2019～2020学年度江苏省扬州大学附属中学高一第一学期期中数学试题一、单选题1.已知集合{}{}0,1,2,3,02A B x x ==≤≤,则A B =I ( ) A.[]0,2 B.{}0,2C.{}0,1D.{}0,1,2【试题答案】D【试题解答】由交集的定义,结合集合A,B,即可写出A B I .因为{}02B x x =≤≤,所以B 中整数有0,1,2,又{}0,1,2,3A =, 所以{}0,1,2A B =I , 故选:D.本题考查集合的运算,掌握集合交集的定义是解题的关键,属于简单题.2.函数()f x =的定义域为( ) A.(),2-∞ B.(],2-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞【试题答案】D【试题解答】开偶次方根,被开方数要非负,求函数()f x 的定义域,只需要解不等式20x -≥即可.要使函数()f x 有意义,只需20x -≥,2x ≥, 故选:D.本题考查求已知函数的定义域,难度较易.常见函数求定义域需要注意:分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零、对数的真数大于零、0y x =中{}|0x x ≠. 3.终边在直线y x =上的角α的取值集合是( ) A.2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B.2,4k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭C.,4k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭D.,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【试题答案】D【试题解答】在π-到π内终边在直线y x =上的角是,44ππ-,由终边相同的角的表示方法可得出终边在直线y x =上的角的集合,可得解.当的终边在直线y x =(0x >)时, 24k παπ=+,k Z ∈,当的终边在直线y x =(0x <)时,24k παππ=++,k Z ∈,所以角α的取值集合是2,2,44k k Z k k Z ππααπααππ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭, 故选:D.本题考查终边相同的角的表示方法,掌握终边相同的角的表示是解题的关键,属于基础题.4.已知一个扇形的圆心角为3弧度,半径为4,则这个扇形的面积等于( ). A.48B.24C.12D.6【试题答案】B【试题解答】因为扇形的弧长l ＝3×4＝12,则面积S ＝12×12×4＝24,选B. 5.已知函数2log ,1,()(2),01,x x f x f x x ⎧=⎨<<⎩…则f ⎝⎭的值是( ) A.0B.1C.12D.－12【试题答案】C【试题解答】先确定函数自变量的取值范围再代入分段函数解析式求解.∵2log ,1(),01(2),012x x f x f x x ⎧⎪=<<⎨<<⎪⎩….∴21log 22f f ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭, 故选:C.本题主要考查分段函数求值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 6.设()f x 为偶函数,且当0x ≥时,()101xf x =-,则当0x <时,()f x =( )A.101x --B.101x -+C.101x ---D.101x --+【试题答案】A【试题解答】由()f x 为偶函数,则()()f x f x -=,结合已知,即可求出0x <时函数的解析式.因为()f x 为偶函数,所以()()f x f x -=,因为0x ≥时,()101xf x =-,所以0x <时,()()101x f x f x -=-=-,故选:A.本题主要考查函数解析式的求法,属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)根据实际应用求函数解析式；(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围；(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；(4)消元法求函数解析式;(5)由函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 7.给定函数:①12y x =；②12log (1)y x =+；③|1|y x =-；④12x y +=,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④【试题答案】B【试题解答】①12y x =,(0)x …为幂函数,且x 的指数102α=>,在[0,)+∞上为增函数；②12log (1)y x =+,(1)x >-,为对数型函数,且底数1(0,1)2a =∈,在(1,)-+∞上为减函数；③|1|y x =-,在(,1)-∞上为减函数,④12x y +=为指数型函数,底数21a =>在(,)-∞+∞上为增函数,可得解.①12y x =,(0)x …为幂函数,且x 的指数102α=>,在[0,)+∞上为增函数,故①不可选； ②12log (1)y x =+,(1)x >-,为对数型函数,且底数1(0,1)2a =∈,在(1,)-+∞上为减函数,故②可选；③|1|y x =-,在(,1)-∞上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,故③可选； ④12x y +=为指数型函数,底数21a =>在(,)-∞+∞上为增函数,故④不可选； 综上所述,可选的序号为②③, 故选B.本题考查基本初等函数的单调性,熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键,属于基础题. 8.函数26()log f x x x=-的零点所在区间是( ) A.()0,1 B.()1,2C.()3,4D.()4,+∞【试题答案】C【试题解答】根据连续函数()26f x log x x=-,可得f(3),f(4)的函数值的符号,由此得到函数()26f x log x x=-的零点所在的区间.∵连续减函数()26f x log x x =-, ∴f(3)=2﹣log 23＞0,f(4)=64﹣log 24＜0,∴函数()26f x log x x=-的零点所在的区间是 (3,4),故选:C.本题主要考查函数的零点的定义,判断函数的零点所在的区间的方法,属于基础题. 9.已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示,则不等式()0xf x <的解集为( )A.()1,2B.()2,1--C.()()2,11,2--⋃D.()1,1-【试题答案】C【试题解答】通过()0xf x <,得出x 和()f x 异号,观察图像可得结果.()0xf x <Q , x \和()f x 异号,由()f x 为奇函数如图可得:当(2,1)(0,1)(2,)x ∈--⋃⋃+∞,()0f x >, 当(,2)(1,0)(1,2)x ∈-∞-⋃-⋃,()0f x <,所以不等式()0xf x <的解集为:()()211,2--⋃，. 故选:C.由函数的奇偶性得出整个图象,分类讨论的思想得出函数值的正负,数形结合得出自变量的范围.10.若方程()()21210x k x k +--+=有两个不相等的实数根,且仅有一个根在区间(2,3)内,则实数k 的取值范围是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,3) D.(1,2)【试题答案】D【试题解答】根据二次函数图像列不等式,通过解一元二次不等式可解得结果.因为方程()f x =()()21210x k x k +--+=有两个不相等的实数根,且仅有一个根在区间(2,3)内,所以①当(2)(3)0<f f 时,(44)(105)0k k --<,(1)(2)0k k --<,12k <<； ②令(2)0f =,1k =,方程240x -=另一解为2x =-,不适合； ③令(3)0f =,2k =,方程260x x --=另一解为3x =-,不适合.综上k 的取值范围是(1,2), 故选:D.本题考查根据二次函数零点分布求参数,考查基本分析求解能力,属中档题. 11.已知函数()ln f x x =,若()()()0f m f n m n =>>,则1111m n +=++( ) A.12B.1C.2D.4【试题答案】B【试题解答】通过讨论x 和1的关系,即可去绝对值,再结合等式即可得到1mn =,代入即可求值.因为()ln f x x =,若()()()0f m f n m n =>>,所以ln ln n m -=,10m n >>>,即1n m=,所以1111111111m n m m+=+=++++, 故选:B.本小题主要考查对数函数的图像,考查函数的图像和单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.12.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为221y x =-,值域为{}1,7的“孪生函数”共有( )A.10个B.9个C.8个D.4个【试题答案】B【试题解答】由值域可求得所有x 可能的取值；则定义域中元素分别为2个,3个和4个,列举出所有可能的结果即可求得个数.由2211x -=得:1x =±；由2217x -=得:2x =±∴所求“孪生函数”的定义域分别为:{}1,2,{}1,2-,{}1,2-,{}1,2--,{}1,1,2-,{}1,1,2--,{}1,2,2-,{}1,2,2--,{}1,1,2,2--∴共有9个“孪生函数”故选:B本题考查新定义的问题,涉及到函数定义域的求解；易错点是将值域误认为是无限集,造成求解错误.二、填空题 13.1lglg 707+的值为______. 【试题答案】1【试题解答】直接利用对数指数运算法则得到答案.11lg lg 70lg(70)lg10177+=⋅==, 故答案为:1.本题考查了指数对数的计算,意在考查学生的计算能力. 14.幂函数()f x 的图象过点(4,2),则()2f =______.【试题解答】首先设出幂函数的解析式,代入点(4,2),进而求出解析式,即可求得结果.设()f x x α=,因为()f x 的图象过点(4,2),所以42α=,222α=,12α=12()f x x =,所以(2)f =故答案为.本题考查函数的求值,形如y x α=的函数是幂函数,注意幂函数的系数为1,考查了运算求解能力.15.当0a >且1a ≠时,函数1()1x f x a +=-的图象一定过点______.【试题答案】()1,0-【试题解答】根据指数函数的性质可知(1)0f -=,从而求得结果.因为110(1)110f a a -+-=-=-=,所以函数()f x 的图象一定过点()1,0-. 故答案为:()1,0-.本题考查指数函数的概念和性质,注意到01(0)a a =≠是解本题的关键,属基础题. 16.若函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是__________.【试题答案】2⎫⎪⎪⎣⎭【试题解答】根据题意,由函数的单调性的性质可得1001log 22(1)2aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤--⎩,解可得a 的取值范围,即可得答案.由题意得,因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减,则1001log 22(1)2aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤--⎩.1a ≤< ∴实数a的取值范围是2⎫⎪⎪⎣⎭.故答案为2⎫⎪⎪⎣⎭.本题主要考查分段函数的解析式及单调性,属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点,也是高考命题热点,要正确解答这种题型,必须熟悉各段函数本身的性质,在此基础上,不但要求各段函数的单调性一致,最主要的也是最容易遗忘的是,要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.三、解答题17.已知集合{}{}{}37,210,5A x x B x x C x a x a =≤≤=≤≤=-≤≤. (1)求A R ð；(2)若()C A B ⊆⋃,求实数a 的取值范围.【试题答案】(1){3R C A x x =<,或}7x >;(2)(,3]-∞.【试题解答】(1)由补集的定义和集合A ,即可求出和R C A ；(2)由()C A B ⊆⋃,可知集合C 是A B U 的子集,分两种情况:C =∅和C ≠∅,分别讨论即可.(1)因为{}37A x x =≤≤,所以{3R C A x x =<,或}7x > ；(2)因为{}37A x x =≤≤,{}=210B x x ≤≤,所以{}210A B x x ⋃=≤≤,因为()C A B ⊆⋃,所以C φ≠时,55210a a a a -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩,得532a ≤≤；C φ=时5a a ->,52a <, 综上a 的取值范围是(,3]-∞. 故答案为:(,3]-∞.本题考查了集合的并集和补集,考查了集合间的包含关系,考查了不等式的解法,属于基础题.18.已知函数()31log 1xf x x+=-. (1)判断函数()y f x =的奇偶性并证明； (2)解方程()210xf -=.【试题答案】(1)()f x 为奇函数;(2)0x =【试题解答】(1)根据题意,求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组,求解即可得函数的定义域关于原点对称,由函数的解析式和奇偶性的定义即可确定函数的奇偶性;(2) 根据题意结合对数函数的单调性,解方程进行求解,即可得出方程的解.(1)()f x 为奇函数.使函数()f x 有意义,只需101x x +>-,101x x +<-,11x -<<, 由()31log 1x f x x+=-,得13311()log log ()()11x x f x f x x x --+-===-+-,所以()f x 为奇函数.(2)(21)0xf -=,32log 022x x =-,2122xx=-,21x =,0x =,检验知适合1211x -<-<,所以原方程的解为0x =.本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识,掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性,考查了运算能力,属于中档题.19.已知二次函数()f x 的最大值为-2,且()()023f f ==-. (1)求()f x 的解析式；(2)若()f x 在区间[],1a a +上的最大值为-6,求实数a 的值.【试题答案】(1)2()23f x x x =-+-;(2)2a =-或3a =【试题解答】(1)由等式可得出函数的对称轴,设出二次函数的解析式,由最大值为-2,即可求得解析式；(2)由(1)的结论,讨论对称轴和a,a+1的关系,结合最大值为-6,即可求得实数a 的值.(1)由()()023f f ==-,可知函数的对称轴为1x =,设2()(1)2f x m x =--,0m <,因为(0)3f =-,所以23m -=-,1m =-,所以22()(1)223f x x x x =---=-+-；(2)因为()f x 在区间[],1a a +上的最大值为-6,最大值没有在顶点处取到,所以①1a ≥时,()f x 在区间[],1a a +上递减,2max ()()23f x f a a a ==-+-,所以2236a a -+-=-,3a =,1a =-(舍),得3a =；②11a +≤时即0a ≤时,()f x 在区间[],1a a +上递增,2max ()(1)2f x f a a =+=--,所以226a --=-,2a =-,2a =(舍),得2a =-；01a <<时max ()(1)2f x f ==-,不适合条件.综上2a =-或3a =.本题考查二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的最值,考查了分类讨论思想和运算求解能力,属于中档题.20.某市今年出现百年不遇的旱情,市自来水厂观察某蓄水池供水情况以制定未来12小时的供水措施.现发现某蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为假设蓄水池容量足够大,现在开始向水池注水并向居民小区供水.(1)请将蓄水池中存水量S 表示为时间t 的函数；(2)根据蓄水池使用要求,当蓄水池水量低于60吨时,蓄水池必须停止供水.请你判断该居民小区是否会停水,阐述你的理由.【试题答案】(1)45080S t =+-其中[0,12]t ∈.(2) 小区在t ∈要停水 【试题解答】(1)设t 小时候水池中存水量为S 吨,利用题设条件能将S 表示为时间t 的函数；(2)令60S <,解不等式4508060t +-<,即可求出结果.(1)由开始时蓄水池中有水450吨,又水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为所以经过t 小时蓄水池中存水量45080S t =+-其中[0,12]t ∈.(2)由(1)令60S <,4508060t +-<,8390t -<,<<,又012t ≤≤,t <<所以小区在t ∈要停水. 本题考查函数的应用,考查了建模能力和一元二次不等式的解法,属于中档题.21.已知函数()22x xf x -=+. (1)试判断并证明函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性；(2)若()()20f x t f x +⋅≥对任意[]1,2x ∈-恒成立,求实数t 的取值范围.【试题答案】(1) 函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数(2) [1,)-+∞【试题解答】(1)根据函数单调性的定义,利用作差法,即可证得函数的单调性；(2)利用换元法,将函数()g x 转化为二次函数,利用二次函数的性质,即可求得t 的取值范围.(1)函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.设1x ,2x ∈[0,)+∞,120x x ≤<,由()22x x f x -=+, 得12121211()()2(2)22x x x x f x f x -=+-+121212(22)(221)22x x x x x x --=, 因为120x x ≤<,所以12122x x ≤<,得12())0(f x f x -<,12()()f x f x <,所以函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.(2)由(1)知()f x 在区间[0,2]上是增函数,(0)()(2)f f x f ≤≤,172()4f x ≤≤, 又()22()x x f x f x --=+=,所以()f x 为偶函数,所以在[1,2]-的值域为17[2,]4. 因为()()20f x t f x +⋅≥对任意[]1,2x ∈-恒成立,2222(22)0x x x x t --+++≥,2(22)2(22)0x x x x t --+-++≥,令22x x s -=+,所以不等式220s ts -+≥在17[2,]4s ∈恒成立,max 2()t s s ≥-, 由2()g s s s =-在17[2,]4s ∈递减,所以max ()(2)1g s g ==-,所以1t ≥-,故t 的取值范围为[1,)-+∞.本题考查了函数单调性的判断与证明,注意一般单调性的证明选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.同时考查了二次函数的最值,解题的关键是确定函数的单调性,从而确定参数的范围,属于中档题.22.已知函数()y f x =,若对于给定的正整数k ,()f x 在其定义域内存在实数0x ,使得()()()00f x k f x f k +=+,则称此函数()f x 为“保k 值函数”.(1)若函数()2xf x =为“保1值函数”,求0x ； (2)①试判断函数()1f x x x =+是否是“保k 值函数”,若是,请求出k ；若不是,请说明理由；②试判断函数()ln1x a f x e =+是否是“保2值函数”,若是,求实数a 的取值范围；若不是,请说明理由.【试题答案】(1)01x =(2)①函数()1f x x x=+不是“保k 值函数” ②当2221(,1)e a e e+∈+时函数()ln 1x a f x e =+是“保2值函数”； 当2221(0,][ 1.)e a e e+∈++∞U 时函数()ln 1x a f x e =+不是“保2值函数”. 【试题解答】(1函数()2xf x =为“保1值函数”,列方程即可求解；(2)①由“保k 值函数”的定义,转化为二次函数是否有解问题,即可进行判断；②由题意可得()022111x e a e a e -+=--,再由00x e >,解不等式即可进行判断.(1)因为函数()2x f x =为“保1值函数”,所以存在0x 使00(1)()(1)f x f x f +=+,001222x x +=+,022x =,01x =.(2) ①若函数()1f x x x=+是“保k 值函数”,则存在实数00x ≠,使得()()()00f x k f x f k +=+,0000111x k x k x k x k ++=++++,22000x kx k ++=,0k ≠时23k ∆=-0<,方程无解；0k =时00x =,与00x ≠不符.综上,函数()1f x x x=+不是“保k 值函数”. ②若函数()ln 1x a f x e =+是否是“保2值函数”,则()f x 在其定义域内存在实数0x ,使得()()()0022f x f x f +=+,即0022lnln ln 111x x a a a e e e +=++++,即0022111x x aa a e e e +=⋅+++,可得()()0022111x x e e a e +++=+,化简可得()022111x e a e a e -+=--,由00x e >,解得22211e a e e +<<+, 故当22211e a e e+<<+时,函数是“保2值函数”,又0a >,所以当2221(0,][ 1.)e a e e+∈++∞U 时函数()ln 1x a f x e =+不是“保2值函数”.本题考查了函数的新定义等综合知识,考查了二次函数有解问题,考查指数非负,求解一元二次不等式问题,考查了分类讨论思想的运用,属于中档题.。
