“平行与垂直”是学生学习直线及角的认识基础上教学的，是进一步学习平行四边行和梯形的基础。本节课的重点是帮助学生理解“平行与垂直”的概念，继而灵活应用概念判断“同一平面内”两条直线的位置关系主要有以下几点：
1、创设问题情景，引导学生探索。
“两根小棒掉在地上，可能会出现什么情形？”放手让学生展开丰富想象，画出可能出现的图形，这样学生在教师设置的问题情景中进入紧张的思维状态，从而使学生积极投入到探索活动中去。
2、动手实践自主探索
由于这是一节概念课教师不能把现成概念简单的般给学生，而因通过学生多种感官参与到探索活动中去，所以，我先用两根小棒引出两条直线位置关系，然后画在纸上；再对这些图形进行分类；最后根据“分类”的思想进行抽象概括。同一平面内”两条直线的位置关系“平行与垂直”的概念建立在学生的感性认识基础上，学生认识深刻，概念清晰。所有一切活动都是依靠学生动手操作，自主探究完成的。
3、环节紧凑，结构严谨。
先摆出两根小棒掉在地上可能出现的情形，在画在纸上，然后根据两条直线位置关系进行分类，引出平行与垂直的概念。而所有练习都是围绕“同一平面内”两条直线的位置关系来展开的，进一步突出概念本质，加深了学生的理解。
教学是一门缺憾艺术，在本节课中也有一些不足，如：课前对学生要求所做准备不足，课堂上学生画的涂小而且不清晰，后面学生看不清，从而影响教学效果和进程。其次，对学生评价语言还是比较欠缺，有待在今后教学中进一步提升。
新人教部编版小学四年级 5 平行四边形和梯形 本单元的教学内容是在学生认识了直线、线段、射线的特点，初步认识了平行四边形，学习了角的度量的基础上进行教学的，主要内容包括：同一平面内两条直线的特殊位置关系，即平行与垂直；平行四边形和梯形的认识。重点是认识平行四边形、梯形的特征以及与正方形、长方形的关系。梯形在这里是第一次正式出现，教科书除了讲述梯形的特征外，还注意说明它与平行四边形的联系和区别。 教科书在编排时，注重联系现实素材，利用直观帮助学生建立几何概念。例如，在平行四边形和梯形中，我们用推拉门、楼梯的扶手，提供给学生一些生活原型，同时还借助一些动手操作的活动来帮助学生建立空间观念。在“图形与几何”领域中，垂直与平行、平行四边形和梯形都对后续知识的学习有很重要的作用。它们是学生学习五年级上册平行四边形、三角形、梯形等多边形面积知识的基础，也是后面进一步学习长方体、正方体等的基础。 四年级的学生已经认识了直线、线段和射线的特点，初步认识了平行四边形，并学习了角的度量。而且平行和垂直现象在生活中处处可见，平行四边形和梯形在日常生活中也有着广泛的应用，学生头脑中已经积累了许多经验，因此通过教科书提供的一些图片，如伸缩门、楼梯栏杆、梯子等，让学生借助图片找出平行四边形和梯形，并研究它们的特征也不是一件很难的事。我们要做的是关注学生已有的生活经验和知识基础，让学生在观察、想象、操作、推理与交流等活动中，不断积累数学活动经验，初步培养学生的空间观念。 1.抓住图形的本质特征，帮助学生正确理解概念。教师要充分预测学生理解这些概念时可能会出现的问题。如有的学生会孤立地说某直线是垂线或平行线，也有的学生会认为只有水平线和铅垂线的关系才叫垂直。这就需要教师在课堂上对这两点加以点拨和说明：一是垂直和平行所说的都是两条直线之间的位置关系，不能孤立地说某直线是垂线或平行线。二是看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否是直角，与两条直线放置的方向无关。在教学中，可以结合举例等方法，帮助学生理解这种直线间的关系，也要注意呈现出各种不同方向的垂直情况，以克服学生的惯性思维。 2.加强作图步骤的具体指导。本单元涉及许多作图的内容，如画垂线、画长方形或正方形、画平行四边形和梯形的高等。但教科书中很少呈现文字的作图步骤与方法，所以教学时要加强作图的训练和指导，重视作图能力的培养。例如在“做一做”中画已知直线的垂线的练习，教学时，要呈现不同位置的直线，让学生自己尝试去画，提高学生作图的灵活性。 3.注重联系生活，感受数学在生活中的应用，拓展教学的资源。教科书在编排时，有意识地将数学学习与生活实际结合起来，并提供了大量的现实素材，设计了不少学以致用的习题。如借助于生活实物或原型分别引出平行四边形和梯形，要求学生思考和讨论怎样测定立定跳远的成绩、怎样挂画又快又正、怎样修路最近等，这些都能使学生体验到数学与生活的密切联系，感受到数学的应用价值。在具体教学中，要注重学生已有的生活经验，将学生的视野从课堂拓宽到生活的空间，并引导他们去观察生活，应用所学知识解决生活中的问题，进一步认识和体会数学知识的重要用途，增强数学应用意识。
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
活动三 三、归纳认识，明确平行与垂直的含义。 1、揭示平行的概念首先探究的是不相交的一类直线： 师：同学们说这组直线不相交，说说你们的想法，你们是怎么知道的呢？ 生1：我发现这两条直线不管怎么延长也不会相交。 生２：我们可以用直尺量一量它们之们的距离，如果距离一样，肯定不会相交。师：这位同学不仅会用眼睛看，而且还会想出量的方法，真不简单！ 师：由此你们可以得出什么结论？ 生：不管怎么延长，这两条直线是永远不会相交的。 师：像这样，不管怎么延长，两条直线永远不会相交的现象，你们知道在数学上叫什么吗？我们就说这两条直线互相平行。这里又用到了互相两个字，知道为什么要加互相吗？ 生答。 师：谁能说说什么样的两条直线互相平行？ 生：永远不相交的两条直线互相平行。 师：这句话里少了一个前提条件，大家看，老师的这个讲桌面上的这条线和黑板上面的那条线相交吗？ 生：不相交。 师：但是我们能说它们互相平行吗？ 生：不能。 师：这是为什么呢？ 生：没有在同一个面上。 师：对，也就是说必须在同一平面内。所以什么样的两条直线互相平行呢？生：在同一个平面内不相交的两条直线互相平行。 这时教师归纳总结：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2、揭示垂直的概念。 研究相交的一类图形： 师：再来看看两条直线相交的情况，你们发现了什么？ 生1-生4答。 当有学生说两条直线相交后形成了四个直角时，教师适时引导：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢？ 生：可以用三角板、量角器量一量。学生验证。 师：你们认为在这些相交的情况中哪种最特殊？ 生：相交成直角的两条直线最特殊。 师：大家都同意吗？ 生答。 师：在同一平面内，像这样的两条相交成直角的直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。（看大屏幕出示垂直的定义。并且做些练习） 3、小结：师生共同总结：同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系：垂直与平行。（引出课题-----垂直与平行）
苏教版四年级数学上册《八垂线与平行线》-单元测试4 一、单选题(总分：40分本大题共8小题，共40分) 1.(本题5分)用一副三角板不可以画出（）度角． A.75 B.135 C.100 D.105 2.(本题5分)不能用三角板画出的角是（） A.135° B.60° C.105° D.85° 3.(本题5分)过直线外一点作直线的垂线，可作（）条． A.2 B.3 C.1 4.(本题5分)下面说法错误的是（） A.射线的一端可以无限延长 B.两条平行线间的距离处处相等 C.平行四边形容易变形 D.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 5.(本题5分)两条直线互相垂直，一共可以组成4个（）角． A.锐 B.直 C.钝 6.(本题5分)6点整时，钟面上时针和分针所组成的是（）
A.60° B.90° C.180° 7.(本题5分)下面说法中，正确的是（） A.一条线段长2厘米 B.一条射线长5米 C.一条直线长100米 8.(本题5分)一副三角尺，不能画出下面的角是（） A.15° B.20° C.75° D.105° 二、填空题(总分：25分本大题共5小题，共25分) 9.(本题5分)钟面上从4：00到4：10，分针转动了____°． 10.(本题5分)在同一平面内，过直线L外一点P只能画一条平行线与L平行____．（判断对错） 11.(本题5分)求角的度数．（如图）∠1=40°∠2=____∠3=____． 12.(本题5分)3时整，时针与分针夹角是____度，5时整，时钟与分针夹角是____度． 13.(本题5分)过一点可以画无数条直线，画一条射线．____．（判断对错） 三、解答题(总分：35分本大题共5小题，共35分) 14.(本题7分)度量角的方法： 第一步，使量角器的____与角的顶点重合； 第二步，使量角器的____侧____与角的一条边重合； 第三步，看角的另一条边指向的量角器的____（内或外）圈读数．（我们把这三句话概括为“两合一看”） 先看看下面各角是什么角，然后量一量．标出度数．
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
《平行与垂直的概念》教学设计 教学内容：平行与垂直（人教版四年级上册56页） 教学目标： 1、知识与技能：初步认识并理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识平行线与垂线。 2、过程与方法：引导学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 3、情感态度与价值观：培养学生的空间观念及空间想象能力,引导学生具有合作探究的学习意识。 重点、难点与关键： 1、教学重点：平行与垂直的概念。 2、教学难点：理解“同一平面”的含义。 3、解决问题的关键：加强指导，培养空间能力。 教具准备：直尺、三角板，课件等。 学具准备：直尺、练习纸、每人三根小棒。 教学过程： 一、组织活动，引出问题： 1、揭示课题。 教师导入谈话： （1）简要说明学生已经学过的一些几何图形。 （2）宣布本节课的学习内容。 板书：平行与垂直。
2、学习动手操作。 教师：什么是平行？现在，请每一位同学自行在练习纸上画两条直线。（1）学生动手画两条直线，教师巡视。 （2）以4人为小组，让学生在小组说一说自己所画的两条直线的位置关系。 3、反馈结果。 教师：你们所画的两条直线的位置关系一样吗？ 学生：不一样。 教师：说一说怎么不一样？ 学生可能说不清，但是可以捉住两种说法： ①两条直线相交； ②两条直线不相交。 二、研究问题，揭示概念： 1、把学生的作品粘贴于黑板。 2、分类比较。 教师：现在，我们把这四幅作品进行分类，你说应该按什么样的标准进行分类呢？ 学生：看是否相交来分类。 教师按照学生的要求调整作品的位置。 讨论：下图中的两条直线是否相交？
讨论后，得出正确的位置，并调整。 3、揭示概念： 教师引导学生对相交和不相交的情况进行观察和讨论。 不相交： ①通过观察、想象，学生体会“永不相交”。 ②呈现平行线的概念。 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）相交： ①通过测量练习纸上相交的两条直线所组成的角的度数，发现垂线所夹角的特征。 ②呈现垂线的概念。 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 三、课堂活动，应用知识： 1、ppt展示一些生活中见到的一些平行与垂直的现象。 2、找一找，是平行线的画“○”，是垂线的画“△”。
新版苏教版小学数学四年级上册垂直与平行单元测试 一、填空(27分) 1、（）有两个端点，（）有一个端点，（）没有端点。 2、同一平面内两条直线的位置关系有（）和（）。 3、用一个放大10倍的放大镜看一个30o的角，看到角的度数是（）。 4、图中一共有（）条线段，（）条直线，（）条射线。 5、如右图，点A到直线可以画（）条线段，（）最短。A （请你在图中画出来）这条垂线段也叫（）。 6、体育课上，我们在做向右转或向左转时，转过的是（）角，向后转转过的是（）角。 7、一个周角=（）个平角=（）个直角。 8、你的课桌（）的边互相垂直，（）的边互相平行。 9、如图。是一组平行线，在这组平行线中可以画（）条垂直 的线段，这些线段都（）。（画两条。） 10、在钟面上，（）时整和（）时整，分针和时针是互相垂直的。 11、过平面上一点可以画（）条直线，过两点可以画（）条直线。 二、判断（22分） 1、两条直线不是垂直就是互相平行。（） 2、钟面上，3时30分是直角。（） 3、骑自行车爬坡时，坡面与地面的角度越大，感觉就越吃力。（） 4、两条直线不平行就相交。（） 5、两条平行线间的距离处处相等。（） 6、一条直线的平行线有无数条。（） 7、过直线外一点可以画无数条直线与已知直线平行。（） 8、用一个放大10倍的放大镜看一个10°的角，看到的角是100°。（） 9、把一个钝角分成两个角，一个是直角，另一个一定是锐角。（） 10、小于90°的角是锐角，大于90°的角是钝角。（） 11、角的两条边越长角就越大。（） 三、选择（11分，第4题3分，其余每题2分） 1、小明测量一条（）长20厘米。 A.直线 B.射线 C.线段 2、右图中有（）个角。 A.8 B.9 C.10 3、用两个锐角拼成一个大的角，这个角不可能是（）。 A.锐角 B.直角 C.钝角 4、下面图中的两条直线，（）图是平行，（）图是垂直，（）图是相交。
平行与垂直 教材概述： 《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元第一课时的教学内容。它是在学生学习了直线与角的认识的基础上安排的教学内容，是认识平行四边形和梯形以及以后学习几何学的基础，更是培养学生空间观念的基础载体。 学情分析： 学生通过对直线与角的认识的学习，有了一定的空间想像能力，且垂直与平行这些几何图形在我们的日常生活中应用广泛，学生对其已有许多表象认识。但是，由于学生生活的局限性和空间观念及空间想象能力不够丰富，故而其对垂直与平行中所研究的同一个平面内两条直线位置的相互关系，还未能建立表象，不能完全理解"同一平面"与"永不相交"的本质。为此，需要教师帮助他们解决。 教学策略分析：。 1、设计理念：解决“抽象”这一难点的最佳方法莫过于动手操作，我想只有贴近学生生活的才是最易被学生接受的，只有学生亲自动手得来的才是真正理解不易遗忘的。结合我校校本教研提出的“在合作中体验学习的快乐”的先进理念，我在本课的设计中主要体现的是“摸一摸——想一想——画一画——练—练——折一折”的三维教学理念，意图放缓坡度，让学生在潜移默化的学习之中对本知识点做到既能意会又可言传。 2、教法设计：我在教学中主要设计了“画一画”和“分一分”两个操作性学习环节，让学生通过动手操作、动笔描绘、动眼观察、动脑思考、动口阐述五个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，以拉近知识与学生的距离。 3、学法设计：在“扔小棒”活动中，主要是体现开放性动脑想象的学习方法，让学生有空间把可能出现的情况全面的展现出来，为准确地提取和掌握知识点做好充分的准备；在“分一分”活动中，主要是体现多元性思考的学习方法，让学生理解知识，并培养概括总结的能力；在学习概念性知识的时候，主要是体现抓住重要词语进行理解的学习方法，让学生通过交流全面掌握所学的知识。 教学目标： 1、初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线特殊的两种位置关系，会初步辨析垂线和平行线。 2、通过观察、分类、比较、举例等环节，认识垂线和平行线，感知生活中垂直与平行的现象。 3、引导学生具有自主思考、合作探究的学习意识，体会到垂直与平行的应用和美感，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点： 正确判断同一平面内两条直线之间的位置关系。 教学过程： 一、情境引入，感知“同一平面”。 1. 复习直线的性质特点：没有端点，可以（向两端）无限延长。 2、感知“同一平面”。 下面请同学们拿出你手中的一张纸，平放在桌上，用手摸一摸，感知一下，它是（平的），我们就说你摸的这个面是一个平面。这张纸（也就是这个平面）可以无限放大，所以直线可
N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
《认识平行与垂直》教学反思 《认识平行与垂直》教学反思1 教学内容：联系生活自编教材 教学目标： 1、结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。 2、通过讨论交流，和谐发展独立思考能力与合作精神。 3、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 4、培养学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学习数学的兴趣、增强自信心。 教学重、难点：通过自主探究活动，初步认识平行线与垂线。 教学过程： 1、谈话导入。 1)我们曾经一起学习过有关数的产生，知道了数字和数都是人们在生产劳动、日常生活中逐渐发明和发展的。不但是数字，我们已经学习过的、正在学习的、以及以后将要学习的数学知识
都是从人们的生活、劳动中来的，而且学习这些知识又能更好地为生活、生产服务。所以学好数学是一件非常重要的事情，因为它在生活生产中都会用到，同时又是一件非常有趣的事情，因为生活中有很多蕴含数学知识的事例。不信，请注意： 2)故事：课间，同学们安静有序地休息。(课件1) 朱吕浩在经过吴炫陶的座位边时，不小心把吴炫陶的文具盒弄到了地板上，这时候如果是你，你会怎么做呢?(课件2) (学生发表个人见解，适当进行思想教育) 3)朱吕浩也像同学们说的和期望的一样，马上向吴炫陶表示诚挚的歉意后，迅速将散落的文具盒及地面上的铅笔、圆珠笔等文具收拾好放回桌面，事情好象到此结束了。不过，在收拾文具时，他却发现了一件事，而且引起了他的思考，究竟是什么呢?我们来看看。(课件出示散落在地面上的文具，聚焦在两支铅笔上) 4)他想到很有意思的一个问题，是什么呢?我们在对他积极思考问题的好习惯表示钦佩的同时，不妨来看看这个问题：(课件出示)两支铅笔落在地面上，可能会形成哪些图形呢? 2、探索比较。
四年级数学上册8.垂线与平行线单元测试题 一、单选题 1.在同一平面内不重合的两条直线（）。 A. 相交 B. 平行 C. 不相交就平行 D. 没有任何关系 2.两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 3.在两条平行线之间作了4条垂线，这4条垂线的长度（）。 A. 都相等 B. 不相等 C. 有的相等有的不相等 4.图中有（）组平行线。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 5.同一平面内不相交的两条直线叫作________． 6.图中有________组平行线． 7.下面的图形由5条直线组成，________和________互相平行，________和________互相垂直． 8.在下面的字母中找出互相平行或互相垂直的线段．(按题中字母顺序填写) E F H K L N Z ________中有互相平行的线段；________中有互相垂直的线段． 三、判断题
9.判断对错 （1）两条线段相等，它们一定平行． （2）从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短．10.判断对错. 长方形相邻的两条边互相垂直． 11.不相交的两条直线是平行线． 12.火眼金睛辨对错． 在同一平面内的两条直线不平行时，则一定互相垂直． 四、解答题 13.在下面的图形中，把每组互相平行的线段描上不同的颜色． 14.画两条平行线，它们之间的距离为4cm5mm． 五、作图题 15.如图，从A点过马路，怎样走线路最短？请画出来．为什么？
参考答案 一、单选题 1.【答案】C 【解析】【解答】在同一平面内不重合的两条直线不相交就平行。 【分析】根据垂直与平行的特征及性质，即得在同一平面内不重合的两条直线不相交就平行。 2.【答案】B 【解析】【解答】两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是直角。 【分析】根据垂直与平行的特征及性质，即得两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是直角。 3.【答案】A 【解析】【解答】解： 因为两条平行线中可以画无数条垂线，这些线段的长度相等， 所以在两条平行线之间作了四条垂线，这四条垂线的长度相等 【分析】考察了平行线的性质和特征。因为两条平行线中可以画无数条垂线，这些线段的长度相等，而且互相平行。据此来判断。 4.【答案】B 【解析】【解答】内三角形与外三角形三条边分别平行。 【分析】根据垂直与平行的特征及性质，即得内三角形与外三角形三条边分别平行。 二、填空题 5.【答案】平行线 【解析】【解答】同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。 【分析】解答此题依据平行线的意义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行，据此解答即可。 6.【答案】3 【解析】【解答】小三角形与对应的大三角形的边都是互相平行的，图中有3组平行线. 故答案为：3 【分析】同一平面内，不相交的两条直线互相平行；由此根据平行的定义结合图中线段判断平行线的组数即可.
《平行与垂直》第1课时教案 教学目标： ．通过观察、讨论、想象等活动，使学生感知生活中的垂直与平行的现象。 2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。 3．培养学生的空间观念及空间想象能力，培养学生自主学习的能力。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点： 同一平面和相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）。 教具、学具准备：、吸铁石、白纸、量角器、水彩笔、尺子 教学过程： 一、引入新课，了解同一平面的含义。 .出示一个用纸折成的长方体纸筒 师：好！请看，这是一个长方体，老师在上面写了四个字，你能很快读出来吗?为什么？（体验不在统一平面上）
把它展开，很快就能读出来！这四个字就在同（一）个平面上， 生；一个平面上（板书：同一平面内） 2．猜谜语 师：根据这四个字意思“无始无终”猜一猜和我们学过的哪个图形相似？并说说理由。 生：直线 因为直线可以向两端无限延伸 师：看来直线的这一重要特征我们已经牢牢掌握，今天我们来研究同一平面内两条直线在的位置关系（板书：两条直线位置关系） 二、自主探究同一平面内两条直线的位置关系 、（学生想象）好闭上眼睛想象一下，脑海中出现一条直线，又出现一条直线。此时你脑海中的两条直线会成怎样的位置关系？把它画下来。 2、 （学生试画，教师巡视）再想象一下，两条直线还会有几种不同的位置关系？把它画在白纸上，一张纸画一种情况。 3、展示作品 师：小朋友们的想象力真丰富。仔细观察，还有不同的位置关系吗？可以上来补充。 3．进行分类
1、垂直与平行 课题一：垂直与平行的概念 班级四年级主备人顾祥林 日期 2015.11.2 课前自主学习引导 情景导入 课间活动时，学校的大操场上热闹极了。瞧！足球场上，双杠上都有热爱体育锻炼的小朋友，还有的小朋友在跑步、拔河、跳高...... 探究内容 教材p56-58内容及练习十1~4题 展现目标 1、理解垂直与平行的概念，初步认识平行线、垂线。 2、通过讨论交流，使独立思考能力与合作精神得到和谐发展。 3、在比较分析，综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。培养学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学习数学的兴趣。 4、培养动手操作能力及作图能力。 学习重点：通过自主探究，初步认识平行线与垂线。 学习难点：理解永不相交的含义。
一、合作探究（在已预习的基础上完成） 教材例题 1、在纸上任意画两条直线，会有几种情况。 2、如果有不相交的两条直线，你再画长一些会怎么样？ 知识点一：认识平行 1、在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：①平行；②相交。 2.、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互 上图中a 与b 互相平行，记作a b ，读作a 平行于b 。 3、你能举出在生活中一些有关平行的例子吗？ 知识点二：认识垂直 1、在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：①平行；②相交。 2、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 b a b b b b b a a a
上图中a 与b 互相垂直，记作a b ，读作a 垂直于b 。 3、你能举出在生活中一些有关垂直的例子吗？ 知识点三：垂线的画法 1、画垂线就是要保证所画的两条直线相交成直角，所以画垂线时利用三角尺的直角来画，比较方便。 2、画完两条互相垂直的直线后，在垂足处标注垂直符号。 3、用三角尺过直线上一点画垂线。（p58“做一做”） 4、用三角尺过直线外一点画垂线。（p58“做一做”） 二、过关检测 1、动手折一折平行线和垂线。练习十第3题 （抽部分学生演示并讲解）。 2、完成课本第61页，练习十第1题。 （抽部分学生演示，并作讲解） 3、完成课本上第61页“做一做”第4题。 （抽部分学生演示，并作讲解） ● ● ● ●
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?
人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思_教学设计 ◆您现在正在阅读的人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思文章内容由收集!人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第7册P64-65例一、做一做及相应练习。 教学设想 本课教材是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行的现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现在同一平面内两条直线的位置关系并得出结论？本课主要通过观察、讨论、操作、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况，初步认识垂线和平行线；并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，如对面的想象、对两条直线位置关系的想象、对看似不相交而实际相交情况的想象等等。围绕这些目标，我们在设计教案时努力体现了以下几个特点。 1．创设纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。 本课在设计导入时，并没有从生活中的现象入手，而是直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理分类。之所以这样设计，原因有两个：一是学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系会有更丰富的想象，而生活中平行、垂直的现象居多，情况较单一，不利于展开研究；二是四年级的学生在各个方面都处在一个转型阶段，它应为高年级较深层次的研究和探索打好基础、做好过渡，逐步培养学生对数学研究产生兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。 2．以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两直线间的位置关系。 从新旧教材的区别上来看，原来的教材是由点到面，把这部分知识分成垂直和平行两个内容进行教学，最后再把这部分知识汇总起来，总结出垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系。而新教材把二者合为一课，从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由面到点的研究，这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。所以，在设计教案时我们大胆地让学生以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步的问题研究意识。 3．在知识探究的过程中完成自主探究意识与空间想象能力的培养。
F D O 1 M 2 N 一、填空题 相交线与平行线 单元测试 1. a 、b 、c 是直线，且 a ∥b ，b ⊥c ，则 a 与 c 的位置关系是 ． 2. 如图 5-1，MN ⊥AB ，垂足为 M 点，MN 交 CD 于 N ，过 M 点作 MG ⊥CD ，垂足为 G ，EF 过点 N 点， 且 EF ∥AB ，交 MG 于 H 点，其中线段 GM 的长度是 到 的距离， 线段 MN 的长度是 到 的距离，又是 的距离，点 N 到直线 MG 的距离是 ． A C E 图 5-1 F D C 图 5-2 3. 如图 5-2，AD ∥BC ，EF ∥BC ，BD 平分∠ABC ，图中与∠ADO 相等的角有 个，分别是 ． 4. 因为 AB ∥CD ，EF ∥AB ，根据 ，所以 ． 5. 命题“等角的补角相等”的题设 ，结论是 ． 6. 如图 5-3，给出下列论断：①AD ∥BC ：②AB ∥CD ；③∠A =∠C ． 以上其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果……，那么……”形式，写出一个你认为正确的命题 是 ． a A B b C E C c l 图 5-3 图 5-4 图 5-5 2 1 7. 如图 5-4，直线 AB 、CD 、EF 相交于同一点 O ，而且∠B O C= ∠AOC ，∠DOF = ∠AOD ，那么∠FOC = 3 3 _ 度． 8．如图 5-5，直线 a 、b 被 c 所截，a ⊥l 于 M ，b ⊥l 于 N ，∠1=66°，则∠2= ． 9. 如图 5-6，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，则图中与∠A 互余的角有 个，它们分别是 ．∠A = ∠ ，根据是 ． 10. 如图 5-7，一棵小树生长时与地面所成的角为 80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上， 那么∠2 等于 °． 11． 如 图 5-8， 量 得 ∠ 1=80° ， ∠ 2=80° ， 由 此 可 以 判 定 ∥ ， 它 的 根 据 是 ． B M G N H
第5单元平行四边形和梯形 第1课时平行与垂直 【教学内容】：教材第56～57页例1。 【教学目标】： 理解垂直与平行这两种直线的位置关系、认识平行线和垂线的概念。【重点难点】： 重点：认识平行与垂直的特点。 难点：对平行与垂直两种位置关系的描述。 【教学过程】: 一、创设情境 1.教师将两根小棒随意丢在讲台上。 提问：想一想这两根小棒落在讲台上会形成哪些图形呢?你能把这些图形画出来吗? 2.引导学生先独立思考，并在纸上画一画，然后在小组中交流。 二、探究新知 1.教师参与到学生的交流中，了解情况。 2.选择其中一个小组画出的图形，展示出来。 3.讨论探究。 （1）你能对这些图形进行分类吗?你分类的标准是什么? 让学生根据自己的观察说一说，发表自己的意见。学生可能会按以下几种情况来分类：
①②③④ （2）把不相交的两条直线再画长一些会怎样?量一量两条相交直线所组成的角分别是多少度。 教师用课件演示把不相交的两条直线延长，让学生继续观察，引导学生认识：在同一个平面内两条直线的位置情况有相交和不相交两种情况。(板书：相交、不相交) 4.构建新知。 （1）在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 课件出示三组平行线图： a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b （2）找一找日常生活中的平行线。 让学生先在小组中议一议，相互说一说，然后分小组举例说一说生活中平行的例子。如：电线、窗子、栅栏、门两侧、轨道两边等等。（3）在同一平面内相交的两条直线所组成的角会是多少度？（90°或不是90°） 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 课件出示：
垂直于平行的特征与性质 一、知识梳理 二、教学重、难点 三、作业完成情况 四、典题探究 例1 如果两条直线相交成（）角时，这两条直线叫作互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的（）。 例2 平行线间的（）处处相等。 例3 过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画出( )条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 例4 已知直线a直线c互相平行，直线b直线c互相平行。那么，直线a直线b ( )。 A．互相平行B．互相垂直C．无法确定 五、演练方阵 A档（巩固专练） 1．填图。
2．在___________内________的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线________。 3．两条直线相交成__________时，这两条直线就___________。其中一条直线叫做另一条直线的_______，他们的交点叫做_______。 4．___________________________的四边形叫做平行四边形。 5．___________________________的四边形叫做梯形。 6．长方形相邻的两条边互相（）。相对的两条边互相（）。 7．互相垂直的两条直线可以相交成4个（）。 A、锐角 B、直角 C、钝角 D、平角 8.长方形中有（）组对边平行。 A、1 B、2 C、4 9．两条平行线之间的距离是6厘米，在这两条平行线之间作一条垂线，这条垂线的长是（）厘米。 10．下面错误的是（） A、正方形相邻的两条边互相垂直。 B、两条直线互相平行，这两条直线相等。 C、长方形是特殊的平行四边形。 D、任意一个四边形的四个内角的和都是3600 。 B档（提升精练） 1．把符合要求的图形序号填在括号里。 Ａ、正方形Ｂ、长方形Ｃ、平形四边形成Ｄ、梯形 ①两组对边形分别平行，有四个直角。（） ②只有一组对边形。（） ③两组对边形分别平行，没有直角（） 2．从直线外一点到这条直线的距离，是指这一点到这条直线的（）的长。 A、线段 B、射线 C、直线 D、垂直线段 3．从直线外一点到这条直线所画的线段中，（）线段最短。 4．在两条平行线之间有4条垂线，这4条垂线之间的关系是（）。 5．下图中（）和（）是互相平行的街道，（）和（）是互相垂直的街道。
D 1 B 1D A B C E 1A 1C 立体几何中平行与垂直的证明 姓名 例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1． 【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。 求证：E D 1⊥D A 1； 【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22 1== AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。
B C A D E F M C 1 B 11B A 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证： 1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ； 【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比． 【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.
认识平行与垂直说课稿 栾庄小学王晓莉尊敬的各位评委、各位老师： 大家好！ 我今天说课的题目是《认识平行与垂直》，本节课选自人教版小学数学四年级上册第五单元第一课时的内容。我将从说教材，说教法学法，说教学过程，说教学评价四方面来进行我的说课。 一、说教材 （一）教材分析：《认识平行与垂直》是学生在本册书中第三单元认识了线段、射线、直线和学习了角的度量的基础上教学的。本单元内容包括：平行与垂直、平行四边形和梯形，认识平行与垂直是平行与垂直的第一课时。教材通过具体的生活情境，让学生充分感知同一平面内两条直线间的特殊位置关系。在“图形和几何”领域中，正确认识平行、垂直等概念对学生后续知识的学习有很重要的作用。他是学生本单元学习平行四边形、梯形以及四年级下册学习三角形的分类、五年级上册学习平行四边形、三角形、梯形等多边形面积的基础，也为后面进一步学习长方体、正方体奠定了基础。同时，它还为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。 为此，教材在编写时十分注重直观性和可操作性。本节课，主要是帮助学生在原有的感性认识基础上，由生活实例引入，分类、观察、讨论、归纳来建立“垂直”与“平行”，这两个概念。 （二）教学重点：正确理解“同一平面”、“相交、”“互相平行”、“互 相垂直”等概念。
教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。 （三）我制定的本课教学目标如下： 知识目标：结合生活情景，通过自主探究活动，理解平行于垂直这两种特殊的直线间位置关系，初步认识平行线和垂线。 能力目标：通过观察、操作、讨论、归纳等活动，积累操作和思考的活动经验，发展学生的空间观念，初步胜渗透分类的数学 思想。 情感目标：在数学活动中，让学生感受到数学知识在生活中的真实存在，加强学生对数学的兴趣。 （四）学情分析：“垂直”和“平行”的现象在生活中经常看到，但是从实物抽象到同一平面，并理解其中的含义，对于空间观念尚不完善的四年级的学生来说，是比较困难的。他们不能正确理解“同一平面”的本质；再加上以前学习的直线、射线、线段等研究的都是单一对象的特征，而垂线与平行线研究的是同一个平面内两条直线位置的相互关系，这种相互关系，学生还没有建立表象。在教学过程中，需要帮助学生建立表象，培养空间的想象能力。 二、说教法、说学法 根据课程标准、学习目标及学情状况，在本节课的教法选择上，我注重体现以下几点：情境教学法：我从学生的兴趣爱好出发，为学生创设了孙悟空金箍棒这一环节，激发了学生学习的兴趣。自主探究法：我通过让学生在纸上画线并进行分类一活动使学生发现同一平面内两条直线的位置关系。重点点拨法：在学习平行和垂直这一环节中，