2019年高考数学文一轮分层演练：第5章平面向量 第2讲

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 知识拓展1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) 题组二 教材改编2．[P79练习T6]已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为 ． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5. 3．[P81习题T17]已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝ .答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 题组三 易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝ . 答案 05．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝ . 答案 (－7，－4)解析 根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ . 答案 －6解析 因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一 平面向量基本定理的应用1.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为 ．答案 65解析 因为BG →＝2GO →，BO 为AC 边上的中点， 所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.因为CD →∥AG →，所以设CD →＝mAG →， 从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝⎛⎭⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →. 因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.2.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为 ．答案311解析 ∵AN →＝13NC →，∴AC →＝4AN →，∵AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，又P ，B ，N 三点共线，∴m ＋811＝1，即m ＝311.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二 平面向量的坐标运算典例 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝ . 答案 ⎝⎛⎭⎫－133，－43 解析 由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝ .答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.引申探究在本例(2)中，试用a ，c 表示b .解 建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，设b ＝x a ＋y c ，则(6,2)＝x (－1,1)＋y (－1，－3)．即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝6，x －3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，故b ＝－4a －2c .思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 跟踪训练 (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，72 解析 设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)， 又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.(2)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝ .答案 (－1,2)解析 12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32， 故12a －32b ＝(－1,2)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标典例 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数典例 已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝ . 答案 45°解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．跟踪训练 (1)已知向量a ＝(1,1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为 ． 答案 (－3，－6)解析 设B (x,2x )，则AB →＝(x －3,2x )． ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3， ∴B (－3，－6)．(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为 ． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)， 根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0， 即4a ＝－5，∴a ＝－54.解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分) 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.[4分]设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[10分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，[12分] 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．(填序号) ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 1＋2e 2； ③e 1＋e 2与e 1－e 2； ④e 1－2e 2与－e 1＋2e 2. 答案 ④2．(2017·东海中学质检)已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，向量a ＝2e 1－e 2，b ＝m e 1＋3e 2，若a ∥b ，则实数m ＝ . 答案 －6解析 ∵a ∥b ，∴b ＝λa . 又∵a ＝2e 1－e 2，b ＝m e 1＋3e 2， ∴m e 1＋3e 2＝2λe 1－λe 2， 即(m －2λ)e 1＋(3＋λ)e 2＝0.又e 1，e 2是平面上两个不共线的向量， ∴m －2λ＝0，且3＋λ＝0，解得m ＝－6.3．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝ .答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.4．(2017·扬州中学质检)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是 ． 答案494解析 以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，C (23，0)，B (3，3)． 设P (x ，y )，∵|AP →|＝1，∴x 2＋y 2＝1， ∵PM →＝MC →，∴M 为PC 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋232，y 2，∴|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－32＋⎝⎛⎭⎫y 2－32＝x 24＋y 24－3y ＋9＝14－3y ＋9＝374－3y ， 又∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－1时，|BM →|2取得最大值，且最大值为494.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－∞，2)∪(2，＋∞)解析 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为 ．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)， OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为 ． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝ . 答案 1解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.9．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝ .答案 2 2解析 由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)知，点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD→＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝ .(用e 1，e 2表示) 答案 －23e 1＋512e 2解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)． 12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ∴3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．13．(2017·江苏) 如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ .答案 3解析 方法一 因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n . 在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD ) ＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245，所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得 22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2， cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝152×22－752×22＝－35， 则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3.14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为 ．答案102解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ. ∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102.15.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是 ．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．16.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为 ．答案7＋434解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，D (0,4)，C (1,4)．又k BC ＝－43，故BC 所在的直线方程为 y ＝－43(x －4)．又AP →＝mAB →＋nAD →，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,4)，所以AP →＝(4m,4n )，故P (4m,4n )， 又点P 在直线BC 上，即3n ＋4m ＝4， 即4⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝(3n ＋4m )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝7＋3n m ＋4mn≥7＋212＝7＋43，所以⎝⎛⎭⎫1m ＋1n min ＝7＋434，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＝4m 2，3n ＋4m ＝4， 即m ＝4－23，n ＝83－123时取等号(因为m ，n 均为正实数)．。

A．若|z1－z2|＝0，则 z1＝z2
B．若 z1＝z2，则 z1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则 z1z1＝z2z2 D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
解：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di.若|z1－z2|＝0，则 z1－z2＝(a－c)
＋(b－d)i＝0，即 a＝c，b＝d，∴z1＝z2，故 A 正确；若 z1＝z2，则
∴原式＝－(i＋1)×（1＋2i）＝－ 2.
点拨：
(1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一 些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都 有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1 －i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i， i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N) 等．(2)复数 z＝a＋bi 与平面向量O→Z＝(a，b)是一一对应的．
i 是虚数单位，1－2i2016＋11＋ －ii6＝______________.
解：原式＝1－2i21008＋11－＋ii6＝－22i1008＋i6＝i1 008＋i6＝
i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.故填 0.
类型二 复数的模与共轭复数
第五章
平面向量与复数
• 5.6 复数的四则运算及 几何意义
1．复数的加、减、乘、除的运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝
；
(2)z1·z2＝
；
(3)zz12＝
(z2≠0)．
2．复数加、减法的几何意义
以复数 z1，z2 分别对应的向量O→Z1，O→Z2为邻边作平
a＝c，b＝－d，∴z1＝z2，故 B 正确；若|z1|＝|z2|，则 a2＋b2＝c2＋

第二讲平面向量的数量积及应用题组1数量积的定义及长度、角度问题1.[2016全国卷Ⅲ,3,5分]已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°2.[2016山东,8,5分][理]已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-3.[2015安徽,8,5分][理]△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥4.[2015福建,9,5分][理]已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.215.[2015重庆,6,5分][理]若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A. B. C. D.π6.[2017全国卷Ⅰ,13,5分][理]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.7.[2017山东,12,5分][理]已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.8.[2017天津,13,5分][理]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.9.[2016浙江,15,4分]已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1,若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.题组2平面向量的综合应用10.[2017全国卷Ⅱ,12,5分][理]已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-111.[2017 浙江,10,4分][理] 如图5-2-1,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则()图5-2-1A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I312.[2015 山东,4,5分][理]已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=()A.-a2B.-a2C.a2D.a213.[2015新课标全国Ⅰ,5,5分][理]已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A.(-,)B.(-,)C.(-,)D.(-,)14.[2015湖南,8,5分][理]已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为()A.6B.7C.8D.915.[2014天津,8,5分][理]已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC 上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()A. B. C. D.16.[2015 广东,16,12分][理]在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x),x ∈(0,).(1)若m⊥n,求t a n x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.A组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,7]△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+,且||=||,则向量在向量方向上的投影为()A. B.- C.- D.2.[2017长沙市五月模拟,8]已知|a|=1,a与b的夹角是,(a+2b)·a=3,则|b|的值是()A.3B.1C.D.23.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,3] 在如图5-2-2所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为线段BC上的点,则·的最小值为图5-2-2()A.12B.15C.17D.164.[2018山西省名校第一次联考,13]已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=.5.[2018广东七校联考,13]设向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b),则a与b的夹角是.6.[2018合肥市高三调研性检测,14]已知a=(2,5t-1),b=(t+1,-1),若|a+b|=|a-b|,则t=.7.[2018惠州市第一次调考,15]已知正方形ABCD的中心为O,且其边长为1,则(-)·(+)=.8.[2017长春市高三第四次质量监测,14]若非零向量a,b满足|a|=2|b|=|a+b|,则向量a与b夹角的余弦值为.B组提升题9.[2018河北省衡水市武邑中学高三三调,10]已知a,b为平面向量,若a+b与a的夹角为,a+b 与b的夹角为,则=()A. B. C. D.210.[2017合肥市高三第三次质量检测,5]已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,则下列关系可能成立的是()A.(a-b)⊥aB.(a-b)⊥(a+b)C.(a+b)⊥bD.(a+b)⊥a11.[2018辽宁省五校联考,13]已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则=.12.[2018湖南省益阳市、湘潭市高三联考,14]已知非零向量a,b满足:a·b=0,|a+b|=t|a|,若a+b 与a-b的夹角为,则t的值为.13.[2017重庆市七校高三联考,14]在平面四边形ABCD中,已知=(1,3),=(m,-3),则四边形ABCD的面积的最大值为.14.[2017武汉市五月模拟,16]如图5-2-3,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1.若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值为.图5-2-315.[2017大连市双基测试,17]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sin A sin B.(1)求角C;(2)向量m=(sin A,cos B),n=(cos x,sin x),若函数f(x)=m·n的图象关于直线x=对称,求角A,B.答案1.A由两向量的夹角公式,可得cos∠ABC===,则∠ABC=30°.故选A.2.B由n⊥(t m+n)可得n·(t m+n)=0,即t m·n+n2=0,所以t=-=-=-=-3×=-3×=-4.故选B.3.D因为=2a,=2a+b,所以a=,b=-=,因为△ABC是边长为2的等边三角形,所以|b|=2,a·b=·=-1,故a,b不垂直,4a+b=2+=+,故(4a+b)·=(+)·=-2+2=0,所以(4a+b)⊥,故选D.4.A依题意,以点A为坐标原点,以AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立如图D 5-2-3所示的平面直角坐标系,则点P(1,4),B(,0),C(0,t),所以·=(-1,-4)·(-1,t-4)=(-1)×(-1)-4×(t-4)=17--4t≤17-2=13(当且仅当=4t,即t=时取等号),所以·的最大值为13,故选A.图D 5-2-35.A由条件,得(a-b)·(3a+2b)=3a2-2b2-a·b=0,即a·b=3a2-2b2.又|a|=|b|,所以a·b=3·(|b|)2-2b2=b2,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=,故选A.6.2易知|a+2b|===2.7.因为=-,故-=,解得λ=.8.解法一=+=+=+(-)=+.又·=3×2×=3,所以·=(+)·(-+λ)=-+(λ-)·+λ2=-3+3(λ-)+λ×4=λ-5=-4,则λ=.解法二以点A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,).由=2,得D(,),由=λ-,得E(λ-3,λ),则·=(,)·(λ-3,λ)=(λ-3)+×λ=λ-5=-4,则λ=.9.由a·b=1,|a|=1,|b|=2可得两向量的夹角为60°,建立平面直角坐标系,可设a=(1,0),b=(1,),e=(cos θ,sin θ),则|a·e|+|b·e|=|cos θ|+|cos θ+sin θ|≤|cos θ|+|cos θ|+ |sin θ|=|sin θ|+2|cos θ|≤,所以|a·e|+|b·e|的最大值为.10.B图D 5-2-4如图D 5-2-4,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·(+) =(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+2(y-)2-,所以当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-,故选B.11.C如图D 5-2-5所示,图D 5-2-5四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AO<AF,而∠AFB=90°,∴∠AOB与∠COD为钝角,∠AOD与∠BOC为锐角.根据题意,I1-I2=·-·=·(-)=·=||·||·cos∠AOB<0,∴I1<I2,同理得,I2>I3,作AG⊥BD于G,又AB=AD,∴OB<BG=GD<OD,而OA<AF=FC<OC,∴||·||<||·||,而cos∠AOB=cos∠COD<0,∴·>·,即I1>I3.∴I3<I1<I2,故选C.12.D在菱形ABCD中,=,=+,所以·=(+)·=·+·=a2+a×a×cos60°=a2+a2=a2.故选D.13.A由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=-3+=3-1<0,所以-<y0<,故选A.14.B解法一因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故+=2=(-4,0),|++|=|2+|≤2||+||,又||≤||+1=3,所以|++|≤4+3=7,故其最大值为7,故选B.解法二因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,不妨设A(cos x,sin x),B(cos(x+α),sin(x+α))(α≠kπ,k∈Z),C(-cos x,-sin x),++=(cos(x+α)-6,sin(x+α)),|++|=-=- ≤7,故选B.15.C如图D 5-2-6所示,图D 5-2-6以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy,不妨设A(0,-1),B(-,0),C(0,1),D(,0),由题意得=(1-λ)·=(λ-,λ-1),=(1-μ)=(-μ, μ-1).因为·=-,所以3(λ-1)·(1-μ)+(λ-1)(μ-1)=-,即(λ-1)(μ-1)=.因为=+=(-λ+1),=+=(-μ,μ+1),·=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.由--,,整理得λ+μ=.故选C.16.(1)因为m⊥n,所以m·n=0.故sin x-cos x=0,所以tan x=1.(2)因为m与n的夹角为,所以cos<m,n>==-=,故sin(x-)=.又x∈(0,),所以x-∈(-,),所以x-=,即x=,故x的值为.A组基础题1.D依题意知,圆心O为BC的中点,即BC是△ABC的外接圆的直径,AC⊥AB.又AO=OB= AB=1,因此∠ABC=60°,∠ACB=30°,||=,在方向上的投影为||cos 30°=×=,故选D.2.D(a+2b)·a=a2+2a·b=1+2×1×|b|=3,解得|b|=2,故选D.3.B以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图D 5-2-7所示的平面直角坐标系,则A(0,4),D(2,4),设E(x,0 0≤x≤2 ,所以·=(x,-4)·(x-2,-4)=x2-2x+16=(x-1)2+15,于是当x=1,即E为BC的中点时,·取得最小值15,故选B.图D 5-2-74.4由a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,得6-2m=0,所以m=3,所以a-2b=(4,-8),所以|a-2b|===4.5.60°因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,故|a|2-|a||b|·cos<a,b>=0,解得cos<a,b>=,故a与b的夹角为60°.6.1因为a=(2,5t-1),b=(t+1,-1),所以a+b=(t+3,5t-2),a-b=(1-t,5t),因为|a+b|=|a-b|,所以(t+3)2+(5t-2)2=(1-t)2+(5t)2,解得t=1.7.1(-)·(+)=·=1××cos 45°=1.8.-设向量a与b的夹角为θ,由题意得|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,则2a·b+|b|2=0,即2|a||b|·cos θ=-|b|2,故cos θ=-.图D 5-2-8B组提升题9.B如图D 5-2-8所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=a+b,∠BAC=,∠DAC=,所以在△ABC中,由正弦定理得==.故选B.10.C|a|=2,|b|=1,设向量a,b的夹角为θ,若(a-b)⊥a,则(a-b)·a=a2-a·b=4-2cos θ=0,解得cos θ=2,显然θ不存在,故A不成立;若(a-b)⊥(a+b),则(a-b)·(a+b)=a2-b2=4-1=3≠0,故B不成立;若(a+b)⊥b,则(a+b)·b=b2+a·b=1+2cos θ=0,解得cos θ=-,即θ=,故C成立;若(a+b)⊥a,则(a+b)·a=a2+a·b=4+2cos θ=0,解得cos θ=-2,显然θ不存在,故D不成立.故选C.11.-因为|a|=3,|b|=4,a·b=-12,所以向量a,b的夹角为180°,即a=-b,又a=(x1,y1),b=(x2,y2),所以=-.12.因为非零向量a,b满足a·b=0,所以(a-b)2=(a+b)2,即|a+b|=|a-b|.又|a+b|=t|a|,所以|a+b|=|a-b|=t|a|.因为a+b与a-b的夹角为,所以-=cos.整理,得-=.即-(2-t2)|a|2=2|b|2.又|a+b|=t|a|,两边平方,得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+-=t2|a|2,解得t2=.由题意,得t>0,所以t=.13.15设AC与BD相交于点O,设B,D到AC的距离分别为d B,d D,则S四边形ABCD=×||×d B+×||×d D=×||×(d B+d D ≤×||×||=××,当四边形ABCD的面积最大时,·=1×m+3×(-3)=0,得m=9,则S四边形ABCD=15.14.连接AM,AN,由·=||||cos=-,=(+)=(λ+μ),=(+),=-=(1-λ)+(1-μ),=[(1-λ)2-(1-λ)(1-μ)+(1-μ)2]=(1-λ)2-(1-λ)(1-μ)+(1-μ)2,由λ+4μ=1⇒1-λ=4μ,可得=μ2-μ+,∵λ,μ∈(0,1),∴当μ=时,||2取最小值,||的最小值为,∴||的最小值为.15.(1)由已知得sin2A+sin2B-sin2C=-sin A sin B,由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理可得cos C=-=-.∵0<C<π,∴C=.(2)解法一f(x)=m·n=sin A cos x+cos B sin x=M sin(x+φ),其中M=,tan φ=.∵f(x)的图象关于直线x=对称,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,∴=tan φ=,即cos B=sin A.由(1)得B=-A,∴cos(-A)=sin A,得tan A=,∴A=B=.解法二f(x)=m·n=sin A cos x+cos B sin x.∵f(x)的图象关于直线x=对称,∴f(0)=f(),即sin A=-sin A+cos B,3sin A=cos B.由(1)得B=-A,∴3sin A=cos(-A),得tan A=,∴A=B=.。

当点 M(或点 N)与点 A 重合时，|C→E|最大，此时 |C→E|2＝12＋42－2×1×445＝553，所以C→M·C→N的最大值为458. 综上，C→M·C→N的取值范围是12159，458.故选 C.
[答案] (1)12 (2)C
[解题反思] 在本例(1)解法一中，注意向量A→D与D→C的夹角 是∠ADC 的补角，而不是∠ADC，本例(2)中运用了结论“在△ ABC 中，若 D 为 BC 中点，则A→B·A→C＝|A→D|－14|C→B|2，能迅速求解 具有共起点的两个向量的数量积问题．
解法二：如图，建立平面直角坐标系 xAy.
依题意，可设点 D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中 m>0， n>0，
则由A→B·A→C＝2A→B·A→D，得(n,0)·(m＋2，m) ＝2(n,0)·(m，m)， 所以 n(m＋2)＝2nm，化简得 m＝2. 故A→D·A→C＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
(3)平面几何中夹角与线段长度计算：
a·b ①cos〈a，b〉＝ |a||b|
＝
aa21＋1b1a＋22 ab221b＋2 b22，
②|AB|＝|A→B|＝ A→B2 ＝ x2－x12＋y2－y12 .
2．向量在解析几何中的应用
(1)向量 a＝(a1，a2)平行于直线 l，则直线 l 的斜率 k＝aa21(a1≠0)． (2)若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l
(2)设 MN 的中点为 E，则有C→M＋C→N＝2C→E， 所以C→M·C→N＝14[(C→M＋C→N)2－(C→M－C→N)2] ＝|C→E|2－14|N→M|2＝|C→E|2－1. 易知|C→E|的最小值等于点 C 到斜边 AB 的距离即152，所以 C→M·C→N的最小值为1522－1＝12159.