六、平面向量的模与夹角
一、选择题
．已知单位向量满足，则与的夹角是( )
. . . .
【届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三月月考】
【答案】
【解析】，即如图
即是第二象限的角平分线，所以由图可见
与 的夹角是，故选.
．【届河南省林州市第一中学高三月调研】已知向量满足，则（）
. . . .
【答案】
．【届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量，，则的夹角为（）
. . . . 【答案】
【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选.
．【届云南省红河州高三统一检测】设，，，且，则在上的投影的取值范围( )
. . . .
【答案】
当时，
当
故当时，取得最小值为，即
当时，，即
课时规范训练
基础演练])
．若向量，，满足∥且⊥，则·(＋)＝( )
． ．
． ．
解析：选.由∥及⊥，得⊥，则·(＋)＝·＋·＝.
．设向量，满足＋＝，－＝，则·＝( )
． ．
． ．
解析：选＋＝(＋)＝＋·＋＝，
－＝(－)＝－·＋＝，
将上面两式左右两边分别相减，得·＝，∴·＝.
．已知向量＝(，)，＝(，)，＝(，)，且(－)⊥，则实数＝( )
．－ ．
． ．
解析：选.因为＝(，)，＝(，)，所以－＝(，)－(，)＝(－，－)．因为(－)⊥，所以(－)·＝(－，－)·(，)＝(－)－＝，解得＝.
．(·江南十校联考)已知，是两个单位向量，其夹角为θ，若向量＝＋，则＝的充要条件是( )
．θ＝π ．θ＝
．θ＝ ．θ＝
解析：选.由＝，得＝，即(＋)＝.
展开得，＋＋·＝，
即＋＋ θ＝，所以 θ＝－.又θ∈[，π]，
∴θ＝π.
．已知△中，·＋＝，则△的形状是( )
．钝角三角形 ．锐角三角形
．等腰直角三角形 ．直角三角形
解析：选·＋＝化为·(＋)＝，即·＝，所以⊥. 所以△为直角三角形．
又根据条件，不能得到＝.
．(·浙江杭州一模)已知向量，的模分别为，，它们的夹角为°，则向量－与－＋的夹角为( )
．° ．°
．° ．°
解析：选.∵(－)＝－·＋＝－××× °＋＝.
∴－＝，同理求得(－＋)＝，－＋＝.又(－)·(－＋)＝－＋·－＝－，设向量－与－＋的夹角为θ，则 θ＝＝－，∴θ＝°，故选.
．(·洛阳统考)若△的面积为，且角＝，则·＝．
解析：依题意得 ＝＝，＝，·＝－ ＝－×＝－.
答案：－
．已知两个单位向量，的夹角为°，＝＋(－)，若·＝，则＝.
解析：＝＝，〈，〉＝°.
∵＝＋(－)，
∴·＝·＋(－)＝×××＋(－)×＝＋－＝－.
∵·＝，∴－＝，∴＝.
答案：
．已知向量与的夹角为°，且＝，＝.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 .
解析：∵⊥，∴·＝.
2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题07平面向量1
- 让每一个人同等地提高自我
平面向量 01
1、平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a 2,0 ， b 1 ，则 a 2b （ B ）
A、 3 B、23 C、4D、12
2、平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a,OB b ，则 OAB 的面积等于（ C ）
2 2
(a b)2 2 2
( a b)2
A、 a b B 、 a b
C、 1 2 2
(a b)2 2 2
( a b)2
a b D 、 1 a b
2 2
3、设向量 a (1,0) ， b 1 , 1 ，则以下结论中正确的选项是（ C ）
2 2
、 a b
B 、 a b 2 C 、 a b 与 b 垂直 D 、 a // b A 2
4、在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM 1，点 P 在 AM 上且知足 AP 2PM ，则
PA (PB PC) 等于（ A ）
A、 4 B 、 4 C 、 4 D 、 4
9 3 3 9
5、如图，设 P, Q 为 ABC 内的两点，且 2 AB 1 2 AB 1AC， AP AC，AQ
5 5 3 4
则 ABP的面积与 ABQ 的面积之比为（ B ）
A、 1 B 、 4 C 、 1 D 、 1
5 5 4 3
分析图：
- 1 - 2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题07平面向量1
学必求其心得，业必贵于专精
(时间：40分钟)
1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则错误!－错误!等于( ）
A．错误! B．错误!
C．错误! D．错误!
答案 D
解析 由题图，知错误!＝错误!，则错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!。由三角形中位线定理，知错误!＝错误!。故选D.
2．已知向量a与b不共线,且错误!＝λa＋b，错误!＝a＋μb，则点A,B，C三点共线应满足 （ )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
答案 D
解析 若A，B，C三点共线，则错误!＝k错误!，即λa＋b＝k（a＋学必求其心得，业必贵于专精
μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k，1＝μk，故λμ＝1。
3．已知A、B、C三点不共线,且点O满足错误!＋错误!＋错误!＝0，则下列结论正确的是( ）
A．错误!＝错误!错误!＋错误!错误! B．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!
C．OA，→＝13错误!－错误!错误! D．错误!＝－错误!错误!－错误!错误!
答案 D
解析 ∵错误!＋错误!＋错误!＝0，∴O为△ABC的重心，∴错误!＝－错误!×错误!（错误!＋错误!）＝－错误!（错误!＋错误!）＝－错误!（错误!＋错误!＋错误!)＝－错误!(2错误!＋错误!）＝－错误!错误!－错误!错误!。
4．在平行四边形ABCD中,错误!＝a，错误!＝b,错误!＝2错误!，则错误!＝( )
A．b－错误!a B．b－错误!a
C．b－错误!a D．b＋错误!a
答案 C
解析 因为错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!－错误!,所以错误!＝错误!＋23错误!－错误!＝错误!－错误!＋错误!错误!－错误!＝b－错误!a，故选C. 学必求其心得，业必贵于专精
5．如图，在△ABC中，｜错误!|＝|错误!｜,延长CB到D，使错误!⊥错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ－μ的值是( )
高考数学一轮复习平面向量多选题专项训练复习题含答案
一、平面向量多选题
1．若a，b，c是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若ab，则ab
B．若acbc，则ab
C．若//ab，//bc，则//ac
D．若abab，则ab
答案：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；
对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；
对应，若，，则方向相同
解析：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】
对应A，若ab，则向量,ab长度相等，方向相同，故||||ab，故A正确；
对于B，当ac且bc时，··0acbc，但a，b可以不相等，故B错误；
对应C，若//ab，//bc，则,ab方向相同或相反，,bc方向相同或相反，
故,ac的方向相同或相反，故//ac，故C正确；
对应D，若||||abab，则22222?2?aabbaabb，
0ab，ab，故D正确．
故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
2．正方形ABCD的边长为1，记ABa，BCb，ACc，则下列结论正确的是（ ）
A．0abc B．0abca
C．0acba D．2abc 答案：ABC
【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.
【详解
解析：ABC
【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.
