转本高数第三章第六节 渐近线和函数作图

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Word 资料

第一讲 函数、极限、连续

1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性

奇函数：)()(xfxf，图像关于原点对称。

偶函数：)()(xfxf，图像关于y轴对称

3、无穷小量、无穷大量、阶的比较

设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则

（1）若0βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。

（2）若cβαlim（不为0），则α与β是同阶无穷小量

特别地，若1βαlim，则α与β是等价无穷小量

（3）若βαlim，则α与β是低阶无穷小量

记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。

4、两个重要极限

（1）100xxxxxxsinlimsinlim

使用方法：拼凑000sinlimsinlim ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致

（2）exxxxxx10111)(limlim

e101)(lim

使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、mnmnmnbaXQxPmnx,,,lim000

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Word 资料 xPn的最高次幂是n,xQm的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。mn,以相同的比例趋向于无穷大；mn，分母以更快的速度趋向于无穷大；mn，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限

左极限：Axfxx)(lim0

右极限：Axfxx)(lim0

AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充分必要条件是

一、试卷结构

总分：150分 分数：150分钟

内容 分值 题型 分值

函数极限与连续 30（20%） 选择 5题，4分/题，20分

一元微分学 45（30%） 填空 10题，4分/题，40分

一元积分学 45（30%） 计算 8题，60分

无穷极数常微分方程 20（15%） 综合题 3题，10分/题，30分 向量几何 10（5%）

二、考试大纲

一、 函数、极限和连续

(一)函数

1.理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

2.掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

3.理解函数 y =ƒ(x)与其反函数y =ƒ - 1(x)之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

4.掌握函数的四则运算与复合运算；掌握复合函数的复合过程。

5.掌握基本初等函数的性质及其图像。

6.理解初等函数的概念。

7.会建立一些简单实际问题的函数关系式。

(二)极限

1.理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。

2.理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。会

比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量替换求极限。

4.理解极 限存在 的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限：

1xsinxlim0x，ex11limxx，并能用这两个重要极限求函数的极限。

(三)连续

1.理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。会判断分段函数在分段点的连续性。

2.理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判 断间断点的类型。

3.理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。 4.掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有界性定理)，介值定理(零点存在定理)。会运用介值定理推证一些简单命题。

第一章 函数、极限与连续性

1.1 初等函数回顾

1.1.1 函数的概念

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.

f--定义在D上的函数; D--定义域;

x--自变量; y--因变量;

R={y／y=f（x），x }—值域

常见的函数的定义域有如下规则：

（1） 对于分式函数，分母不能为零；

（2） 偶次根号下的变量不能小于零；

（3） 对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；

（4） 对于余切函数y=cotx，规定：，k；

（5） 对于正切函数y=tanx，规定：x，k；

（6） 对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.

1.1.2 函数的几种特性 xxD y

R f y

o M-M

x

x o

x o 函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。

（1） 有界性

定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有

|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函数。

有界函数图形夹在两条平行线之间

（2） 单调性

定义:若对于区间D内任意两点及，当

f（）f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。

单调增函数延x轴正方向上升，单调减函数延x轴反方向下降

（3）奇偶性 y=f(x)

y y 定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

（4）周期性

若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

周期函数在每个定义域内都是相同形状

1.1.3初等函数

X省 202X 年一般高校专转本选拔考试

高数 真题卷

一、单项选择题〔本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。在以下每题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑〕

1.设)(xf为连续函数，则0)(0xf是)(xf在点0x处取得极值的( )

A.充分条件 B.必要条件

C.充分必要条件 D.非充分非必要条件

2.当0x时，以下无穷小中与x等价的是( )

A.xxsintan B.xx11 C.11x D.xcos1

3.0x为函数)(xf=000,1sin,2,1xxxxxex的〔 〕

A.可去间断点 B.跳跃间断点

C.无穷间断点 D.连续点

4.曲线xxxxy48622的渐近线共有〔 〕

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

5.设函数)(xf在 点0x处可导，则有〔 〕

A.)0(')()(lim0fxxfxfx B.)0(')3()2(lim0fxxfxfx

C.)0(')0()(lim0fxfxfx D.)0(')()2(lim0fxxfxfx

6.假设级数1-nn1pn）（条件收敛，则常数P的取值范围〔 〕

A. ，1 B.，1 C.1,0 D.1,0

二、填空题〔本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分〕

7.设dxexxaxxx)1(lim，则常数a= .

8.设函数)(xfy的微分为dxedyx2，则)(xf .