第二章 综合测试题A 卷
一、填空题（每小题4分,共20分） 1、设函数()f x x x =, 则(0)f '= . 2、设函数()x
f x xe =, 则(0)f ''= .
3、设函数()f x 在0x 处可导,且0()f x =0,0()f x '=1, 则01lim ()n nf x n
→∞
+= .
4、曲线2
28y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴,点 处的切线与x 轴正向的交角为
4
π. 5、d = x e dx - 二、选择题（每小题4分,共20分）
1、
设函数10
()10
2
x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处 [ ]
（A ） 不连续 （B ） 连续但不可导 （C ） 二阶可导 （D ） 仅一阶可导 2、若抛物线2
y ax =与曲线ln y x =相切, 则a 等于 [ ] （A ） 1 （B ）
12
（C ） 1
2e （D ） 2e
3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导, 且0()2f x '=, 则0()f x 等于 [ ] （A ） 1 （B ）
2e （C ） 2
e
（D ） e 4、设函数()f x 在点x a =处可导, 则0
()()
lim
x f a x f a x x
→+--等于 [ ]
（A ） 0 （B ） ()f a ' （C ） 2()f a ' （D ） (2)f a '
5、设函数()f x 可微, 则当0x ∆→时, y dy ∆-与x ∆相比是 [ ] （A ）等价无穷小 （B ）同阶非等价无穷小 （C ）低阶无穷小 （D ）高阶无穷小 三、解答题
1、（7分）设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续, 求()f a '.
2、（7分）设函数()a
a
x
a x a f x x a a =++, 求()f x '. 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程和法线方程.
4、（7分）求由方程 1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx .
5、（7分）设函数12
12()()
()n a a
a n y x a x a x a =---, 求 y '.
6、（10分）设函数2
1
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
, 适当选择,a b 的值, 使得()f x 在12x =处可导.
7、（7分）若22
()()y f x xf y x +=, 其中 ()f x 为可微函数, 求dy .
8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续, 且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==⋅>, 证明:()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ,使得 ()0f c =.
综合测试A 卷答案
一、填空题
1、 0
2、 2
3、 1
4、（1,7）,329(,)2
4
5 、x e --
二、选择题
1、（C ）
2、（C ）
3、（B ）
4、（C ）
5、（D ） 三、解答题 1、 ()()()()
()lim
lim ()x a
x a f x f a x a x f a a x a x a
ϕϕ→→--'===--. 2、1
12()ln ln a
a x
a a
a x x a f x a x
ax a a a a a --'=++.
3、切线方程 11
2()22y x -
=--, 即 4230x y +-=. 法线方程 111
()222
y x -
=-, 即 2410x y -+=. 4、223
4sin (cos 2)
d y y
dx y =-. 5、 由对数求导法，得12
11
12
()(())()i
n n
a n i i i i n i a a a a y y x a x a x a x a x a =='=+
++=-----∑∏ 6、1
1,4
a b ==-
7 两边微分得 2
2()()()()2yf x dy y f x dx f y dx xf y dy xdx ''+++=
即 22()()
2()()
x y f x f y dy dx yf x xf y '--=
'+. 8、证明 因为 ()()0f a f b +-''⋅>, 不妨设 ()0,()0f a f b +-''>>
()()()()lim
lim 0x a
x a f x f a f x f a x a x a
+→+→+-'==>--, 则存在 10δ>,当 11(,)x a a δ∈+时, 11()
0f x x a
>-, 又因为1x a >, 所以 1()0f x >.同理可知存在 20δ>, 当 22(,)x b b δ∈-
