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第五讲数学方法和思想(二)内容概述学习数学的一个重要方面就是要掌握一定的解题方法，数学的题型千变万化，如果仅靠题海战术，而不去总结规律，寻找解题方法，将永远是大海捞针，失去方向！遇到题型发生变化，就会一筹莫展，这节课我们将介绍几种重要的解题方法，希望同学能体会贯通，举一反三。
从简单情况考虑有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看看有什么规律。
很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。
【例1】3×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数字是1．求35个3相乘的结果的末位数字是几?分析：从简单情况做起，列表找规律：仔细观察可发现，乘积的末位数字出现有周期性的规律，4个一组，35个3相乘是其第34项，所以末位数字是7。
【例2】444444444888888888÷666666666的商是_____________分析：这个题目我们当然可以列一个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，4，8，6都有9个，那我们就先来看一下如果4，8，6分别各有1个，2个，3个商分别是多少，这个计算起来是非常简单的：48÷6=8 ，4488÷66=68 ，444888÷666=668 …同学们找到规律了吗？对了，444444444888888888÷666666666=666666668（8个6 ，一个8）。
【例3】① 12345678987654321是_________的平方② 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1是_______的平方？③ 12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是_______的平方，分析：（1）从简单得情况入手，找规律：1的平方是1；11的平方是121；111的平方是12321；1111的平方是1234321；因此111111111的平方是12345678987654321；（2）再来看小括号里的数，从1加到9再加到1，我们从简单情况入手，1+2+1=4=2的平方1+2+3+2+1=9=3的平方1+2+3+4+3+2+1=12=4的平方发现规律后就知道：1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9的平方。
数学校本课程《趣味数学》-图文序言数学是一门基础科学，一切自然科学都离不开数学严密的计算和推理，数学也是人文科学和逻辑思维的基础。
趣味数学是以传统的课堂教学为基础，以开放，创新的思维模式，集中体现了素质教育思想，立足培养兴趣，旨在提高成绩，通过讲，学，练这一科学有效的训练方法，培养学生的数学兴趣和教学思维。
立足基础知识，结合教学实际，博采众长，寓理于例，重在思维训练，并加以适合的延伸和拓展，以提高学生对数学的兴趣，启发学生的创造力和思维能力，爱学，乐学，增强孩子的学习主动性，提高学生思维的敏捷性，灵活性，准确性和深刻性是我们的宗旨和目标。
“千里之行，始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识，在灵感中启迪智慧，在和谐中走向成功！目录第一部分：课程目标第二部分：课程的组织形式与实施计划第三部分：课程内容简介第1讲集合中的趣题—“集合”与“模糊数学第2讲函数中的趣题—一份购房合同第3讲函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王第4讲三角函数的趣题—直角三角形第5讲三角函数的趣题—月平均气温问题第6讲数列中的趣题—柯克曼女生问题第7讲数列中的趣题—数列的应用第8讲不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例第9讲不等式性质应用趣题―均值不等式的应用第10讲立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题第11讲立体几何趣题—球在平面上的投影第12讲解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈第13讲解析几何中的趣题―最短途问题第14讲排列组合中的趣题―抽屉原理第15讲排列组合中的趣题―摸球游戏第16讲概率中的趣题第17讲简易逻辑中的趣题2第18讲解数学题的策略第四部分：课程评价3第一部分：课程目标1.启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；2.能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.3.体会数学在实际问题中的应用价值．4.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
有效教学工作计划数学对培养学生的创新精神和实践能力至关重要。
知识不仅是提高教学效率的主要标志，同时也是培养学生创新精神和实践能力，促进学生发展的重要依托所以，必须更新教育观念，努力提高小学数学教学的有效性。
一、指导思想：坚持以全面实施素质教育为目标，以推进课程改革、抓好课程改革工作为重点，以教育科研为龙头，以校本教研为基础，面向学生、服务教学实际的校本教研，努力构建学习型教师组织，切实提高教学质量。
二、基本目标1．继续学习《新课程标准》，讨论如何在实际教学中体现教学的有效性，教学方法注意把“自主、合作、探究”的方式与讲授式有机结合，使学生在课堂教学中真正地成为学习的主体，体现生本思想。
2．培养学生学习数学的热情，让学生快快乐乐地学；培养学生自学能力，让学生学得轻松。
3．充分培养和锻炼学生的创新精神和实践能力，形成良好的情感、正确的态度和价值观，从而促进学生全面发展的教学。
4.认真学习有效教学视频讲座，开展潜能生转化工作，认真听课并写好听课笔记和心得体会，认真备课并上好每一节课，让学生真正学到知识并发展能力，做好学生数学竞赛准备工作，强化学生的书写能力和质量。
三、主要措施1、对教材加工、归类重组出具有迁移性、思考力、再生力的有效知识，有利于学生探索与创新，为了便于小学生理解和接受，教材往往呈现一些基本现象和事实，需要教师对其进行加工、提炼；另外，对教材所呈现的一些知识点，也需要教师进行归类处理，确定重难点。
2、活化例题，有利于学习效率的提高“活化”主要有两种形式：一是把例题转换成生活实际的问题。
教材中有些应用题与学生生活联系不紧，学生常常感到这些题与自己无关，因此探索活动显得不够主动积极。
教师可以“换汤不换药”，即将学习内容生活化，便于有效地激发学生解决问题的求知欲。
3、选择最适合学生的教学方法教学实践证明，教学中绝对的、万能的、最好的教学方法是没有的。
但不管采用何种方法，都应落脚于是否调动了学生的学习积极性，是否促进了学生的活动尤其是思维活动，是否产生良好的教学效果。
《牛吃草问题》课件一、教学内容本节课我们将探讨《牛吃草问题》，该问题属于数学中的线性方程组应用。
教材的章节为《一元一次方程组及其应用》，详细内容包括牛吃草问题的背景介绍、问题分析、方程组的建立与求解，以及在实际生活中的类似应用。
二、教学目标1. 理解牛吃草问题的背景，学会运用一元一次方程组解决实际问题。
2. 能够根据实际问题抽象出数学模型，掌握一元一次方程组的求解方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学难点与重点难点：从实际问题中抽象出一元一次方程组，理解牛吃草问题的实质。
重点：一元一次方程组的建立与求解，以及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示一个关于牛吃草的情景，引导学生思考：牛吃草的速度和草地面积之间的关系。
2. 例题讲解（1）题目展示：一块草地，面积y平方米，每天长x平方米的草，牛每天吃a平方米的草，问n天后，草地还剩多少草？（2）问题分析：根据题目，可以列出方程组：y = (x a) n，求解这个方程组即可得到答案。
（3）方程组求解：分别将x、y、a、n代入方程组，求解得到草地剩余草的面积。
3. 随堂练习让学生尝试解决类似的问题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 牛吃草问题背景介绍2. 方程组的建立3. 方程组的求解方法4. 实际应用举例七、作业设计1. 作业题目：一块草地，面积600平方米，每天长40平方米的草，牛每天吃30平方米的草，问10天后，草地还剩多少草？2. 答案：y = (40 30) 10 = 100平方米。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生是否掌握了牛吃草问题的解决方法，能否独立解决类似问题。
2. 拓展延伸：引导学生思考，如果草地的面积、草的生长速度、牛吃草的速度都不固定，该如何求解？能否引入更多的变量，建立更复杂的方程组？激发学生的探究兴趣。
重点和难点解析1. 教学内容的选择与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的把握4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度与广度6. 作业设计的针对性与拓展性一、教学内容的选择与组织教学内容的选择应紧密结合学生的认知水平和实际需求。
牛吃草问题公开课课件一、教学内容本节课我们将探讨《牛吃草问题》，该内容属于数学教材第五章第二节，主要涉及一元二次方程的应用。
详细内容包括理解牛吃草问题的背景，掌握建立数学模型的方法，以及学会解决一元二次方程的实际问题。
二、教学目标1. 让学生掌握一元二次方程在牛吃草问题中的应用，培养其解决实际问题的能力。
2. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，使其能够运用数学知识解决生活中的问题。
3. 激发学生学习数学的兴趣，提高其数学素养。
三、教学难点与重点教学难点：一元二次方程在牛吃草问题中的应用，以及数学模型的建立。
教学重点：掌握一元二次方程的解法和实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个关于牛吃草的实际情景，引导学生思考如何用数学知识解决问题。
2. 知识讲解（15分钟）详细讲解一元二次方程的解法，以及如何将其应用于牛吃草问题。
3. 例题讲解（10分钟）通过讲解一道关于牛吃草问题的例题，使学生掌握数学模型的建立和解题步骤。
4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道牛吃草问题的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。
6. 答疑环节（5分钟）针对学生提出的问题，进行解答。
六、板书设计1. 牛吃草问题背景介绍2. 一元二次方程解法3. 数学模型的建立4. 例题及解答5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：已知一片草地上原有的草量为a，每天长出新草的量为b，牛每天吃草的量为c，问：n天后，牛能吃到的草量是多少？2. 答案：草量 = a + (b c) n八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生掌握情况，以及教学中存在的问题。
2. 拓展延伸：引导学生思考更多关于一元二次方程在实际问题中的应用，如人口增长、物体运动等。
重点和难点解析1. 实践情景引入2. 知识讲解与例题讲解3. 小组讨论与答疑环节4. 作业设计一、实践情景引入1. 选择具有趣味性和真实性的情景，使学生产生探究欲望。
2020年浅谈数学课堂的“牛鼻子”——例题精编版 精品好文档，推荐学习交流
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 浅谈数学课堂的“牛鼻子”——例题
例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，是对所学知识进一步深化，同时对技巧的运用进行示范，把数学知识、解题技能和思想方法联系起来，并最终转化为能力。其质量的高低直接影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握，同时也影响学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累，从而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力。因此，把握住例题的精髓，彰显解题思路和方法上的典型性和代表性，由知识转化为能力上的示范性和启发性，应该成为初中数学教学的中心。 一、精导---揭示本质 例1 若代数式x2+2x-3可以表示为(x+1)2+m(x+1)+n的形式，则m-n的值是 . 问题1：问题中要求什么？（可以分别求出m、n , 也可以直接求m-n。） 问题2：如果分别求m、n，这里的m、n可以看成什么？（ m、n是待定系数，可以看成未知数，关键是要得到关于m、n的二元一次方程组。） 问题3：如何得到关于m、n的二元一次方程组？（把条件“代数式x2+2x-3可以表示为(x+1)2+m(x+1)+n的形式”理解为“x2+2x-3=(x+1)2+m(x+1)+n”。将(x+1)2+m(x+1)+n
展开整理得x2+(2+m)x+1+m+n，所以x2+(2+m)x+1+m+n=x2+2x-3，所以2231mnm，解得04mn，所以m-n=-4。）
问题4：因为x2+(2+m)x+1+m+n=x2+2x-3，所以mx=-m-n-4，mnmx4，结果未能求出m、n的值，这是怎么回事？（事实上，条件的本质是“在x为任意实数时都有等式成立”，即是恒等式；也可看成同一个二次函数的两种不同表示形式；只有当所有对应项的系数都相等时才成立，即2231mnm时才满足要求。） 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 问题5：将恒等式x2+2x-3=(x+1)2+m(x+1)+n的右边展开，则是由繁到简的一种常
用变形；如果从左到右思考呢？（事实上，将x2+2x-3配方成(x+1)2-4，条件的本质是
“在x+1为任意实数时都有等式(x+1)2-4=(x+1)2+m(x+1)+n成立”，则更容易得出
04mn。）
问题6：还有其他方法得到关于m、n的二元一次方程组？（任意给出x两个特定的值分别代入两个整式，就得到关于m、n的两个方程，如x=0和x=1代入得nmnm13241。）
问题7：在问题6中x能否取其它数值？（特殊性寓于一般性之中，一般情形成立的结论特殊情况下一定成立；要说明特殊情形下的结论在一般情形下成立必须经过一般性证明。作为填空题毋庸置疑，但如果作为解答题，则必须进行一般性的验证。） 问题8：如何想到直接求m-n？（在代数式(x+1)2+m(x+1)+n中，给定x的具体数
值就可出现关于m与n的代数式，如：当x=0时有m+n，当x=1时有2m+n，当x=21时有2
3m+n，…。那么怎样才能出现m-n呢？因为m的系数为(x+1)，n的系数为1，要出
现m-n，m、n的系数必须是互为相反数，所以x+1=-1，即x=-2。当x=-2时有（-2）2+2×（-2）-3=(-2+1)2+m(-2+1)+n，化简整理得-3=1-m+n，所以m-n=4。）
例题是数学知识的载体，它集知识性、典型性、探索性于一体，更是学生学习数学知识的范例。就题论题，体现不出例题的导向作用和举一反三的效果。例题教学的精导是引导学生经历探索、感悟、反思甚至尝试失败与错误的曲折过程，让学生有感而发、有感而问、有感而究，深入理解例题的本质，逐步优化思路与方法。 二、解惑---灵活应用 例2 已知),(11yxP和),(Q22yx为抛物线0)1(m22mxmxy两点，若
211xx，且221xx，请比较1y、2y的大小。 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 学生的困惑1：二次函数的解析式不确定，则相应的函数图像与性质能知道吗？ 学生的困惑2：二次函数图像上的点的位置与点的纵坐标的大小有何关系？ 学生的困惑3：抛物线对称轴两侧的两个点的纵坐标如何比较大小呢？ 学生的困惑4：),(11yxP、),(Q22yx两点在二次函数图像上的位置能确定吗？
学生的困惑5：抛物线上点的纵坐标即为相应的二次函数值，则能代入解析式先求函数值，再比较大小吗？ 解析这道题，教师可设置下列问题做铺垫： 问题1：由12
2xxy，你能说出哪些结论？
生1：这是一个二次函数，图象是一条开口向下的抛物线。 生2：抛物线的对称轴为直线x=1。 生3：当1x时y随着x的增大而增大；当1x时y随着x的增大而减小。 问题2：关于0)1(m22mxmxy，上述性质有变化吗？
问题3：若（-1，1y）和),3(2y为抛物线0)1(m22mxmxy两点，则比较大
小：1y 2y。
问题4：若（-1，1y）和),2(2y为抛物线0)1(m22mxmxy两点，则比较大
小：1y 2y。
生4：因为),2(2y关于对称轴直线x=1的对称点),0(2y也在抛物线
0)1(m22mxmxy上，-1<0，所以1y<2y。
生5：因为（-1，1y）关于对称轴直线x=1的对称点（3，1y）也在抛物线
0)1(m22mxmxy上，2<3，所以1y<2y。
生6：因为1-(-1)>2-1，所以点（-1，1y）离对称轴直线x=1的距离比点),2(2y
离对称轴直线x=1的距离远，所以1y<2y。 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 生7：当x=-1时1y=-3m+1；当x=2时2y=1。因为1y-2y=-3m，m>0，所以1y-
2y<0，所以1y<2y。 教师通过不断创设一定梯度且前后连贯的问题情境，激发学生的思维，获得启发后明晰思路，寻求突破。 解法1：设点Q直线x=1的对称点为),(Q
00
'yx，则20-2xx，02yy。因为
221xx，所以021-2xxx。因为211xx，所以110xx。又因为抛物线的开口向下，当1x时y随着x的增大而增大，所以10yy，即21yy。
解法2：因为221xx，所以12-11-xx。又因为211xx，所以点),(Q22yx到
对称轴直线x=1的距离大于点),(11yxP到对称轴直线x=1的距离，又因为抛物线的开口
向下，所以21yy。
解法3：因为),(11yxP和),(Q22yx的中点的横坐标为221xx，又因为221xx，
对称轴直线x=1，所以中点在对称轴的右侧。又因为211xx，所以点),(Q22yx到对
称轴直线x=1的距离大于点),(11yxP到对称轴直线x=1的距离，又因为抛物线的开口向
下，所以21yy。
解法4：因为12
1211mxmxy，122222mxmxy，
所以)(2))((22-21121222212121xxmxxxxmmxmxmxmxyy
)2)((1212xxxxm，又因为211xx，221xx，所以021yy，
即21yy。
例题的解析不仅仅是要让学生知道结果，更重要的是教师要在学生感到迷茫的时候，要善于层层剥茧，直接问题要害，让学生看到方向，并让他们找到解决问题的方法。好的问题设计具有较高的数学思维含量，能起到较好的引疑、激疑、释疑作用。一题多解可以从不同角度、不同方位思考问题,是提高分析问题和推理能力的一种极好精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 的思维方法。在设计问题时，要拓展问题的思考空间、增加问题的探究属性，让学生能够多角度、多层次地展开思考，为学生的创新注入动力。 三、渗思---深思提能 例3 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ） A．① ② B．② ③ C．① ③ D．① ② ③ 本题考查的内容有矩形、正方形、中心对称图形的性质， 数与式、定值问题，将方程思想、整体思想、数形结合思想、转化思想和平移方法融汇在基本图形中，更多地关注学生的思维能力和创新精神、洞察力，是融PISA理念和初中数学思想于一体的典型范例。 解法1：设住房平面图长方形的长为a，宽为b，正方形②的边长为x,正方形③的边长为y，从横向考虑有大长方形的长等于2个正方形②的边长与1个正方形③的边长的和，从纵向考虑有大长方形的宽等于2个正方形②的边长与1个正方形③的边长的
差，由这两个等量关系可得关于x、y方程组ayxbyx22，解得42baxbay。所以长方形①的周长为2[（x+y）+（x-y）]=4x=a+b，正方形②的周长为4x=a+b，正方形③的周长为4y=2(a-b)。所以当给定大长方形的周长时，标号为① ②的图形周长为定值，故选A。
解法2：运用转化（平移）的思想，将线段GN平移到DP处， 线段PE平移到NB处，即GN=DP，PE=NB，又因为PE=EH+PH=GH+PH， 所以长方形①的周长=CP+NG+GH+PH+CN=CP+DP+PE+CN=CD+NB+CN=CD+CB； 将线段PH平移AQ处，线段QF平移到PC处，即PH=AQ，QF=PC，
H A M B
①①②③②
D P
G
E
①①②③②
