七年级数学专题训练23 与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念； 3. 互余、互补等数量关系角； 4. 用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12∠+∠= .21（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠. 其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知80AOB ∠=︒，OC 是不在直线OA ，OB 上的任一条射线. OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC . 求∠MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）B'A'O BA（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x 的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x 的代数式表示，通过解方程求出x 的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.19°（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.【例6】如图所示，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC . （1）如图①，若30AOC ∠=︒，求∠DOE 的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出∠DOE 的度数 （用含α的代数式表示）；（3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；② 在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由ABODCEECDOBA图 ① 图 ②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE 的度数；（2）先根据∠DOE 与∠COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE ，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；（3）①可设∠BOC 为一个未知数，分别表示出∠AOC 与∠DOE ，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A 级1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）2. 如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .EC DOBA（“希望杯”邀请赛试题）3. 如图，150AOC BOD ∠=∠=︒，若3AOD BOC ∠=∠，则BOC ∠等于 .AB ODC4. 如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分∠BOD ，则图中彼此互补的角有 对.ECDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）5. 一个角的补角的117是6°，则这个角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°（“希望杯”邀请赛试题）6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如图，若180AOB ∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）2ABO1A.1212∠-∠B.132122∠-∠C. 1(21)2∠-∠D.1(21)3∠+∠ （甘肃省兰州市竞赛试题）8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设BOD α∠=，则与α的余角相等的角是（ ）αABODCEA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9. 如图，已知2COB AOC ∠=∠，OD 平分∠AOB ，且19COD ∠=︒，求∠AOB 的度数.CDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，12BOE EOC ∠=∠，72DOE ∠=︒. 求∠EOC 的度数.ECDO BA11. 已知80AOB ∠=︒，OC 平分∠AOB ，60COD ∠=︒，OE 平分∠COD . 求∠AOE 的大小.EC DOB A12. 如图，已知OB ，OC ，OD 为∠AOE 内三条射线. （1）图中共有多少个角？（2）若OB ，OC ，OD 为∠AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE 的度数. （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和.EC DOBAB 级1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .（浙江省杭州市竞赛试题）2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则αβγ++= .（江苏省竞赛试题）3. 如图，点O 在直线AB 上，OC ，OD ，OE ，OF 是位于AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.F ABOD C E（五城市联赛试题）4. 如图，射线OC ，OD ，OE ，OF 分别平分∠AOB ，∠COB ，∠AOC ，∠EOC ，若24FOD ∠=︒，则AOB ∠= .F EC DOBA（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”竞赛试题）6. 如图是一个3×3的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）987654321A. 270°B. 315°C. 360°D. 405°（广西省竞赛试题）7. 已知，OM ，ON ，OP 分别是∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ）OCB APMNA.AOP MON ∠>∠B.AOP MON ∠=∠C.AOP MON ∠<∠D.以上情况都有可能 8. 如图，∠AOC 是直角，21.5COD ∠=︒，且OB ，OD 分别是∠AOC ，∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（ ）ABODCEA. 111.5°B. 138°C. 134.5°D. 178°（五城市联赛试题）9. 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF ，使∠COE 和∠BOE 互余，射线OF 和OD 分别平分∠COE 和∠BOE . 求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠.FABODC E10. 如图，∠A 1OA 11是一个平角，322143325443A OA A OA A OA A OA A OA A OA ∠-∠=∠-∠=∠-∠==11101092A OA A OA ∠-∠=︒. 求1110A OA ∠的度数....A 5A 4A 3A 2A 10A 11A 1O（山东省竞赛试题）11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB 的面积第一次达到最大？（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）专题23 与角相关的问题例1 45°提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.例2．B提示：①（90°－∠β）+∠β=90°符合；②（∠α－90°）+∠β=∠α+∠β－90°=180°－90°=90°符合；③11(1809090 22αββββ∠+∠+∠=⨯︒+∠=︒+∠≠︒）；④111()18090222αββαβ∠-∠∠=∠+∠=⨯︒=︒()+符合.故①②④能表示β∠的余角.13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=12AOC∠，∠CON=∠BON=12BOC∠（1）如图①，若OC在∠AOB内，设∠BOC=x，则图①图② 图③ 例6 （1）20m n，2(6)0n ，且2m n 与2(6)n 互为相反数。
探究角之间的数量关系例题在初中数学的研究领域内,常见的角与角之间的关系主要有两种:----是和差关系，二是倍分关系。
在寻求角与角之间的关系时,图形中涉及的角较多，关系较为复杂,有的图形需要添加辅助线,才能使角之间的关系明朗化.为了提高学生解决问题的能力，笔者设计了以下几道有代表性的例题和相应的习题,依靠已有的知识储备,充分利用“转化”的数学思想，便能使问题迎刃而解。
探究角之间的数量关系练习题1、如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC 在y 轴上，斜边AB 交x 轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A 重合，直角边AE 和斜边AD 分别交x 轴于点F、H．（1）若AB∥ED，求∠AHO 的度数（2）如图2，将三角板ADE 绕点A 旋转．在旋转过程中，∠AGH 的平分线GM 与∠AHF 的平分线HM 相交于点M，∠COF 的平分线ON 与∠OFE 的平分线FN 相交于点N①当∠AHO=60°时，求∠M 的度数②试问∠N+∠M 的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由2、如图，已知l1∥l2，射线MN 分别和直线l1、l2交于点A、B，射线ME 分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN 上（P 点与A、B、M 三点不重合），设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ（1）点P 在A、B 两点之间运动，α、β、γ之间有何数量关系（2）点P 在A、B 两点之外运动，α、β、γ之间有何数量关系3、直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c-8）2=0（1）求B、C 的坐标（2）点A、D 是第二象限内的点，点M、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM=∠CBO，CD∥AB，MC、NB 所在直线分别交AB、CD 于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°．求∠CMB-∠CNB 的值（3）如图：AB∥CD，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB，BQ 与CP 交于点P，问∠DQB+∠QBC∠QPC的值是否改变4、AB∥CD，PA 平分∠BAC，PC 平分∠ACD，过P 点作PM、PE 交CD 于M，交AB 于E．（1）证：PA⊥PC（2）当E、M 在AB、CD 上运动时，则①∠1+∠2+∠3+∠4 不变；②∠3+∠4-∠1-∠2 不变，选择正确给予证明5、已知：AB∥CD，AD 与BC 交于点M，BE 平分∠ABC，DE 平分∠ADC（1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，求∠E 的度数（2）如图2，当AD⊥BC 时，求∠E 的度数（3）当∠AMB=α°时，直接写出∠E 的度数（用含α 的式子表示）6、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P 在AB、CD 外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B- ∠D．将点P 移到AB、CD 内部，如图b，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系（3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数7、阅读并探究下列问题：（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2 与∠1、∠3 有何关（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠2+∠4 与∠1+∠3+∠5 有何关系？为什么？（3）如图3，将长方形纸片剪n 刀，其中AB∥CD，你又有何发现（4）如图4，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，求∠GHM10、如图，点A 在CE 上，AB 交直线DF 于点D，DF∥EC，∠BDC=∠ACB．（1）用等式表示∠FDA 与∠BCD 的关系，并说明为什么（2）若将直线DF 绕着点D 旋转交射线CE 于点H（不包括与AB，CD 重合的情况），请用等式表示∠ADH，∠AHD，∠BCD 的关系，并说明为什么8、如图，点A、B 分别在直线CM、DN 上，CM∥DN（1）如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD=（2）如图2，点P1是直线CM、DN 内部的一个点，连接AP1、BP1．求证：∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°（3）如图3，点P1、P2是直线CM、DN 内部的一个点，连接AP1、P1P2、P2B．试求∠C A P1+∠A P1P2+∠P1P2B+∠P2B D的度数（4）若按以上规律，猜想并直接写出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD 的度数9、三角形ABC 中，G 是BC 上一点，D，E 分别在边AB，AC 上，DE∥BC，M 为直线DE 上一点，N 为直线GD 上一点，∠DMN=∠B（1）如图a，当点M 在DE 上，点N 在DG 上时，证：∠BDN=∠MND（2）点M 在ED 延长线上，点N 在GD 延长线上时，请在图b 中画出图形，求∠BDN 与∠MND 的数量关系（3）在（2）的条件下，延长DG 交AC 延长线于点F，若∠A=60°，∠MND=75°，求∠F 的度数10、如图1，点A、B、D 共线，点C、B、F 共线，∠ACB=90°，∠ACB 的角平分线与∠ABE 的角平分线交与点F，DE∥CF（1）若∠D=95°，求∠F 的度数（2）如图2，若作∠BDE 的角平分线交BF 的延长线于点M，交CF 延长线于点G，探究∠CGD、∠BFC 之间的数量关系（3）如图3，若FB、ED 的延长线于点P，设∠P=α，请直接用含有α的代数式表示∠ABC11、已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E 在直线BD 的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E 在直线BD 的左侧，BF、DF 分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD 和∠BED 的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E 在直线BD 的右侧，BF、DF 分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD 和∠BED 的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．12、如图1，已知AC∥BD，点P 是直线AC、BD 间的一点，连结AB、AP、BP，过点P 作直线MN∥AC．（1）填空：MN 与BD 的位置关系是（2）试说明∠APB=∠PBD+∠PAC；（3）如图2，当点P 在直线AC 上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由13、如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+b）2+|a-b+4|=0，过C 作CB⊥x 轴于B．（1）求三角形ABC 的面积．（2）若过B 作BD∥AC 交y 轴于D，且AE，DE 分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED 的度数．（3）在y 轴上是否存在点P，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，y 轴的负半轴平分∠AOB，P 为y 轴负半轴上的一动点，过点P 作x 轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y 轴吗？为什么？1（2）如图2，当点P 在y 轴的负半轴上运动到AB 与y 轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=2（∠OBA-∠A）是否成立？为什么？（3）当点P 在y 轴的负半轴上运动到图3 处（Q 为BA、NM 的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA 之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．15、如图，AB∥CD，直线a 交AB、CD 分别于点E、F，点M 在EF 上，p 是直线CD 上的一个动点，（点P 不与 F 重合）（1）当点P 在射线FC 上移动时，如图（1），∠FMP+∠FPM=∠AEF 成立吗？请说明理由．（2）当点P 在射线FD 上移动时，如图（2），∠FMP+∠FPM 与∠AEF 有什么关系？说明你的理由16、如图1，AB∥CD，EO 和FO 交于点O．（1）试猜想∠1，∠2，∠3 的大小关系，并说明理由．（2）如图2，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC 与l2相交于点E，若∠1=30°，则∠B=（3）如图3，AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1，∠2n 之间有什么关系？（直接写出答案）17、如图1：AB∥CD，则∠1+∠2=如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3=如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4=如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n=18、已知如图1，线段AB、CD 相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1 的图形称之为“8 字形”．如图2，在图1 的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P，并且与CD、AB 分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1 中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系：（2）仔细观察，在图2 中“8字形”的个数并找出∠P 与∠B 和∠D 的数量关系（3）在图2 中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P 的度数；19、如图（1），△ABC 中，AD 是角平分线，AE⊥BC 于点E．（1）若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE 的度数（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE= 1（∠C-∠B）2（3）如图（2）若将点A 在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC 于点E．此时∠DAE 变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？20、面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC 中，O是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+1∠A2探究2：如图（2）中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的1数量关系？（∠BOC=90°-∠A）2探究3：如图（3）中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的1数量关系？（∠BOC=∠A）221、如图1，已知AB∥CD，（1）请说明∠B+∠G+∠D=∠E+∠F；（2）若将图1 变形成图2，上面的关系式是否仍成立，写出你的结论并说明理由．22、如图（1）直线GC∥HD，EF 交CG、HD 于A、B，三条直线把EF 右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P 落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC 两个角．（1）如图（1），当点P 落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD 的度数；（2）如图（2），当点P 落在第③区域时，∠PAC-∠PBD= 度（3）如图（3），当点P 落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD 之间的等量关系．23、已知点O 是直线AB 上的一点，∠COE=90°，OF 是∠AOE 的平分线．（1）当点C，E，F 在直线AB 的同侧（如图1 所示）时．试说明∠BOE=2∠COF；（2）当点C 与点E，F 在直线AB 的两旁（如图2 所示）时，（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；（3）将图2 中的射线OF 绕点O 顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD．设∠AOC=n°，若∠BOD=(60−2n)°，则∠DOE 的度数是（用含n 的式子表示）．324、如图，直线CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF．（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．25、三角形三个内角和是180°，对于如图1 中，AC，BD 交于O 点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC=∠AOB ②∠D+∠C=∠A+∠B．试探究下面问题：已知∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E，（1）如图2，若AB∥CD，∠D=30°，∠B=40°，则∠E=（2）如图3，若AB 不平行CD，∠D=30°，∠B=50°，则∠E=（3）在总结前两问的基础上，借助图3，探究∠E 与∠D、∠B 之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明．26、如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相交于点A2，得∠A2；…∠A2013BC 与∠A2013CD 的平分线相交于点A2014，得∠A2014，根据题意填空：（1）如果∠A=80°，则∠A1=（2）如果∠A=α，则∠A2014= （直接用α 代数式）1、27、如图，A、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒x 个单位长度沿x 轴的负方向运动，点B 以每秒y个单位长度沿y 轴的正方向运动．（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1 秒钟后A、B 两点的坐标；（2）设∠BAO 的邻补角和∠ABO 的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B 在运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA 至E，在∠ABO 的内部作射线BF 交x 轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC 的平分线相交于点G，过点G 作BE 的垂线，垂足为H，试问∠AGH 和∠BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．总结：探究角之间的数量关系的题目基本思路——引参、消参的过程来解决几何问题1、引入字母表示角，充当桥梁的作用2、利用图形的性质（内角、外角和等）建立方程3、运用代数手法消去字母，只留下待求角。
七年级下册角的知识点总结角是初中数学中一个重要的概念，也是很多难题的解答基础。
在七年级数学下册里，角的相关知识点有很多，下面我们来做一次全面的总结。
一、角的定义、分类与记法1. 角的定义角是由两条射线共同起始于同一点而形成的图形，我们把共同的起点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
在角的顶点处，可以用“∠”表示，比如∠ABC。
2. 角的分类按照角的大小可以分为锐角、直角、钝角三种。
锐角：小于90°的角。
直角：等于90°的角。
钝角：大于90°、小于180°的角。
3. 角的记法使用字母表示角的顶点，如∠ABC表示以点B为顶点的角。
若两个角相等，则可以用符号“≌”表示，比如∠ABC≌∠DEF。
二、角的度量1. 角度和以角度为单位的度量角的度量是用“度”为单位的，1°等于360分之一圆周角，即1圆周角等于360°。
2. 角的度量转换在角度的转换中，我们需要掌握以下几个角度的换算关系：1度=60分，1分=60秒，1圆周角=360度。
三、角的特殊角度1. 30°、45°、60°角30°角、45°角、60°角是常见的特殊角度。
在解决一些特殊难题时，常常使用这些角度。
30°角的正弦值、余弦值、正切值分别是1/2、√3/2、1/√3；45°角的正弦值、余弦值相等，都等于1/√2，正切值等于1；60°角的正弦值、余弦值分别是√3/2、1/2，正切值等于√3。
2. 补角、余角如果两个角的度数加起来等于90°，我们把它们叫做互为补角；如果加起来等于180°，则它们就叫做互为余角。
四、夹角、异面角1. 夹角夹角是由两条射线在同一平面内围成的角。
夹角的大小强调的是一个角的大小相对于另一个角的大小。
2. 异面角异面角是在不同平面内的两个角，它们之间没有公共部分。
新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。
1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。
解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。
又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。
2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。
1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。
2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。
解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。
所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。
因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。
2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。
