牛吃草问题

牛吃草问题
（一）牛吃草的由来

（二）牛吃草的解题步骤

（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃
草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地
面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为
“1”相对会简单些。

例题1： 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草
吃完？

解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草
吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下
步骤解答：

（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的
草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例题2： 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，
3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），
求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），
所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。

在小学这类问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较
多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚
已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求
的问题。

例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，
牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？

摘录条件：
27头 6天 原有草+6天生长草
23头 9天 原有草+9天生长草
21头 ？天 原有草+？天生长草
小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可
知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9
-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15

现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次
来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那
么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？

（27-15）×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
初中解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。
那么可以列方程：
x+6y=27×6
x+9y=23×9
解得x=72,y=15
若放21头牛，设n天可以吃完，则：
72+15n=21n
n=12
例2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15
天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

摘录条件：
5台 20天 原有水+20天入库量
6台 15天 原有水+15天入库量
？台 6天 原有水+6天入库量
小学解答：设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40，原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12（台）
初中解答：假设原来有的水为x份，每天流进来的水为y份，每台机器抽出的水是1个单位。
那么可以列方程：
x+20y=20×5
x+15y=6×15
解得x=60,y=2
若要6天抽完，设n台机器可以抽完，则：
60+6×2=6 n
n=12
牛吃草习题：
1、牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。可供25头牛
吃几天？

2、一片牧场可供24头牛吃6周，20头牛吃10周，这片牧场可供18头牛吃几周？
3、有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽
完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？

4、有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水
机需抽12小时。那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？

5、有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有牛
若干头在吃草，6天后，杀了4头牛，余下的牛吃了2天将草吃完。问原来有牛多少头？

6、有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放
牧几头牛？
草永远吃不完答案：
1。24头奶牛6天吃的草量：24×6=144头*天
2。21头8天吃完的草量：21×8=168头*天
3。每天新长的草量：（168-144）÷（8-6）=12头*天
4。要使牧场的草永远吃不完，最多放养12头奶牛。

杀四头牛的答案：
析这个题目的后半段，4头牛6天吃的草，8天吃完需要4×6÷8=3头牛，说明我们只用算出
这个题目8天吃完需要多少头，然后再增加4-3=1头牛就行了。

相信有上面的分析你已经会了吧。好，我们还是继续完成这个题目。
每天新长草（17×30-19×24）÷（30-24）=9份
原有草为（19-9）×24=240份
8天吃完每天需要240÷8+9=39头牛
说明原来有39+1=40头牛