高中数学配套同课异构3.2.1 立体几何中的向量方法 课件2(人教A版选修2-1)

证明：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC ( 1,1, 0) ， AD1 ( 1, 0,1) DB1 AC 0 ， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
l1
Байду номын сангаас
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
e1
n1

l1 1 e1 // n1 e1 n1
n2
2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过
点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C )，
M ( x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
三、平行关系：
四、垂直关系： 设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 n b 0 a2 x b2 y c2 z 0
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
2.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v ( 2,4,4) (3)u ( 2,3,5), v (3,1,4)
例2：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n x，y，z）， （ 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB， AC n 其实平面的法向量不 是惟一的。 x，y，z） (2, 2,1) 0， （
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2 1 1， x y 2 z 0 所以n=(0， - 2)
所以D1 F //n
巩固性训练1
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,e // n a2 b2 c2
例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE 以 证明：设正方体棱长为1， DA，DC ,DD1为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
n

A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法（一）
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ； 线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ； 面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 . 设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合. l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
解：由题意可得 PM ( x x0 , y y0 , z z0 )， e PM 0
即( A, B, C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0
化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
垂直 平行
相交
l1
l2
e1
e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
n1
l1

l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1
2
n2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2