程的根时得出类似的结论.后来人们习惯上称它为罗尔定理（他的结论不可能是这种形式）.)图2-14)§2-4 微分中值定理及其应用 91特别，当)()(b f a f =时，它就是罗尔定理（见罗尔定理后的注）.因此，微分中值定理是罗尔定理的推广.[分析] 如图2-16，曲线)(x f y =上必有一点(,())C c f c ，它在该点处切线的斜率等于弦AB 的斜率(切线与弦平行)，即式(2-6).证 考虑函数(曲线与弦的差))]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x ---+-=δ（图2-17）显然，函数)(x δ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b a δδ(在区间两端等于零).根据罗尔定理，必有点),(b a c ∈，使0)(='c δ，即)()()()(b c a ab a f b fc f <<--='【注】微分中值定理的上述证明方法的优点是直观, 而下面的证明方法容易推广（用于证明§2-9中的泰勒公式）.设待定常数C 满足条件()()()f b f a C b a =+- （※）再作辅助函数()()[()()]()F t f t f a C t a a t b =-+-≤≤, 则函数()F t 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，因此有中值(,)c a b ∈, 使()0F c '=, 即()()0()F c f c C C f c '''=-=⇔=.把它代入上面的等式（※）, 则得()()()()()f b f a f c b a a c b '=+-<< 或 ()()()()f b f a f c a c b b a-'=<<-等式(2-6)又称为拉格朗日中值公式或微分中值公式.它有很多变形，例如，若令)10(<<--=θθab a c则拉格朗日中值公式为()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<< (2-7)它对b a >也成立.又如，若函数)(x f 在开区间),(b a 内有导数，则对任意),(b a x ∈和()(,)x x a b +∆∈，都有)10()()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f (2-8) 通常称它为有限增量公式(其中x ∆为有限增量．．．．)，以便区别于无穷小量形式(或极限形式)的公式图2-17图2-16第2章 微分和微分法·导数的简单应用92 ()()()()f x x f x f x x o x '+∆-=∆+∆其中x x d =∆为无穷小量.请读者注意两者的区别．．．．．．．．．．. 微分中值定理和罗尔定理，只断定那个中值)(b c a c <<的存在性，而没有指出它在区间),(b a 内的具体位置.尽管如此，仍不失它在微积分中的重要性，因为在几乎所有的应用中，并不需要知道它在区间),(b a 内的具体位置.微分中值定理使我们能够根据函数的导数．．．．．．．．．．．．．．．．．．)(x f '所提供的信息，反过来去推断函数本身所具有的某些特性或变化状态．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 推论 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b证 设),(0b a x ∈为任意固定一点.根据拉格朗日中值公式，对于任意),(b a x ∈，都有)10(0))](([)()(0000<<=--+'=-θθx x x x x f x f x f即))(()(0b x a x f x f <<≡.对于定义在区间,a b 上的函数)(x f ，若另有定义在区间,a b 上的可微函数()F x 使d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=则称函数()F x 为)(x f 的一个原函数.函数)(x f 在区间,a b 上的原函数不是唯一的，若函数()G x 也是它在区间,a b 上的原函数，因为[]()()()()()()0F x G x F x G x f x f x '''-=-=-=根据上述推论，所以()()F x G x c -≡(常数)或()()F x G x c ≡+.因此，若函数()f x 在区间,a b 上有原函数，则它在该区间上就会有无穷多个原函数，而且每两个原函数之间只能相差一个常数.2.函数单调性的判别法 下面的结论实际上也是微分中值定理的推论.它指出了用导数判别函数单调性的方法.定理2-2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数. ⑴ 若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵ 若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数. （在有限个点上有0)(='x f 时，结论仍成立）证 设1x 和2x 为区间],[b a 上任意两点且21x x <，根据拉格朗日公式，则有2112121()()[()]()f x f x f x x x x x θ'-=+--若()0()f x a x b '><<，则21()()0f x f x ->，即)()(21x f x f <，因此()f x 是增函数；若()0()f x a x b '<<<，则21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >，因此()f x 是减函数. 例18 设13)(23-+=x x x f ，则)2(363)(2+=+='x x x x x f 于是，方程0)(='x f 有根12x =-和20x =. 用这两个根把函数)(x f 的定义域),(+∞-∞分§2-4 微分中值定理及其应用 93成三个小区间 (图2-18)：]0)([),0(],0)([)0,2(],0)([)2,(>'+∞<'->'--∞x f x f x f可见，函数)(x f 在区间)2,(--∞和),0(+∞内增大，而在区间)0,2(-内减小.3.证不等式的方法情形Ⅰ 设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(a g a f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<>.(见图2-19)情形Ⅱ 设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(b g b f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<<.(见图2-20)证 譬如证情形Ⅰ(图2-19).令)()()()(b x a x g x f x h <≤-=.根据条件()i ，则0)(=a h ；根据条件()ii ，()0()h x a x b '><<.因此，)(x h 是增函数.于是，)()()(0b x a x h a h <<<=所以有))(()(b x a x g x f <<>.例19 证明：⑴ 当0>x 时，x x <+)1ln(； ⑵ 当1->x 且0≠x 时，xx x +>+1)1ln(.因此，当0>x 时，有x x xx <+<+)1ln(1.证 ⑴令)1ln()(,)(x x g x x f +==，则0)0()0(==g f 且)0(11)(1)(>+='>='x xx g x f [属于情形Ⅰ]因此，有)0()1ln(>+>x x x .图2-19图2-20图2-18•2-·0x第2章 微分和微分法·导数的简单应用94 ⑵ 令)1ln()(,1)(x x g xx x f +=+=. 在区间]0,1(-上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+>+=' [属于情形Ⅱ]因此，有)1ln(1x xx +<+)01(<<-x .其次，在区间),0[+∞上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+<+=' [属于情形Ⅰ]因此，有)1ln(1x xx +<+)0(+∞<<x .习 题1.不求导数，而根据罗尔定理证明：函数22)(23+--=x xx x f在区间)1,1(-内必有点c ，使0)(='c f .2.证明：不论m 为何值，多项式m x x x P +-=3)(3在区间]1,1[-上不会有两个实根.3.设多项式nn x a x a x a a x P ++++= 2210)(的系数满足等式01321210=+++++n a aa a n 证明：多项式)(x P 在区间)1,0(内必有实根. 提示：考虑函数1210121)(+++++=n n x n a x a x a x f .4.设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有导数，且A x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim （有限值）证明：在),(b a 内至少有一点c ，使0)(='c f .提示：将函数()f x 连续延拓到闭区间[,]a b 上.5.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间),(b a 内可微分，且()()0f a f b ==.证明：对任意实数λ，必存在点(,)a b ξ∈，使()()f f ξλξ'=提示：令()e()xF x f x λ-=.6.对于下列函数，在所示区间上应用拉格朗日中值公式，求出中值c ：⑴)51()(2≤≤=x x x f ； ⑵)42(1)(≤≤=x xx f ；⑶)94()(≤≤=x x x f ； ⑷)e 1(ln )(≤≤=x x x f .答案：⑴3=c ；⑵22=c ；⑶4/25=c ；⑷1e -=c .7.证明：对于0≥x ，则有)(x θθ=使§2-4 微分中值定理及其应用 95θ+=-+x x x 211而且)(x θθ=满足01111;lim ;lim 4242x x θθθ+→+∞→≤≤==8.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数.证明：必有点),(b a c ∈，使)()()()(c f c c f ab a af b bf '+=-- [ 提示：考虑函数)()(x xf x g =]9.设函数()f x 在点a 连续且有极限lim ()x af x →'.证明：必有导数()f a '且()lim ()x af a f x →''= [点a 的导数等于近旁导数的极限]同样，若函数()f x 在点a 左连续[右连续]且有左极限lim ()x af x -→'[右极限lim ()x af x +→']，则必有左导数()f a -'[右导数()f a +']且()lim ()x a f a f x --→''= ()lim ()x a f a f x ++→⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦提示：()()()f a x f a f a x x θ'+∆-=+∆∆(01)θ<<.【注1】根据这个结论, 函数1,()0,x a f x x a=⎧=⎨≠⎩在含点a 的区间内没有原函数（用反证法证）。

中国文化的自然观及其艺术表现（9）中国文化自然观的确立（之一）潘世东几乎与现实社会中西周王朝的坠落同步，神的王国中，“天”也失去了原有的光辉。

春秋战国时代，风云变幻，天下大乱；诸侯称雄争霸，处士放言无忌；一方面，以血缘宗法关系维系的周代礼乐制度、思想体系遭到全面的冲击，另一方面，一个新兴的阶级在崛起，各种思想之花竟相开放。

一时间，出现了后世封建文人所谓的“礼崩乐坏”、世风日下的局面，历史在这里是“高山为川、深谷为陵”，发生了天翻地覆的变化。

时代的大动乱对旧秩序、旧权威、旧观念带来了毁灭性的打击，这种打击就象三月的春雷，震粹了隆冬封锁土地牢固的厚冰，给各种新生的春苗提供了新生的土壤和空间，使各种新苗得以破土而出并茁壮成长。

春秋战国这数百年间，是中国唯一的一次华夏本土上萌生发展的思想，在未受外来思潮影响下竞相争鸣的时代。

正如古希腊的思想中包含着以后欧洲各种思想的萌芽一样，在争鸣的诸子百家思想中，也孕育了中国思想或者说东方文明的萌芽。

对诸子百家时代的文化思想史地位的评价，柏扬先生曾有一段充满诗情的文字：“不仅仅百花怒放，百家争鸣而已，中国人的思想已进入无涯的空间，充满了想象力，奔腾驰骋，彩虹四起，处处是活泼的灵性和丰富的生命。

大黄金时代是中国人最兴奋的时代”[1]。

中国文化中最初的自然观，就是在这个时期逐步形成并确立的。

先秦诸子，按照班固《汉书。

艺文志》的说法，可以分为儒、道、法、名、墨、阴阳、兵、农、杂、小说等家，统称为九流十家。

其中，儒再分为八派，墨又有三家，凡此等等，前人多有论列。

他们的政治见解和人生态度，各不相同，但都从不同的角度，阐发了对自然的看法，闪现出究天问地、探索宇宙的巨大勇气和思辨火花。

这里，主要概述如下：1．疑惑参半的儒家天道观作为后世的主流学派，以孔子为代表的儒家学说关注的主要是社会人伦的问题，并没有系统的自然观，但是，值得注意的是，在孔子及其后学孟子的论述中，也反映了他们对宇宙天地和人与自然关系的一些有价值的片断看法。

微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。

本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。

一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。

其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。

罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。

3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。

二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。

下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。

1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。

微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。

该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。

微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。

这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。

下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。

例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。

我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。

因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。

由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。

我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。

也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。

例2：证明一段周期函数的平均值等于零。

假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。

微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们将总结一下微分中值定理的应用。

微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。

它们都是从微分的角度出发，研究了函数在一定条件下的均匀变化规律，因此在实际应用中具有重要的意义。

下面我们将从几个方面来讨论微分中值定理的应用。

一、曲线的切线微分中值定理最基本的应用之一就是用来求曲线上某点的切线。

当我们需要求曲线在某一点的切线时，可以先求出该点的导数，然后根据微分中值定理，可以得到该点的切线的斜率，从而得到切线的方程。

这在工程计算和物理问题中有广泛的应用，如求曲线上某一点的切线斜率，可以用来分析曲线在该点的变化趋势，从而得出相关的结论。

二、误差估计微分中值定理还可以用来进行误差估计。

在实际测量和计算中，往往难以得到准确的数值，只能得到数值的近似值。

此时，我们可以利用微分中值定理来进行误差估计。

通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点附近的变化规律，从而可以利用微分中值定理来估计函数值的误差范围，这在工程测量和科学实验中有着重要的应用。

三、最优化问题微分中值定理还可以用来解决最优化问题。

最优化问题是指在一定条件下寻找函数的极值点的问题，常常出现在工程设计和经济管理中。

通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点的变化规律，从而可以利用微分中值定理来寻找函数的极值点，从而得到最优解。

这在工程设计和市场调研中有着广泛的应用。

四、速度和加速度在物理学中，微分中值定理也有着重要的应用。

通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。

从而可以利用微分中值定理来分析物体的运动规律，这在工程设计和交通管理中有着广泛的应用。

一、 用微分中值定理证明函数恒等式1. 欲证：当x I ∈时，有恒等式()f x a =解题程序：⑴验证()0f x '=，由此推出()f x C =;⑵取区间I 内的一个特殊值确定常数：若0x I ∈,则有()0f x a =，即C a =。

2. 欲证两个函数恒等：当x I ∈时，有()()f x g x =若令()()()F x f x g x =-，这时化为1中0a =的情形。

3. 用拉格朗日中值定理证明函数恒等式 如证明arcsin arccos , 1.2x x x π+=≤ 二、 直接用微分中值定理证明中值等式所谓中值等式或中值不等式，就是证明等式或不等式仅在区间内的一点或至少一点成立。

证明中值等式须用微分中值定理，泰勒公式或积分中值定理。

下述情况的中值等式，一般需用微分中值定理证明 ⑴若题设函数()f x 或()f x 与()g x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导（或隐含），欲证：至少存在一点(),a b ξ∈或存在(),a b ξ∈，使一个等式成立，且等式中含有()(),f f ξξ'''或()(),f g ξξ''等。

若欲证：存在惟一一点(),a b ξ∈使等式成立，除证明存在(),a b ξ∈之外，一般尚需用反证法或函数的单调性证明惟一性。

直接用微分中值定理证明等式的解题思路：⑴ 若欲证等式本身就是或可改写成中值定理的形式，则可直接选用相应的微分中值定理：若存在(),a b ξ∈，使()0f ξ'=成立的形式，则()f x 用洛尔定理；若形如()()()()()()()()()()()()(),,;,01;,01fb f a f b aa b f b f a f a b a b a f x h f x f x h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 的等式，则()f x 用拉格朗日中值定理。