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第三十讲函数作图法作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中与同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形．一、函数的凸凹与拐点如图 3 — 6 可以看出，曲线是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．定义１如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是凹的．从图3—6还可以进一步看出，当曲线凸时，其切线斜率是单调减少的，因而；当曲线凹时，其切线斜率是单调增加的，因而，这说明曲线的凸凹性可由函数的二阶导数的符号确定．定理１设在上连续，在内具有二阶导数，则：（1）若在内，,则曲线在上是凹的．（2）若在内，,则曲线在上是凸的．定义２曲线上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．由拐点的定义和定理１知，使的点及不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．定理２设在内有二阶导数，则（1）若在与内异号，则点为曲线的拐点．（2）若在与内同号，则点不是曲线的拐点．例１求函数的凸凹区间及拐点．解，．令得；而为不存在的点．用将定义区间分成三个部分区间（见下表）．由表可知，曲线的凸区间是，凹区间是,；点是拐点．—不存在凸拐点凹不是拐点凹例２讨论函数的凸凹性及拐点．解函数的定义域为，对函数求导得，；由得，，．用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表．由下表可知，曲线的凸区间是，凹区间是和，点和点是拐点．—凹拐点凸拐点凹二、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．定义 2若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．（一）水平渐近线若函数的定义域是无限区间，且有（或，），则直线称为曲线的水平渐近线．例３对于曲线，由于，，所以直线与是曲线的水平渐近线．（二）垂直渐近线若是函数的间断点，且（或，），则直线称为曲线的垂直渐近线．例４求的垂直渐近线．解因为，所以，是曲线的一条垂直渐近线．（三）斜渐近线若曲线的定义域为无限区间，且有，，则直线称为曲线的斜渐近线．例５求曲线的渐近线．解因为，所以直线是曲线的垂直渐近线，又，；所以为曲线的斜渐近线．三、函数图形的作法前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．第一步确定函数的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）．第二步求出方程和在函数定义域内的全部实根和，不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．第三步确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．第四步确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数的图形．例６描绘函数的图形．解（1）函数的定义域为，且，故图形在上半平面内．图３—7（ 2 ）是偶函数，图形关于轴对称．（3）曲线与轴的交点为．（4）因，故是一条水平渐近线．（5），令得驻点．（6），令得．列表如下：—————极大值凸拐点凹由上面分析画出草图（图3—7）．。
函数的渐进线及其性质函数的渐近线及其性质在函数的研究中，渐进线是一个重要的概念。
它是对于函数在某个极限情况下的近似表达式，能够描述函数的局部或全局的函数特征。
本文将重点探讨函数的渐近线及其性质。
一、什么是渐近线？渐近线是指函数 f(x) 在无穷和有限端点处的某一方向的极限值，可以是一条直线或曲线。
函数 f(x) 的定义域为 I，若存在直线 L，使得 x ∈ I ，当x→+∞ 或x→-∞ 时，f(x) 与 L 的距离趋于零，则称 L 为函数f(x) 的水平渐近线。
与之类似地，若存在直线 L，使得 x ∈ I ，当x→a(a∈R) 时，f(x) 与 L 的距离趋于零，则称 L 为函数 f(x) 的垂直渐近线。
二、什么样的函数有渐近线？对于连续且单调递增或单调递减的函数，存在一条水平渐近线。
例如，对于函数 y = tan x （x ≠ kπ/2）而言，在定义域内存在两条垂直渐近线x=kπ/2, k ∈ Z。
对于函数 f(x) = 1/x，当x → 0 时，f(x) 趋于无穷大，此时不存在任何一条水平的渐近线。
然而，可以发现它有两条垂直渐近线 x = 0 和 y = 0。
三、渐近线的性质1、渐近线是函数与坐标轴的交点的极限对于函数 f(x) 的水平渐近线 y = k，函数 f(x) 与 y = k的交点的横坐标 x 的极限可以理解为x → ±∞ 时的函数的性质。
同样地，对于函数f(x) 的垂直渐近线 x= a，函数 f(x) 与 x = a 的交点的纵坐标 y 的极限也可以理解为当x → a 时的函数性质。
2、渐近线的存在是函数的重要特征之一渐近线可以帮助我们更好地了解函数的特征，更好地说明函数与坐标轴之间的关系。
对于函数的研究、计算和应用而言，掌握渐近线是十分重要的。
3、渐近线的性质和函数的增长速度有关对于一些特殊的函数而言，渐近线可以从一定程度上反映函数的增长速度。
如 y = x 与 y= $x^2$ , 它们的渐近线也是不同的， y = k 与$y=kx$ 是 $x*2$ 的两倍。
