函数作图的基本步骤与方法(精)

高一数学函数的图像与作图北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：函数的图像与作图二、学习目标1、了解函数图像是描述函数关系的重要形式；2、掌握描点作图、平移变换作图、伸缩变换作图及对称变换作图等常用的作图方法；3、会结合函数的图像研究函数的性质；4、会借助函数的图像、利用数形结合的方法解决一些简单的问题三、知识要点（一）函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。

（二）函数的作图1、描点作图：对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是：①确定函数的定义域；②列表；③描点；④连线成图。

2、特征值作图：对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有：最值，零点，对称轴等。

3、对称变换作图：对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。

基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。

设函数y=f（x），则有：①关于点（a，b）对称的函数为：2b－y=f（2a－x）即y=2b－f（2a－x）；特别地，关于原点对称的函数为y=－f（－x）；②关于直线x=a对称的函数为：y=f（2a－x）；特别地，关于y轴对称的函数为y=f（－x）；③关于直线y=b对称的函数为：2b－y=f（x）即y=2b－f（x）；特别地，关于x轴对称的函数为y=－f（x）；4、平移变换作图：对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。

平移的规律：向坐标轴的正向平移m（>0）时，将对应的坐标减去m；向坐标轴的负向平移n（>0）时，将对应的坐标加上n。

第2章 2-7 函数的图象一、知识梳理1．作图(1)列表描点法其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的 ；②化简函数 ；③讨论函数的性质( 、 、 、 等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点)，描点，连线．(2)图象变换法平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 (＋)或向 (－)平移单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 (＋)或向 (－)平移单位而得到．对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于 对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于 对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于 对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线 对称．⑤要得到y ＝|f (x )|的图象，可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥要得到y ＝f (|x |)的图象，可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于 的对称性，作出x <0的图象．伸缩变换①y ＝Af (x )(A >0)的图象,可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为 ， 不变而得到 ②y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为 的倍， 不变而得到．2．识图对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的 、 、 、 、 ，注意图象与函数解析式中参数的关系3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．图象对称性的证明证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上． 特别提示①若f (a ＋x )＝f (b －x )，x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于x ＝a ＋b 2成轴对称图形，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，x ∈R ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b 2，0)成中心对称图形． ②函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝12(b －a )对称.二、考点自测1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于 ( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称出 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称2．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象 ( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度3．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝2log 8x 的图象_______________ 4．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程： ①x －y ＝0; ②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0;④|x |－y ＝0. 请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．5．作出下列函数的图象：(1)y ＝10|lg x |； (2)y ＝x －|x －1|.三、热点探究热点一、作图例1．分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.变式迁移 1 作出下列函数的图象：(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝(12)|x |； (3)y ＝|log 2(x ＋1)|.热点二、识图例2．回答下述关于图象的问题：(1)向形状如右图，高为H 的水瓶注水，注满为止，若将注水量V 看作水深h 的函数，则函数V ＝f (h )的图象是下图中的（ ）(2)某学生一天早晨离家去学校，开始骑自行车，中途自行车胎破，他只好推着自行车赶到学校．若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离d 表示为他出发后的时间t 的函数d ＝f (t )，则函数f (t )的大致的图象是下图中的( )变式迁移 2已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如右图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面热点三、函数图象的对称性例3．已知y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于直线________对称，函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称．变式迁移3(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a 的值．热点四、函数图象的应用例4已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}．变式迁移 4 若不等式|2x －m |≤|3x ＋6|恒成立，求实数m 的取值．四、课时作业一、选择题1．函数y ＝－1x 2＋2x ＋1的图象是( )2．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是 ( )4．设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称二、填空题5．函数y ＝2－x x －1的图象关于点________对称． 6．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根的个数是________．三、解答题7．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件：(1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f (x )是奇函数； (3)在[－2,0)上，f ′(x )>0；(4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式．8．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －8|－|x －4|>2.[高考·模拟·预测]1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )2．下列三件事与如下图中吻合最好的顺序为 ( )①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一段时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(4)(1)(3)D ．(4)(1)(2)3．如右图所示，一质点P (x ，y )在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x,0)的运动速度V ＝V (t )的图象大致为( )4．把函数f (x )＝x 3－3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2，若对任意u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．85．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝m (x ＋1x )的图象与h (x )＝12(x ＋1x)＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求m 的值； (2)若g (x )＝f (x )＋a 2x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．1．解析：间接法，只要抓住定义域{x |x ≠－1}及y <0，即可选出B.如果用直接法，则把y ＝－1x 2＋2x ＋1变形为y ＝－(x ＋1)－2，它可看成是把y ＝x －2的图象向左平移1个单位，再作关于x 轴对称而得． 答案：B2．解析：g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x 的图象右移1个单位而得．本题考查函数图象的平移法则．答案：C3．解析：画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右移动1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象，故选C.4．解析：函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，y ＝f (1－x )＝f [－(x －1)]．把y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象同时都向右平移一个单位，就得到y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象，对称轴y 轴向右平移一个单位得直线x ＝1，故选D.5．解析：y ＝2－x x －1＝－1＋1x －1，y ＝2－x x －1的图象是由y ＝1x 的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1)．答案：(1，－1)6．解析：a |x |＝|log a x |有意义，则x >0，问题即a x ＝|log a x |.画出两个函数y ＝a x ，y ＝|log a x |的图象，则可以得到交点有2个．答案：27．解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2， 故f (x )的定义域是[－2,2]．由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增函数．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增函数，且f (－1)＝f (1)＝0，f (0)＝0.故函数y ＝f (x )的一个图象如右图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，x －1，0<x ≤2.8．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2，由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )的图象可知原不等式的解集为(－∞，5)．[高考·模拟·预测]1．解析：∵0<12<1，∴y ＝log 12f (x )的图象在(0,1]上递增，在[1,2)上递减(同增异减)．故选C. 2．解析：根据其速度的变化判断函数图象的单调性可得①②③对应图象为(4)(1)(2)，选D.3．解析：由图可知，当质点P (x ，y )在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0)的速度先由正到0，到负,到0，再到正,故A 错误；投影点Q (x,0)在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点P (x ，y )在开始时沿直线运动，故投影点Q (x,0)的速度为常数，因此C 是错误的，故选 B.4．解析：C 2的解析式为y ＝(x －u )3－3(x －u )－v .由题意对于关于x 的方程(x －u )3－3(x －u )－v ＝x 3－3x ，即3ux 2－3u 2x －3u ＋u 3＋v ＝0对于任意u >0至多只有一个实数解，∴Δ＝9u 4－12u (u 3－3u ＋v )≤0，即v ≥－14u 3＋3u ，令f (u )＝－14u 3＋3u ，则f ′(u )＝－34u 2＋3＝－34(u 2－4)，∴当u ＝2时f (u )取得最大值f (2)＝4.∴v ≥4.故选B.5．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如右：记y ＝k (x ＋1)＋1，∴y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1有四个交点，故k AB <k <0.∴－13<k <0. 答案：(－ 13，0) 6．解：(1)解法一：设P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，则点P 关于A 点的对称点(x ′，y ′)在函数f (x )的图象上．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋x ＝0，y ′＋y ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y . 于是有2－y ＝m (－x －1x )，即得y ＝m (x ＋1x )＋2，∴m ＝12. 解法二：易知h (x )经过点(1,3)，故f (x )经过点(－1，－1)，代入得m ＝12. (2)由(1)得f (x )＝12(x ＋1x )，故有g (x )＝12(x ＋1x )＋a 2x ＝12(x ＋a ＋1x)， 解法一：g ′(x )＝12(1－a ＋1x 2)．当0<x ≤a ＋1(a ≥－1)时，g ′(x )≤0， ∵g (x )在区间(0,2]上为减函数，故有a ＋1≥2，得a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．解法二：任意取x 1，x 2∈(0,2]，不妨设x 1<x 2.则g (x 1)－g (x 2)＝12(x 1－x 2)x 1x 2－(a ＋1)x 1x 2>0恒成立． 故x 1x 2－(a ＋1)<0，对0<x 1<x 2≤2恒成立．∴1＋a ≥4，∴a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。

第12讲 函数的图象夯实基础 【p 26】【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)．2．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．【基础检测】1．函数f(x)＝x 2－2|x|的图象大致是( )【解析】∵函数f(x)＝x 2－2|x|，∴f(3)＝9－8＝1>0，故排除C ，D ，∵f(0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14－212<－1，故排除A ，故选B . 【答案】B2．为了得到函数y ＝2x ＋1－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上的所有的点( ) A ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度【解析】把函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝2x ＋1的图象，再把所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝2x ＋1－1的图象．【答案】A3．函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图象为( )【解析】将函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，得到函数为y ＝ln [1－(x －1)]＝ln (2－x)，再向上平移2个单位可得函数为y ＝ln (2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y ＝ln (2－x)＋2在(－∞，2)上为单调减函数，且恒过点(1，2)，故选C .【答案】C4．若函数y ＝f(x)的图象经过点(1，2)，则y ＝f(－x)＋1的图象必经过的点坐标是________．【解析】根据y ＝f(x)图象经过点(1，2)，可得y ＝f(－x)的图象经过点(－1，2)，函数y ＝f(－x)＋1的图象经过点(－1，3)．【答案】(－1，3)5．已知偶函数f ()x 和奇函数g ()x 的定义域都是()－4，4，且在(]－4，0上的图象如图所示，则关于x 的不等式f ()x ·g ()x <0的解集为________．【解析】设h ()x ＝f ()x g ()x ，则h ()－x ＝f ()－x g ()－x ＝－f ()x g ()x ＝－h ()x ，∴h ()x 是奇函数．由图象可知，当－4<x<－2时，f ()x >0，g ()x <0，即h ()x <0；当0<x<2时，f ()x <0，g ()x >0，即h ()x <0，∴h ()x <0的解为()－4，－2∪()0，2.【答案】()－4，－2∪()0，2【知识要点】1．基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象2．作图方法：描点法，变换法．(1)描点法作图的基本步骤：①求出函数的__定义域和值域__．②找出__关键点__(图象与坐标轴的交点，最值点、极值点)和__关键线__(对称轴、渐近线)，并将关键点列表．③研究函数的基本性质(__奇偶性、单调性、周期性__)．若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点或y 轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的图象即可．④在直角坐标系中__描点、连线__成图．(2)变换作图法常见的变换法则：__平移变换__、__伸缩变换__和__对称变换__，具体方法如下： 平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体)． ①左右平移变换(左加右减)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向左平移b （b ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向右平移b （b ＞0 ②上下平移变换(上正下负)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向上平移h （h ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向下平移h （h ＞0③伸缩变换包括左右伸缩变换(针对自变量)和上下伸缩变换(针对函数值整体)，(横缩纵伸)具体方法如下：y ＝f （x ）――→纵坐标保持不变横坐标缩为原来的1a倍y ＝ f （ax ），a ＞0 ， y ＝f （x ）――→横坐标保持不变纵坐标伸长为原来的a 倍y ＝ af （x ），a ＞0 .(3)对称变换包括中心对称和轴对称①y＝f(x)与y ＝－f(x)关于__x 轴__对称；②y＝f(x)与y ＝f(－x)关于__y 轴__对称；③y＝f(x)与y ＝－f(－x)关于__原点__对称；④y＝f(x)与y ＝f(2a －x)关于__x ＝a__对称；⑤y＝f(x)与y ＝|f(x)|，保留x 轴上方的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，x 轴下方图象删去；⑥y＝f(x)与y ＝f(|x|)，保留y 轴右方的图象，将y 轴右方的图象沿y 轴翻折到左边，y 轴左方原图象删去．3．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等．4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质、求最值、确定方程的解的个数、解不等式等．数形结合，直观方便．典 例 剖 析 【p 27】考点1 作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y ＝2－x x ＋1； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－x x ＋1的图象，如图①所示． (2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图②所示． (3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．(4)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．【点评】为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数； (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．考点2 函数图象的识别例2(1)函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )【解析】因为f (x )是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B 、D ，又因为f (π)＝0，故选C.【答案】C(2)函数y ＝(3x 2＋2x )e x的图象大致是( )【解析】f (x )＝(3x 2＋2x )e x ，则函数f (x )只有两个零点，x ＝－23和x ＝0，故排除B 、D.f′(x )＝(3x 2＋8x ＋2)e x，由f′(x )＝0可知函数有两个极值点，故排除C.【答案】A(3)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM⊥AB 于M ，EN⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是如图所示的( )【解析】∵EM⊥AB，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x.当点E 在BC 上运动时，即当0≤x≤3时，y ＝x ()5－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254； 当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x≤5，y ＝－3x ＋15. 所以y 与x 的函数关系为f ()x ＝⎩⎨⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254，()0≤x≤3，－3x ＋15，（3<x≤5）.画出图象如选项A 所示．【答案】A【点评】函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．考点3函数图象的应用例3(1)定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，给出下列四个命题：①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．【解析】①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以有三个解，正确；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f(x)∈(0，a)可能有1，2，3个解，不正确；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；类似②不正确；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g(x)是减函数，故正确．【答案】①④(2)函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示)．①当x ∈[－1，1]时，y 的取值X 围是________；②如果对任意x ∈[a ，b ](b <0)，都有y ∈[－2，1]，那么a 的最小值是________．【解析】由图象可知，当x ＝0时，函数在[－1，1]上的最小值y min ＝1，当x ＝±1时，函数在[－1，1]上的最大值y max ＝2，所以当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的值域为[1，2]；当x ∈[0，3]时，函数f (x )＝－(x －1)2＋2，当x ∈[3，＋∞)时，函数f (x )＝x －5， 当f (x )＝1时，x ＝2或x ＝6，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意x ∈[a ，b ](b <0)，要使得y ∈[－2，1]，则a ∈[－6，－2]，b ∈[－6，－2]，且a ≤b ，则实数a 的最小值是－6.【答案】[1，2]；－6(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax 恒成立，则实数a 的取值X 围是__________．【解析】在平面直角坐标系中画出函数y ＝|f (x )|，y ＝ax 的图象如图，结合图象可知当直线y ＝ax 的斜率a 满足a ∈[－2，0]时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】[－2，0]方 法 总 结 【p 28】1．函数图象是函数性质的具体体现，它是函数的另一种表示形式，因此对基本初等函数的图象必须熟记．2．掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式．3．变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形．4．在图象变换中，写函数解析式，也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式．5．合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下X 围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题给条件，进行合理解答． 6．充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空选择题、方程根的个数等方面，很有效．因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题．走 进 高 考 【p 28】1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x2的图象大致为( )【解析】∵x ≠0，f (－x )＝e －x －e xx 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，舍去A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴舍去D ；∴f ′(x )＝（e x ＋e －x ）x 2－（e x －e －x）2xx4＝（x －2）e x ＋（x ＋2）e－xx 3，∴当x >2，f ′(x )>0， 所以舍去C ；因此选B. 【答案】B2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )【解析】当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B ；y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ＝0.1时，y ′>0.故选D.【答案】D考 点 集 训 【p 188】A 组题1．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序是( ) ①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进； ②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进； ③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度．A ．③①② B．③④② C ．②①③ D ．②④③【解析】离开家后缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；对应离开家的距离先缓慢增长再快速增长，对应图象②；骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；对应离开家的距离直线上升再停止增长再直线上升(与开始直线平行)，对应图象①；快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度；对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长，对应图象③.【答案】C2．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)【解析】把函数y ＝log 2(x －1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝log 2(2x－1)的图象，再向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝log 2(2x －2)．【答案】D3．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2【解析】对于A ，函数f (x )＝x2|x |，当x >0时，y >0；当x <0时，y <0，所以不满足题意．对于B ，当x ≥0时，f (x )单调递增，不满足题意． 对于C ，当x ≥0时，f (x )>0，不满足题意．对于D ，函数y ＝2|x |－x 2为偶函数，且当x ≥0时，函数有两个零点，满足题意． 【答案】D4．函数f (x )＝x ln|x |的图象可能是( )【解析】函数的定义域{x |x ≠0}关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：f (－x )＝－x ×ln|－x |＝－x ln x ＝－f (x )， 则函数f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C ，D 错误； 当x ＞0时，f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋x ×1x＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)内先单调递减，再单调递增，据此可排除B 选项，故选A. 【答案】A5．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a （x ≤0），ln （x ＋a ）（x >0）(e 为自然对数的底数)，若方程f (x )＝12有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.[]0，e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，e 【解析】(1)若a <0，则函数的定义域不是R ，不合题意；(2)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x（x ≤0），ln x （x >0），定义域为R ，显然方程f (x )＝12有两个不等实根，符合题意；(3)若a >0，函数的定义域为R .当x ≤0时，－a ＜f (x )≤1－a ；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋a )>ln a .结合图象可得要使方程f (x )＝12有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a ＜12≤1－a ，ln a <12，解得0＜a ≤12.综上可得0＜a ≤12.【答案】A6．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图①所示；函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图②所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】由图象可知若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1.由图②知当g (x )＝－1时， x ＝－1或x ＝1；当g (x )＝0时， x 的值有3个；当g (x )＝1时， x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－2－12＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0.由图①知f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5均无解；当f (x )＝0时， x ＝－1, x ＝1或x ＝0，故n ＝3，所以m ＋n ＝10.【答案】C7．已知函数y ＝f (x )是定义在区间[－3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f (x )＋f (－x )>x 的解集为________．【解析】由题意，函数f (x )过点(0，2)，(3，0)，∴y ＝－23x ＋2.又因为f (x )是偶函数，关于y 轴对称， 所以f (x )＝f (－x )，即2f (x )>x .根据函数f (x )在[－3，3]上的图象可知，当x ∈[－3，0)的时候，y ＝2f (x )的图象恒在y ＝x 的上方，当x ∈[0，3]的时候，令2f (x )＝x ，x ＝127，即当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127时，满足2f (x )>x ，即f (x )＋f (－x )>x . 【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127 8．已知二次函数y ＝f ()x 满足f ()2x －1＝4x 2－8x .(1)求f ()x 的解析式；(2)作出函数y ＝||f ()x 的图象，并写出其单调区间； (3)求y ＝f ()x 在区间[]t ，t ＋1(t ∈R )上的最小值． 【解析】(1)令2x －1＝t 则x ＝t ＋12，∴f ()t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－8·t ＋12＝t 2－2t －3，∴f ()x ＝x 2－2x －3.(2)函数|f (x )|的图象如图：由图象可知：|f ()x |的单调递增区间为[]－1，1，[3，＋∞)； 单调递减区间为(]－∞，－1，[]1，3. (3)f ()x ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，开口向上，对称轴为x ＝1，当t ≥1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为增函数， 所以x ＝t 时y 有最小值为f ()t ＝t 2－2t －3；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上先减后增， 所以x ＝1时y 有最小值为f ()1＝－4；当t ＋1≤1，即t ≤0时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为减函数， 所以x ＝t ＋1时y 有最小值为f ()t ＋1＝t 2－4；综上所述：t ≤0时，f ()x 最小值为t 2－4；0<t <1时，f ()x 最小值为－4；t ≥1时，最小值为t 2－2t －3.B 组题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0），x 2＋1，x ∈[0，1]，结合图象，则下列选项错误的是( )A ．①是f (x －1)的图象B ．②是f (－x )的图象C ．③是f (|x |)的图象D ．④是|f (x )|的图象【解析】作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，对于选项A ，f (x －1)的图象是将f (x )的图象向右平移1个单位长度后得到的，正确；对于选项B ，f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，正确；对于选项C ，f (|x |)的图象为f (x )在y 轴右侧的图象不变，y 轴左侧的图象与右侧图象关于y 轴对称，正确；对于选项D ，|f (x )|的图象为f (x )在x 轴上方的图象不变，下方图象沿x 轴对称翻折到x 轴上方，因为函数f (x )的图象均在x 轴上方，所以|f (x )|的图象应与f (x )的图象相同，错误．【答案】D2．已知函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，当x ∈(]0，3时，f ()x 的图象如图所示，那么满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是________．【解析】由图象可知，当x ∈(]0，3时，f ()x 单调递减，当0<x ≤1时，f ()x ≥1，2x－1≤1，满足不等式f ()x ≥2x－1；当1<x ≤3时，f ()x <1，1<2x－1≤7，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∵函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，∴当x ∈[)－3，0时，f ()x 单调递减，当－3≤x ≤－2时，－34≤f ()x <0，－78<2x－1≤－34，满足不等式f ()x ≥2x －1；当x >－2时，f ()x <－34，2x －1>－34，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∴满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是[]－3，－2∪(]0，1.【答案】[]－3，－2∪(]0，13．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则a 的取值X 围是__________．【解析】x ≤0时，f (x )＝2－x－1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值X 围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1)4．已知函数f (x )＝2x－a2x (a ∈R )，将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线y ＝1对称，设F (x )＝f (x )＋h (x )，已知F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值X 围．【解析】(1)g (x )＝2x －2－a2x －2.(2)设y ＝h (x )的图象上一点P (x ，y )，点P (x ，y )关于y ＝1的对称点为Q (x ，2－y )，由点Q 在y ＝g (x )的图象上，所以2－y ＝2x －2－a 2x －2， 于是y ＝2－2x －2＋a2x －2，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2. F (x )＝f (x )＋h (x )＝34×2x ＋3a2x ＋2. 由F (x )>3a ＋2，化简得14×2x ＋a2x >a ，设t ＝2x ，t ∈(2，＋∞)，F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，即t 2－4at ＋4a >0在(2，＋∞)上恒成立．设m (t )＝t 2－4at ＋4a ，t ∈(2，＋∞)，对称轴为t ＝2a ， 则Δ＝16a 2－16a <0，③或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2－16a ≥0，2a ≤2，m （2）≥0，④ 由③得0<a <1，由④得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≤1，a ≤1，即a ≤0或a ＝1.综上，a ≤1.。

高中常用的函数作图方法大总结函数作图是高中数学最重要的基本功之一。

能够顺畅的做出函数图像，在解题的时候非常重要。

往往我们只需要做出函数的简图即可，不要求严格的精确，追求的是图像的趋势和作图时的速度。

有个别十分基础的函数图像画法，在此就不再一一总结。

以下是较常用，也是学生较生疏的作图，在此做个汇总。

一、一元二次函数即()20y ax bx c a =++≠，做此函数的简图，求出三个要素，就能够迅速确定函数的大致图像。

即：（1）判别式的符号。

决定与x 轴是否有无交点 （2）对称轴2ba-。

决定函数整体位于y 轴左侧还是右侧 （3）确定f(0)的值。

决定函数与y 轴交与上方还是下方 练习：做出下列函数的简图 （答案略）（1）223y x x =+- （2）2232y x x =-+ （3）231y x x =--+二、幂函数()y x αα=为有理数y x α=在第一象限内大致图像如下：则画幂函数图像的步骤： （1）先画出第一象限内的图像（2）再根据有无奇偶性画出其余象限的图像（如无奇偶性，则图像只出现在第一象限） 练习：做出下列函数图像 （1）31y x=（2）34y x = （3）3y x = 解：（1）先画出第一象限，又函数是奇函数，故图像如下（2）函数非奇非偶，因此只有第一象限内的图像，如下（3）函数为奇函数，画出第一象限内，再补充第三象限的即可，如下继续练习作草图：答案：三、ax bycx d+=+图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。

也是比较常考常用的。

下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。

画图步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。

练习（1）作321xyx+=+的图像（2）作341xyx-=-的图像解：（1）()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。

函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点． (2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换()11101a a a ay f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．。

§5 正弦函数的图像与性质 5.1 正弦函数的图像学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.知识点一 几何法作正弦函数的图像思考 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图像的？其基本步骤是什么？ 答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1，作出以O 1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份.过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x 轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π)的图像的形状完全一致.于是只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π)的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像，如图.梳理 正弦函数的图像叫作正弦曲线. 知识点二 “五点法”作正弦函数的图像 思考1 描点法作函数图像有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线.思考2 “五点法”作正弦函数在x ∈[0，2π]上的图像时是哪五个点？ 答案梳理 “五点法”作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图像的步骤： (1)列表(2)描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； (3)连线用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.1.正弦函数y ＝sin x 的图像向左、右和上、下无限伸展.( × )提示 正弦函数y ＝sin x 的图像向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y ＝1和y ＝－1之间. 2.函数y ＝sin x 与y ＝sin(－x )的图像完全相同.( × ) 提示 二者图像不同，而是关于x 轴对称.类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图. 考点 “五点法”作图的应用 题点 “五点法”作图的应用解取值列表：描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x 的图像在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图.考点“五点法”作图的应用题点“五点法”作图的应用解列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图.类型二利用正弦函数图像求定义域例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域.考点正弦函数的定义域题点正弦函数的定义域解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图像，如图所示.结合图像可得x ∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域. 考点 正弦函数的定义域 题点 正弦函数的定义域解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图像或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z }.1.用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π3考点 “五点法”作图的应用 题点 “五点法”作图的应用 答案 B解析 “五点法”作图是当2x ＝0，π2，π，3π2，2π时的x 的值，此时x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2.下列图像中，y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像是( )考点 正弦函数的图像 题点 正弦函数的图像 答案 D解析 由y ＝sin x 在[0，2π]上的图像作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3.不等式sin x ＞0，x ∈[0，2π]的解集为( ) A.[0，π] B .(0，π) C.⎣⎡⎦⎤π2，3π2 D.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 考点 正弦函数图像的简单应用 题点 利用图像解不等式 答案 B解析 由y ＝sin x 在[0，2π]的图像可得(图略).4.函数y ＝2sin x －1的定义域为 . 考点 正弦函数的定义域 题点 正弦函数的定义域 答案 ⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意知，自变量x 应满足2sin x －1≥0， 即sin x ≥12.由y ＝sin x 在[0，2π]的图像可知，π6≤x ≤5π6，又由y ＝sin x 的周期性可得，y ＝2sin x －1的定义域为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 5.用“五点法”画出函数y ＝2－sin x 的简图. 考点 “五点法”作图的应用 题点 “五点法”作图的应用 解 (1)取值列表如下：(2)描点、连线，如图所示.1.对“五点法”画正弦函数图像的理解(1)与前面学习函数图像的画法类似，在用描点法探究函数图像特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图像的“关键点”，就可以根据函数图像的变化趋势画出函数图像的草图. (2)正弦型函数图像的关键点是函数图像中最高点、最低点以及与x 轴的交点. 2.作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图像，如果要画出在其他区间上的图像，可依据图像的变化趋势和周期性画出.一、选择题1.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0)D.(2π，0)考点 正弦函数的图像 题点 五点法作正弦函数的图像 答案 A解析 易知⎝⎛⎭⎫π6，12不是关键点.2.若函数y ＝sin(x ＋φ)的图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0，则φ的值可以是( ) A.π6 B.π3 C.－π3D.－π6考点 正弦函数图像的应用 题点 正弦函数图像的应用 答案 C解析 将点⎝⎛⎭⎫π3，0代入y ＝sin(x ＋φ)，可得π3＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋k π，k ∈Z ，只有选项C 满足.3.函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像是( )答案 C解析 由y ＝⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝|sin x |易知该函数为偶函数，当sin x ≥0时，y ＝sin x ，当sin x ＜0时，y ＝－sin x ，作x ≥0时y ＝sin x 的图像，将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，再关于y 轴对称即作出y ＝|sin x |的图像.4.(2017·山东临沂一中月考)若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( ) A.[1，4] B.⎣⎡⎦⎤14，1 C.[2，4] D.⎣⎡⎦⎤14，4 考点 正弦函数的图像 题点 正弦函数图像的简单应用 答案 A解析 由正弦函数的图像，可知－1≤sin θ≤1， 所以－1≤1－log 2x ≤1，整理得0≤log 2x ≤2， 解得1≤x ≤4，故选A.5.与图中曲线对应的函数是( )A.y ＝|sin x |B.y ＝sin|x |C.y ＝－sin|x |D.y ＝－|sin x |考点 正弦函数的图像 题点 含绝对值函数的图像 答案 C6.已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π2≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( ) A.4 B.8 C.4π D.2π 考点 正弦函数图像的应用 题点 正弦函数图像的应用 答案 C解析 数形结合，如图所示：y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图像与直线y ＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫5π2－π2×2＝4π. 二、填空题7.函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为 . 考点 正弦函数的定义域 题点 正弦函数的定义域 答案 (－4，－π]∪[0，π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，16－x 2＞0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－4＜x ＜4，⇒－4＜x ≤－π或0≤x ≤π.8.利用五点法画函数y ＝2－12sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所取的五点的坐标分别为 .考点 “五点法”作图 题点 “五点法”作图答案 (0，2)，⎝⎛⎭⎫π2，32，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，52，(2π，2) 9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是 .考点 正弦函数图像的应用 题点 利用正函数图像解不等式答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12的图像(图略)，由图可得－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N .10.若－2π3≤θ≤π6，则sin θ的取值范围为 .考点 正弦函数的值域 题点 正弦函数的值域 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 作出y ＝sin θ的图像(图略)，由图知当－2π3≤θ≤π6时，－1≤sin θ≤12.三、解答题11.利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合.考点 正弦函数图像的应用 题点 利用正弦函数图像解不等式解 首先作出y ＝sin x 在[0，2π]上的图像，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图像可知，在[0，2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立. 所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 12.用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0，2π]的简图.考点 “五点法”作图的应用 题点 “五点法”作图的应用 解 (1)取值列表如下：(2)描点、连线，如图所示.13.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.考点 正弦函数图像的应用题点 正弦函数图像的应用解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图像如图所示，若使f (x )的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图像可得k 的取值范围是(1，3).四、探究与拓展14.方程sin x ＝x 10的根的个数是( ) A.7B.8C.9D.10考点 正弦函数图像的应用题点 判断方程解的个数答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x 10和y ＝sin x 的图像如图所示：根据图像可知方程有7个根.15.用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间.①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围.考点 正弦函数图像的综合应用题点 正弦函数图像的综合应用解 列表如下：描点连线得：(1)由图像可知图像在y＝1上方部分时y>1，在y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.(2)当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}.。

怎么用cad画函数图怎么用cad画函数图AutoCAD的矢量作图和精确控制能力非常厉害，Excel的数据处理能力很了不起，把两者结合起来我们就可以在AutoCAD里画出各种各样的曲线了，那么怎么实现用CAD画函数图呢？下面和店铺一起来看看吧！一、用CAD画函数图的方法步骤：1、在A列从0开始以步长0、4（可自行调节）取若干个横坐标；2、在B3单元格输入“=SIN(A3)”，不包含引号，回车；3、在C3单元格输入“=A3&","&B3”，不包含引号，回车；4、同样方法填充B、C列其它单元格。

5、选中C列中的坐标值，Ctrl+C复制；6、在AutoCAD中输入“PL”命令，回车；7、然后在提示输入坐标值时Ctrl+V粘贴，回车；这样即完成了。

二、cad画图的基本方法1、有些初学者学习AutoCAD时成绩不佳，往往起因于较低的学习兴趣而造成学习效率不高。

兴趣是最好的老师，初学者在学习AutoCAD的时候，要把学习与操作的过程，当成学习一种新的电子游戏。

2、整个学习过程应采用循序渐进的方式。

要学习和掌握好AutoCAD，首先要知道如何用手工来作图，对于作图过程中所用到画法的几何知识一定要非常清楚，只有这样才能更进一步去考虑如何用AutoCAD来做又该如何做。

实践证明，识图能力和几何作图能力强，AutoCAD学起来较容易些，效果较好。

然后再了解计算机绘图的基本知识，如相对直角坐标和相对极坐标等，使自己能由浅入深，由简到繁地掌握AutoCAD的使用技术。

3、学习cad教程的一大优点就是能够精确绘图。

精确绘图就是指尺寸准确，画图到位。

平行线一定要平行;由两条线构成的角，顶点一定要重合。

当尺寸没有按照标准画时，那么在标注尺寸的时候就需要修改数据，不仅影响到了图的雅观，还直接影响了图的真实性，所以在画图过程中就要很细心，一步一步慢慢来，做到精确，无误差。

4、使用计算机绘图就是为了提高绘图速度和效率，最快的操作方式就是使用快捷键。

高一数学画二次函数图像的步骤
画二次函数图像的步骤：五点法是选五个极其重要的点，分别为顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点，然后根据这五点作图。

下面是小编给大家带来的高一数学画二次函数图像的步骤，希望能够帮助到大家!
高一数学画二次函数图像的步骤
二次函数的画法
五点法
五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。

注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。

五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点。

正规考试也是用这种方法初步确定图像。

但是正规考试的要求在于要列表格，取x、y，再确定总体图像。

五点法是可以用在正规考试中的。

描点法
1、列表
先取顶点，用虚线画出对称轴。

取与x轴两个交点(如果存在)、y 轴交点及其对称点(如果存在)和另外两点及其对称点。

原则上相邻x的差值相等，但远离顶点的点可以适当减小差值。

2、依据表格数据绘制函数图像
二次函数求根公式
推导ax²+bx+c=0的解。

移项，ax²+bx=-c
两边除a，然后再配方，
x²+(b/a)x+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²
[x+b/(2a)]²=[b²-4ac]/(2a)²
两边开平方根，解得
x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。