江苏省扬州中学年高一上月考数学试卷

江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 227．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC 所成角的余弦值为5510．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，()21212n n a a +=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．25a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2. (1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；①若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i 5-=，所以22z z-52．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；①若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离222d ==即为最近距离，则2m ≤，即max 2m =.7．C 【详解】如图所示，连接,,AB AC BC ，作ABC 所在外接圆圆心1O ，连接1,AO AO ，设PA x =，由PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x ===，因为1O 为ABC 几何中心，所以132332333AO AB AB x =⋅⋅==，易知对1PAO △和POA ，1,90P P PO A PAO ∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA △≌△，所以1PA PO AO AO =，即133xPOx =，解得3PO =.故选：C8．C 【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+ ，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+ ，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+， 令2x = 可得(2)(2)g g =- ，即(2)0=g ， 因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ， 所以(4)(2)g x g x --+=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+= ，所以4是函数()g x 的一个周期， 所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==, 9．ACD10．ABD 【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++， 因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确；对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD 【详解】由)21212n n a a +=+-，得()21221n n a a ++=+1221n n a a +++，又12a =122a +所以{}2n a +是以2为首项，1为公差的等差数列，22(1)11n a n n ++-⨯=+，即221n a n n =+-， 所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则cos 10y x =-≤，即函数sin y x x =-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π415.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==， ()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121n n n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得，sin 23sin sin 3cC C bB ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以32333c b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；①在第二关使用；①在第三关使用；①没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关）， 3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD =+=，所以3AF CF ==，又16AC =，则2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为1113233,13222C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=，且11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022D C B E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以133,2,3133BP BD BD DP DC ⎛⎫=++=- ⎪ ⎪=⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332033y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅，则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =， 所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即()()()002200111y m m x y m x -++=-++．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mnx x +=-=+-=+--．2004y x =，∴()20000220004116412(1)1(1)x x x x MN x x x ++-=+---点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+，所以PMN 面积为()())()()()22200000022004114111212211xx x x x S MN d xx x +-++-=⋅=⨯+=-- 令()010x t t -=>，则()()22222444640161032tt t tS t t t t t++++==++++ 因为2222161628t t t t +≥⋅，4040101040t t t t+≥⋅=， 当且仅当2t =取等，所以840325S ≥++= 故PMN 面积的最小值为4522.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增， ()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；①由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2ln 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数， 333222471033e e e k ⎛⎫== ，44302e e k = ，①存在唯一的0432e ex ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h x h x x +== ，()max 432e e h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ， 由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。

江苏省扬州中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，则∁U A =（ ） A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1--C ．{0,1,2}D ．{}1,2【答案】B【解析】根据补集的定义直接写出∁U A ． 【详解】集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，所以∁U A ={-2，-1}． 故选：B ． 【点睛】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题． 2．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．4【答案】C【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可． 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ==．故选C ．点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可． 3．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24C ．12D ．6【答案】B【解析】因为扇形的弧长l ＝3×4＝12，则面积S ＝12×12×4＝24，选B. 4．AB AC BC BA +-+化简后等于 A ．3ABB ．ABC ．BAD ．CA【答案】B【解析】利用向量的三角形法则即可得出． 【详解】AB AC BC BA AB BA AC CB 0AB +-+=+++=+，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A ．()31f x x =- B ．()31f x x =+ C ．()32f x x =+ D ．()34f x x =+【答案】A【解析】由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-. 6．化简5log 22lg5lg 45+-的结果为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】A【解析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】5log 22lg5lg45+-=5log 2 lg25lg45lg1002+-=-=2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.7A ．sin2+cos2B ．sin2-cos2C ．cos2-sin2D ．± (cos2-sin2)【答案】A【解析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简。

江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学 2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B ⋃=（ ）A. ()5,0- B. ()6,2- C.()6,0- D. ()5,2-2. (2＋3i)(2－3i)＝A.5B. －1C. 1D.73. 已知向量()()1,2,3,1a b == ，则a 在a b +上的投影向量为（）A.B. C.24,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 已知函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn ln sgn 11x x ⨯+=”是“1x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（）A. 10- B. 11- C. 13- D. 15-6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知24,AB BC PAD ==△和QBC △均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为150︒，则该刍薨的体积为（ ）A.B.C.D. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（ ）A. 1B. 2C. D. 48. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在最值，且在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，满足()f x ≥恒成立，则ω的取值范围是（ ）A. 1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B. 120,,133⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.1150,,636⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D. 110,,163⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且M ，N 相互独立，则()()1P N M P N +=C. 由两个分类变量X ，Y 的成对样本数据计算得到28.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断X ，Y 独立D. 若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10. 已知圆O ：224x y +=，过直线l ：60x y +-=上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ）A. 若点P 的坐标为(1,5)，则PA = B. PAO面积的最小值为C. 直线AB 过定点22,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 4AB ⎫∈⎪⎪⎭11. 已知()()2log ,2xf x x xg x x =+=+，若()()2f a g b ==，则（ ）A. 2b a = B. 2a b += C. 1a b ->D.324ab <<-12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A. 存在点P 满足平面//PBD 平面11B D CB. 当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D -的外接球体积为C. 若()101DP DA λλ=≤≤ ，则PQ PB -最小值为32D. 若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知1sin cos 5αα+=-，()0,πα∈，则tan α=__________.14.数列{}n a 满足11a =，且()22*113202,n n n n a a a a n n ---+=≥∈N ，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()f x =__________.①()()2f x f x x ⋅-=-；②函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增.16．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________.的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，②首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na na⋅前n 项和n T 的表达式.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,,22AB CD AB BC AB BC CD PD PC ⊥====∥，设,,E F M 分列为棱,,AB PC CD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAM ；（2）若PA PM =，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 如图，在ABC 中，BAC ∠，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC 面积的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，斜率为2的直线l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，ABD △面积为169．（1）求C 的方程；（2）当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN 周长的最小值．21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。

2015-2016学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a= ．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=．3．函数f（x）=的定义域为．4．已知f（x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b= ．5．函数的值域为．6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）= ．7．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称．则a= ．8．函数f（x）=的单调增区间为．9．函数f（x）=的最大值为．10．不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是．11．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为．14．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知集合A={|a+1|，3，5}，B={2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B．16．已知A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．19．设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a= 4 ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知中集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，可得：a∈A，再由集合元素的互异性，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，∴a∈A，即a=1，或a=4，由集合元素的互异性可得：a=1不满足条件，故a=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故答案为：{x|﹣1＜x＜1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．函数f（x）=的定义域为（﹣∞，）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义只要满足8﹣12x＞0即可．【解答】解：要使函数有意义，须满足8﹣12x＞0，解得x＜，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．4．已知f（x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b= 0 ．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义，f（x）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），代入解析式得到结果．【解答】解：由已知函数f（x）是偶函数，所以有f（﹣x）=f（x），即：（﹣x）2+b（﹣x）+1=x2+bx+1，即：2bx=0，因为x∈R时，此等式恒成立，所以，b=0故答案为：0．【点评】本题考查函数奇偶性，以及代数恒等式成立的问题．本题在得到2bx=0时，是对于x∈R 等式都成立．基本知识的考查．5．函数的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】令t=，则t≥0，则y=t﹣t2，结合二次函数的性质即可求解【解答】解：令t=，则t≥0y=t﹣t2=∴函数的值域为（﹣]故答案为：（﹣]【点评】本题主要考查了换元法求解函数的值域，其中二次函数性质的应用是求解的关键6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）= ﹣2 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】解法一：x+1=2，可得x=1，代入f（x+1）=2x2﹣4x，可得答案；解法二：利用配凑法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；解法三：利用换元法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；【解答】解法一：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x，令x+1=2，则x=1，f（2）=2×1﹣4×1=﹣2．解法二：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x=2x2+4x+2﹣8（x+1）+6=2（x+1）2﹣8（x+1）+6，∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2）=2×22﹣4×2+6=﹣2．解法三：∵函数f（x）满足：f（x+1）=x2﹣2x仅t=x+1，则x=t﹣1则f（t）=2（t﹣1）2﹣4（t﹣1）=2t2﹣8t+6∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2）=2×22﹣4×2+6=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数的值，函数的解析式，熟练掌握求函数解析式的各种方法是解答的关键．7．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称．则a= 3 ．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】计算题．【分析】由含绝对值符号函数对称性我们易得函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又由函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称，我们易得a的值．【解答】解：∵y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又∵y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称，故a=3；故答案：3．【点评】本题考查的知识点是含绝对值符号函数的对称性，熟练掌握是绝对值符号函数的对称性是解答本题的关键．8．函数f（x）=的单调增区间为[0，2] ．【考点】复合函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的单调性之间的关系求函数的单调区间．【解答】解：设t=g（x）=﹣x2+4x，则y=在定义域上单调递增，由t=g（x）=﹣x2+4x≥0，解得x2﹣4x≤0，即0≤x≤4，又函数由t=g（x）=﹣x2+4x的对称轴为x=2，抛物线开口向下，∴函数t=g（x）=﹣x2+4x的单调增区间为[0，2]，单调减区间为[2，4]．∴函数f（x）=的单调增区间为[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用，注意要先求函数的定义域．9．函数f（x）=的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】把解析式的分母进行配方，得出分母的范围，从而得到整个式子的范围，最大值得出．【解答】解：f（x）===，∵≥∴0＜≤，∴f（x）的最大值为，故答案为．【点评】此题为求复合函数的最值，利用配方法，反比例函数或取倒数，用函数图象一目了然．10．不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪（2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0可转化为或，根据“大于看两边，小于看中间”的原则，去掉绝对值符号，将问题转化为一个整式不等式组后，即可求了答案．【解答】解：∵（|x|﹣1）（x﹣2）＞0∴或即或解得﹣1＜x＜1，或x＞2∴不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪（2，+∞）故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中根据“大于看两边，小于看中间”的原则，去掉绝对值符号，将原不等式转化为一个整式不等式，是解答本题的关键．11．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a|a ＞} ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．【点评】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1] ．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x），化简不等式得．再分x＞0和x＜0时两种情况加以讨论，利用函数的单调性和f（1）=0，分别解关于x的不等式得到x的取值范围．最后综合可得原不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），∴f（x）﹣f（﹣x）=f（x）+f（x）=2f（x），因此，不等式等价于，化简得或，①当x＞0时，由于在（0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）=0，∴由不等式f（x）≤0=f（1），得0＜x≤1；②当x＜0时，﹣x＞0，不等式f（x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x）≤0=f（1），解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．综上所述，原不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．故答案为：[﹣1，0）∪（0，1]【点评】本题给出函数的单调性和奇偶性，求解关于x的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣∞，）．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出 F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x，x2=x，则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f（x）﹣1=1，∴化简得：[f（x）﹣1]+[f（﹣x）﹣1]=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1）+F（﹣x2）=[f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1]=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2]=[f（x1﹣x2）﹣1]=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m﹣2）＜3化为f（3m﹣2）＜f（2），可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．14．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知集合A={|a+1|，3，5}，B={2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意推出|a+1|=2，求出a的值，验证A∩B={2，3}，求出A，B，然后求出A∪B．【解答】解：由A∩B={2，3}可得，2∈A，∴|a+1|=2，a=1或a=﹣3…当a=1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去当a=﹣3时，此时B={﹣5，3，2}，A={2，3，5}，A∩B={3，2}符合题意，所以a=﹣3，A∪B={﹣5，2，3，5}．…【点评】本题是中档题，考查集合的基本运算，集合中参数的取值问题的处理方法，考查计算能力．16．已知A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【专题】计算题；数形结合．【分析】（1）要求A∪B，就是求属于A或属于B的元素即可；要求（C R A）∩B，首先要求集合A的补集，然后再求与集合B的交集，因为A={x|3≤x＜7}，所以C R A={x|x＜3或x≥7}，找出C R A与集合B的公共解集即可；（2）由条件A∩C≠φ，在数轴上表示出集合C的解集，因为A∩C≠φ，所以a＞3即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；∵A={x|3≤x＜7}，∴C R A={x|x＜3或x≥7}∴（C R A）∩B={x|x＜3或x≥7}∩{x|2≤x＜10}={x|2＜x＜3或7≤x＜10}（2）如图，∴当a＞3时，A∩C≠φ【点评】此题考查集合交、并、补的基本概念及混合运算的能力，数形结合的数学思想．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．于是x＜0时f（x）=x2+2x．所以f（x）=．（Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图：则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分）结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）结合二次函数的图象和性质，分析对称轴和区间[3，+∞）的关系，可得m的取值范围；（2）用对称轴和区间[﹣1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=（x﹣）2﹣+m﹣1，对称轴为x=．若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，则≤3，解得：m≤6；（2）①若＜﹣1，即m＜﹣2，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g （m）=f（﹣1）=2m．②若﹣1≤≤1，即﹣2≤m≤2，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=﹣+m﹣1．③若＞1，即m＞2，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．19．设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当a=﹣1时，函数表达式为f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，它的值域为（﹣∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3∴﹣3≤ax2+x+1≤3∴≤a≤，即﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，∴（﹣﹣）max≤a≤（﹣）min，令t=，则t∈[，1]设g（t）=﹣4t2﹣t=﹣4（t+）2+，则当t=时，g（t）的最大值为﹣再设h（t）=2t2﹣t=2（t﹣）2﹣，则当t=时，h（t）的最小值为﹣∴（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．【点评】本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．。

2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）试题数：20.满分：01.（填空题.5分）已知全集U={1.2.4.6.8}.集合A={2.6}.B={1.2.4}.则∁U （A∪B ）=___ ．2.（填空题.5分）已知集合A⊆C .其中C={x|1＜x ＜10.且x 是素数}.若A 含有两个元素.则这样的集合A 共有___ 个．3.（填空题.5分）函数 f (x )=11−x 2+√3−x 的定义域为___ ．4.（填空题.5分）函数f （x ）=3x 2+2（a-1）x-3在（-∞.1]上递减.则a 的取值范围是___ ．5.（填空题.5分）设函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1).则f[f （2）]=___ ． 6.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2，x ＞12−x ，x ≤1 .那么f （f （-3））=___ 7.（填空题.5分）下列各组函数中.表示同一个函数的有___① y =x 2−1x−1 与y=x+1； ② y=x 与y=|x|；③ y=|x|与 y =√x 2 ； ④ y =√x 2−1 与y=x-1．8.（填空题.5分）已知函数g （x ）对任意的x∈R .有g （-x ）+g （x ）=x 2．设函数f （x ）=g （x ）- x 22 .且f （x ）在区间[0.+∞）上单调递增．若f （a ）+f （a-2）≤0.则实数a 的取值范围为___ ．9.（填空题.5分）已知一次函数f （x ）满足f （f （x ））=3x+2.则函数f （x ）的解析式为___ ．10.（填空题.5分）函数y=|x-2|+3的最小值是___ ．11.（填空题.5分）已知函数 f (x )={(12)x +34，x ≥2log 2x ，0＜x ＜2 若函数g （x ）=f （x ）-k 有两个不同的零点.则实数k 的取值范围是___ ．12.（填空题.5分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数.且当x≥0时.f （x ）单调递减.若x 1+x 2＞0.则f （x 1）+f （x 2）___ 0．（填“＞”“＜”或“=”）13.（填空题.5分）已知函数 f (x )={√x +1(x ⩾2)f (x +3)(x ＜2).则f （1）+f （9）等于___ ． 14.（填空题.5分）若关于x 的不等式x 2-4x≥m 对任意x∈[0.1]恒成立.则实数m 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.B={x|m+1≤x≤2m-1}.若A∪B=A.求实数m的取值范围．16.（问答题.0分）若函数f（x）= √(a−2)x2+2(a−2)x+4的定义域为R.求实数a的取值范围．17.（问答题.0分）已知集合A={x|6＞1} .B={x|x2-2x-a2-2a＜0}．x−1（1）当a=4时.求A∩B；（2）若A∪B=B.求实数a的取值范围．18.（问答题.0分）2016年9月.第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行.在会展期间某展销商销售一种商品.根据市场调查.每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示.又知供货价格与销量呈反比.比例系数为20．（注：每件产品利润=售价-供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大.并求出最大利润．.x∈R．19.（问答题.0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1（1）证明：当a＞1时.函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值.讨论函数y=f（x）的奇偶性.并说明理由；（3）当a=2.且b＜c时.证明：对任意d∈[f（c）.f（b）].存在唯一的x0∈R.使得f（x0）=d.且x0∈[b.c]．20.（问答题.0分）已知函数f(x)=(12)x．（1）若存在x∈（0.+∞）.使af（x）-f（2x）＞1成立.求实数a的取值范围；（2）若a＞0.且当x∈[0.15]时.不等式f（x+1）⩾f[（2x+a）2]恒成立.求实数a的取值范围．2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（填空题.5分）已知全集U={1.2.4.6.8}.集合A={2.6}.B={1.2.4}.则∁U（A∪B）=___ ．【正确答案】：[1]{8}【解析】：由A与B.求出两集合的并集.根据全集U.求出并集的补集即可．【解答】：解：∵A={2.6}.B={1.2.4}.∴A∪B={1.2.4.6}.∵全集U={1.2.4.6.8}.∴∁U（A∪B）={8}.故答案为：{8}【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.（填空题.5分）已知集合A⊆C.其中C={x|1＜x＜10.且x是素数}.若A含有两个元素.则这样的集合A共有___ 个．【正确答案】：[1]6【解析】：首先求出C.再判断A集合的个数．【解答】：解：C={2.3.5.7}．A⊆C.因为A含有两个元素.所以A={2.3}.{2.5}.{2.7}.{3.5}.{3.7}.{5.7}.共6个．故答案为6．【点评】：本题考查集合的子集和个数.属于基础题．3.（填空题.5分）函数f(x)=1+√3−x的定义域为___ ．1−x2【正确答案】：[1]{x|x≤3且x≠±1}【解析】：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】：解：要使函数有意义.则 {1−x 2≠03−x ≥0. 即 {x ≠±1x ≤3. 即函数的定义域为{x|x≤3且x≠±1}.故答案为：{x|x≤3且x≠±1}【点评】：本题主要考查函数的定义域的求解.要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.（填空题.5分）函数f （x ）=3x 2+2（a-1）x-3在（-∞.1]上递减.则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-2]【解析】：根据二次函数的性质.得出 −a−13≥1.即可求解．【解答】：解：∵函数f （x ）=3x 2+2（a-1）x-3在（-∞.1]上递减.∴ −a−13 ≥1. 即a≤-2故答案为：（-∞.-2]【点评】：本题考查了二次函数的性质.解不等式.属于基础题.难度较小．5.（填空题.5分）设函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1).则f[f （2）]=___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由已知中函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1) .将x=2代入可得答案．【解答】：解：∵函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1). 当x=2时.f （2）=0.∴f[f （2）]=f （0）=0.故答案为：0．【点评】：本题考查的知识点是函数求值.分段函数的应用.难度不大.属于基础题．6.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2，x ＞12−x ，x ≤1 .那么f （f （-3））=___【正确答案】：[1]25【解析】：根据题意.由函数的解析式求出f（-3）的值.即可得f（f（-3））=f（5）.计算可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）= {x2，x＞12−x，x≤1.则f（-3）=2-（-3）=5.则f（f（-3））=f（5）=（-5）2=25；故答案为：25【点评】：本题考查函数值的计算.涉及分段函数的解析式.属于基础题．7.（填空题.5分）下列各组函数中.表示同一个函数的有___① y=x2−1x−1与y=x+1；② y=x与y=|x|；③ y=|x|与y=√x2；④ y=√x2−1与y=x-1．【正确答案】：[1] ③【解析】：根据两个函数的定义域相同.对应关系也相同.即可判断它们是同一函数．【解答】：解：对于① .y= x 2−1x−1=x+1（x≠1）.与y=x+1（x∈R）的定义域不同.所以不是同一函数；对于② .y=x（x∈R）.与y=|x|（x∈R）的对应关系不同.所以不是同一函数；对于③ .y=|x|（x∈R）.与y= √x2 =|x|（x∈R）的定义域相同.对应关系也相同.所以是同一函数；对于④ .y= √x2 -1=|x|-1（x∈R）.与y=x-1（x∈R）的对应关系不同.所以不是同一函数．故答案为：③ ．【点评】：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题.应判断它们的定义域是否相同.对应关系是否也相同.是基础题目．8.（填空题.5分）已知函数g（x）对任意的x∈R.有g（-x）+g（x）=x2．设函数f（x）=g（x）- x22.且f（x）在区间[0.+∞）上单调递增．若f（a）+f（a-2）≤0.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：判断f（x）的奇偶性和单调性.根据单调性求出a的范围．【解答】：解：由f（x）=g（x）- x 22得：f（-x）=g（-x）- x22.∴f（x）+f（-x）=g（x）+g（-x）-x2=0.∴f（x）在R上是奇函数.又f（x）在区间[0.+∞）上单调递增.∴f（x）在R上单调递增.∵f（a）+f（a-2）≤0.∴f（a）≤-f（a-2）=f（2-a）.∴a≤2-a.即a≤1．故答案为：（-∞.1]．【点评】：本题考查了函数奇偶性、单调性的判断与应用.属于中档题．9.（填空题.5分）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=3x+2.则函数f（x）的解析式为___ ．【正确答案】：[1] f(x)=√3x+√3−1或f(x)=−√3x−√3−1【解析】：本题已知函数f（x）是一次函数.可以用待定系数法设出函数解析式.然后利用已知条件得到关于参数方程.解方程组得到本题结论．【解答】：解：∵函数f（x）是一次函数.∴设f（x）=ax+b.（a≠0）．∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b．∵f（f（x））=3x+2.∴ {a2=3ab+b=2.∴ {a=√3b=√3−1或{a=−√3b=−√3−1.∴ f(x)=√3x+√3−1或f(x)=−√3x−√3−1．故答案为：f(x)=√3x+√3−1或f(x)=−√3x−√3−1．【点评】：本题考查了解析式求法.方法是待定系数法.本题难度不大.属于基础题．10.（填空题.5分）函数y=|x-2|+3的最小值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据绝对值的性质即可求出函数的最小值．【解答】：解：y=|x-2|+3≥3.当x=2时.取得等号．故函数y=|x-2|+3的最小值是3.故答案为：3【点评】：本题考查函数的最小值.以及绝对值函数的性质.属于基础题．11.（填空题.5分）已知函数f(x)={(12)x+34，x≥2log2x，0＜x＜2若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点.则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（34.1）【解析】：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点.结合图象求出实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点.如图所示：故实数k的取值范围是（34.1）.故答案为：（34.1）．【点评】：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系.体现了化归与转化、数形结合的数学思想.属于中档题．12.（填空题.5分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）单调递减.若x1+x2＞0.则f（x1）+f（x2）___ 0．（填“＞”“＜”或“=”）【正确答案】：[1]＜【解析】：根据题意.分析可得f（x）在R上单调减.又由x1+x2＞0.分析可得x1＞-x2.结合函数的奇偶性与单调性分析可得答案．【解答】：解：根据题意.因为f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）单调递减.则f（x）在[0.+∞）上递减.故f（x）在R上单调减.当x1+x2＞0.则x1＞-x2.则有f（x1）＜f（-x2）.又由f（x）为奇函数.则有f（x1）＜-f（x2）.即f（x1）+f（x2）＜0. 故答案为：＜．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调的综合应用.13.（填空题.5分）已知函数f(x)={√x+1(x⩾2)f(x+3)(x＜2).则f（1）+f（9）等于___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：依题意.根据分段函数的解析式计算即可．【解答】：解：因为f(x)={√x+1(x⩾2)，f(x+3)(x＜2)，所以f（1）+f（9）=f（4）+f（9）=3+4=7.故答案为：7．【点评】：本题考查分段函数函数值的求法.属于基础题．14.（填空题.5分）若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0.1]恒成立.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-3]【解析】：构造函数f（x）.将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题.求出二次函数的对称轴.判断出其单调性.求出f（x）的最小值.令最小值大于等于m即得到m的取值范围．【解答】：解：∵x2-4x≥m对任意x∈[0.1]恒成立令f（x）=x2-4x.x∈[0.1]∵f（x）的对称轴为x=2∴f（x）在[0.1]上单调递减∴当x=1时取到最小值为-3∴实数m的取值范围是（-∞.-3]故答案为（-∞.-3]【点评】：解决不等式恒成立问题常通过分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题.常利用公式求出对称轴.据区间与对称轴的关系判断出其单调性.求出最值．15.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.B={x|m+1≤x≤2m-1}.若A∪B=A.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别解出集合A.B.根据A∪B=A .可得B⊆A .从而进行求解；【解答】：解：∵A∪B=A .∴B⊆A 又A={-2≤x≤5}.当B=∅时.由m+1＞2m-1.解得m ＜2.当B≠∅时.则 {m +1≤2m −1−2≤m +12m −1≤5解得2≤m≤3.综上所述.实数m 的取值范围（-∞.3]．【点评】：此题主要考查集合关系中的参数的取值问题.还考查子集的性质.此题是一道基础题；16.（问答题.0分）若函数f （x ）= √(a −2)x 2+2(a −2)x +4 的定义域为R.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：由题意得（a-2）x 2+2（a-2）x+4≥0恒成立.对a 分类讨论后.由恒成立问题、一元二次函数的图象与性质列出不等式.求出实数a 的取值范围．【解答】：解：由题意得.（a-2）x 2+2（a-2）x+4≥0恒成立.当a-2=0.即a=2时.则4≥0恒成立；当a-2≠0.即a≠2时.则 {a −2＞0△=4(a −2)2−4(a −2)×4≤0.解得2＜a≤6. 综上可得.实数a 的取值范围是[2.6]．【点评】：本题考查函数的定义域.一元二次函数的图象与性质.以及恒成立问题.考查转化思想、分类讨论思想．17.（问答题.0分）已知集合A={x|6＞1} .B={x|x2-2x-a2-2a＜0}．x−1（1）当a=4时.求A∩B；（2）若A∪B=B.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出A中不等式的解集确定出A.把a=4代入B中求出解集确定出B.找出两集合的交集即可；（2）由A与B的并集为B.得到A为B的子集.分三种情况考虑. ① 当a=-1时；② 当a+2＞-a时；③ 当a+2＜-a时.分别求出a的范围即可．【解答】：解：（1）由题意得：A={x|1＜x＜7}.当a=4时.B={x|-4＜x＜6}.∴A∩B={x|1＜x＜6}；（2）B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}.① 当a=-1时.可得B=∅.显然A⊆B不成立；② 当a+2＞-a.即a＞-1时.B={x|-a＜x＜a+2}.∵A⊆B.∴ {−a≤1.a+2≥7解得：a≥5；③ 当a+2＜-a.即a＜-1时.B={x|a+2＜x＜-a}..∵A⊆B.∴ {a+2≤1−a≥7解得：a≤-7.综上.当A∪B=B时.实数a的取值范围是{a|a≤-7或a≥5}．【点评】：此题考查了并集及其运算.交集及其运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.（问答题.0分）2016年9月.第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行.在会展期间某展销商销售一种商品.根据市场调查.每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示.又知供货价格与销量呈反比.比例系数为20．（注：每件产品利润=售价-供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大.并求出最大利润．【正确答案】：【解析】：（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20-x （0≤x≤20）.设价格为y.则y= 20t.即可求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）总利润L=（x- 20t ）t=xt-20=x（20-x）-20≤ (x+20−x2)2-20=80.可得结论．【解答】：解：（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20-x （0≤x≤20）.设价格为y.则y= 20t.x=15时.t=5万件.y=4万元；（2）总利润L=（x- 20t ）t=xt-20=x（20-x）-20≤ (x+20−x2)2-20=80.当且仅当x=10元时总利润最大.最大利润80万元．【点评】：此题考查了一次函数与二次函数的知识.考查学生利用数学知识解决实际问题的能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1.x∈R．（1）证明：当a＞1时.函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值.讨论函数y=f（x）的奇偶性.并说明理由；（3）当a=2.且b＜c时.证明：对任意d∈[f（c）.f（b）].存在唯一的x0∈R.使得f（x0）=d.且x0∈[b.c]．【正确答案】：【解析】：（1）设x 1＜x 2.计算f （x 1）-f （x 2）.判断f （x 1）-f （x 2）的符号得出结论；（2）令f （-x ）=f （x ）和f （-x ）=-f （x ）分别求出a 的值得出结论；（3）利用反证法得出结论．【解答】：（1）证明：任取x 1.x 2∈R .设x 1＜x 2.则f （x 1）-f （x 2）= (a−1)(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1) .∵x 1＜x 2.∴ 2x 1 ＜ 2x 2 .又a ＞1.∴f （x 1）-f （x 2）＞0.即f （x 1）＞f （x 2）．所以当a ＞1时.函数y=f （x ）是减函数．（2）解：当a=1时.f （x ）=1.所以f （-x ）=f （x ）=1.所以函数y=f （x ）是偶函数. 当a=-1时.f （x ）= 2x −12x +1 .f （-x ）= 2−x −12−x +1 = 1−2x1+2x =-f （x ）.所以函数y=f （x ）是奇函数．当a≠1且a≠-1时.f （1）= a+23 .f （-1）= 2a+13 . ∴f （-1）≠f （1）且f （-1）≠-f （1）.所以函数y=f （x ）是非奇非偶函数．（3）证明：由（1）知.当a=2时.函数y=f （x ）是减函数.所以函数f （x ）在[b.c]上的值域为[f （c ）.f （b ）].因为d∈[f （c ）.f （b ）].所以存在x 0∈R .使得f （x 0）=d ．假设存在x 1∈R .x 1≠0使得f （x 1）=d.若x 1＞x 0.由f （x ）的单调性可得f （x 1）＜f （x 0）.若x 1＜x 0.则f （x 1）＞f （x 0）.与f （x 1）=f （x 0）=d 矛盾.故x 0是唯一的．假设x 0∉[b.c].即x 0＜b 或x 0＞c.由单调性可得f （x 0）＞f （b ）或f （x 0）＜f （c ）.所以d∉[f （c ）.f （b ）].与d∈[f （c ）.f （b ）]矛盾.故x 0∈[b .c]．【点评】：本题考查了函数单调性的判断与证明.函数奇偶性的判断.属于中档题．20.（问答题.0分）已知函数 f (x )=(12)x ．（1）若存在x∈（0.+∞）.使af （x ）-f （2x ）＞1成立.求实数a 的取值范围；（2）若a ＞0.且当x∈[0.15]时.不等式f （x+1）⩾f[（2x+a ）2]恒成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当x∈（0.+∞）. af(x)−f(2x)＞1⟺a＞2x+12x．令2x=t（t＞1）.利用函数的单调性求解函数的最小值.推出实数a的取值范围；（2）转化构造函数ℎ(u)=u−2(u2−1)=−2(u−14)2+178.利用二次函数的性质.求解最大值.然后求解结果即可．【解答】：解：（1）当x∈（0.+∞）. af(x)−f(2x)＞1⟺a＞2x+12x．令2x=t（t＞1）.考虑函数g(t)=t+1t．∵g（t）在（1.+∞）上是增函数.∴g（t）的值域为（2.+∞）．∵存在x∈（0.+∞）.使af（x）-f（2x）＞1成立.∴a＞2.∴实数a的取值范围为（2.+∞）；（2）当x∈[0.15]时. f(x+1)⩾f[(2x+a)2]⟺a⩾√x+1−2x．令√x+1=u(1⩽u⩽4) .考虑函数ℎ(u)=u−2(u2−1)=−2(u−14)2+178.∵h（u）在[1.4]上是减函数.∴h（u）max=h（1）=1．∵当x∈[0.15]时.不等式f（x+1）⩾f[（2x+a）2]恒成立.∴a⩾1．∴实数a的取值范围为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查不等式的恒成立问题.复合函数的单调性以及函数与方程的综合运用.对考生的综合能力要求较高.属于难题．。

江苏省扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{0，1}，则下列关系表示错误的是A ．0∈AB ．{1}∈AC ．∅⊆AD ．{0，1}⊆A 2．设集合{}{}3,5,6,8,4,5,8A B ==，则A B =U （ ）A ．{}3,6B ．{}5,8C ．{}4,6D ．{}3,4,5,6,8 3．设命题2:Z,31p x x x ∃∈≥+，则p 的否定为（ ）A ．2Z,31x x x ∀≠<+B ．2Z,31x x x ∃∉<+C ．2Z,31x x x ∀∈<+D ．2Z,31x x x ∃∈<+ 4．已知R x ∈，则0x >是1x >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数245y x x =--的零点为（ ）.A ．()5,0B ．()1,5-C ．1-和5D ．()1,0-和()5,0 6．设()0,m n ∈+∞,，且111m n +=，则2m n +的最小值为（ ）A．3+B ．C ．5 D ．47．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，则a b c a c b >-- 8．已知命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x ∃∈R ，2240x ax ++=”．若命题p ⌝和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤-或1a =B ．2a ≤-或12a ≤≤C ．1a ≥D ．2a ≥二、多选题9．设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若A B B =I ，则实数a 的值可以为（ ）A ．15B ．0C ．3D ．1310．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．下列说法正确的是（ ）． A ．已知集合{}0,1M =，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为4B ．若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则4a = C ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件D ．a b >的一个必要条件是1a b ->三、填空题12．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为.13．关于x 不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围为．14．设常数a ∈R ，集合()(){}{}101A x x x a B x x a =--≥=≥-，．若A B =U R ，则a 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{3A x x <-或x >2 ，{}422B x x =-≤-<．(1)求A B ⋂，()()R R A B ⋃痧；(2)若集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的真子集，求实数k 的取值范围．16．已知正数x ，y 满足22x y +=.(1)求xy 的最大值；(2)求21x y+的最小值.17．已知集合{}2430A x x x =-+=，()(){}110B x x a x =-+-=，{}210C x x mx =-+=．（1）若A B A =U ，求实数a 的值；（2）若A C C ⋂=，求实数m 的取值范围．18．已知二次函数22()2(,)f x ax bx b a a b R =++-∈，当(1,3)x ∈-时，()0f x >；当(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <．（1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：2()20()ax b c x c c R +-+>∈；（3）若不等式()50f x mx +-<在[1,3]x ∈上恒成立，求m 的取值范围．19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，1ab =，求证：11111a b+=++． 证明：原式111111ab b ab a b b b =+=+=++++． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．2a b +（0a >，0b >），当且仅当a b =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1x x+有最小值，最小值是多少？ 解：0x Q >，10x >，12x x +∴1x x +≥12x x ∴+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，1x x+有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知1a b ⋅=，求221111a b +++的值． (2)若1a b c ⋅⋅=，解关于x 的方程5551111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++． (3)若正数a ，b 满足1a b ⋅=，求11112M a b =+++的最小值．。

2022-2023扬州中学高一数学试卷答案2022.101. CCABA BBD 9.BC 10.AC 11.ACD 12.BC 13. 1和3． 14. {}23≤<x x 15. 28k 16. 32−17． 【详解】①当32a a >+，即1a >时，解集23A x a x a =+<<;）{RA x x =(){R AB x x ⋂=（2）∵AC ⋂=又{2|C x m x =<当C =∅时，2m 当C ≠∅时，由APD ∠=90，AD Rt Rt ADP CB P '≅，AP PC ∴=在Rt ADP △2AP =()22x a a +−=， 解得x a =12x y −=108722−， 的面积最大，面积的最大值为21x x −+22x m x −∴≥设1x t −=21x x x −∴−+12t t +≥，当且仅当21xx x −∴−+∴当0x = 22.）3711⨯<）(bca 2022-2023扬州中学高一数学试卷答案2022.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|60,0,1,2,3A x x x B =+−<=，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}0,1D ．{}0,2【答案】C【详解】由题设{}{|(3)(2)0}{|32},0,1,2,3A x x x x x B =+−<=−<<=，所以A B ={}0,1. 2．命题“21,0∀>−>x x x ”的否定是（ ）A ．21,0x x x ∃≤−>B ．21,0x x x ∀>−≤C ．21,0x x x ∃>−≤D ．21,0x x x ∀≤−>【答案】C3． “1>x ”是“21>x ”的一个（ ）条件.A A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要4．命题“∃∈x R ，2++<0x x m ”是真命题，则实数m 的取值范围是( )BA ．1(,]4−∞B ．1(,)4−∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞5．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．若下列关于戴德金分割(),M N 的说法一定不成立的是（ ） A ．M 中有最大元素，N 中有最小元素 B ．M 中没有最大元素，N 中有最小元素 C ．M 中有最大元素，N 中没有最小元素 D ．M 中没有最大元素，N 中没有最小元素1,26p P x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合M ，N ，P 的关系为（ ）A ．M N P ==B ．M N P ⊆=C ．M N P ⊆⊆D ．M N ⊆，N P =∅7．已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧−−>⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ）A ．()()5,34,5−⋃B ．[)(]5,34,5−⋃C ．(][)5,34,5−⋃D ．[][]5,34,5−⋃172，2x =时，不等式22(2x +21a a c b =+−−10a b ++=A ．b a c >≥ B ．c a b >>C ．b c a >≥D ．c b a >>多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．设集合{|()(1)0}M x x a x =−−=，{1N =，4}，则⋃M N 的子集个数可能为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】BC【详解】集合{|()(1)0}M x x a x =−−=，{1N =，4}，当1a =时，{1M N =，4}，M N 的子集个数为224=， 当4a =时，{1MN =，4}，MN 的子集个数为224=，当1a ≠，且4a ≠时，{M N a =，1，4}，MN 的子集个数为328=.10．已知0,0,230x y x y xy >>++=，则（ ）A ．xy 的最大值为18B ．2x y +的最大值为12C ．x y +的最小值为3D ．11+x y的最小值为311．已知关于x 的不等式的解集是12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（ ） A ．1220x x ++= B ．1231x x −<<< C ．124x x −> D ．1230x x +<的解集为()12，而()f x 的零点分别为3,1−且开12．设表示不超过的最大整数，如：1.21=，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x =B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y −>−C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D ．不等式[][]2230x x −−≥的解集为{|1≤−x x 或}2x ≥13．函数243y x x =−+的零点为 .1和3．14.设全集U 是实数集R ，{}3M x x =≥，{}25N x x =≤≤都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为 . {}23x x ≤<15. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约销售100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元（%k 叫作税率），则每年的销售量将减少10k 万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税的金额不少于112万元，则k 的取值范围为______.【答案】28k 【详解】设加附加税后，每年销售为x 万瓶，则每年的销售收入为70x 万元，从中征收的税金为70%x k ⋅万元，其中10010x k =−. 由题意，得()7010010%112k k −，整理得210160k k −+，解得28k . 16.若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b+取得最小值．17．解关于x 的不等式(3)(2)0x a x a −−−<.18.已知集合|14A x x =−≤≤，2B x x =<−或5x >. (1)求()A ⋂R B ；(2)若集合{}21|C x m x m =<<+，且A C ⋂=∅.求m 的取值范围. ）{RA x x =(){R AB x x ⋂=（2）∵AC ⋂=又{2|C x m x =<当C =∅时，2m当C ≠∅时，由A C ⋂=∅可得， 2111m m m <+⎧⎨+≤−⎩，或2124m m m <+⎧⎨≥⎩， 解得2m ≤−，综上，m 的取值范围为2m ≤−或1m ≥.19．设实数,,a b m R ∈，若满足22()()a m b m −<−，则称a 比b 更接近m . （1）若2x 比1x +更接近0，求实数x 的取值范围； （2）判断“21x y mx y+−<−−”是“x 比y 更接近m ”的什么条件？并说明理由.，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，交DC 于点P ，设cm,cm AB x DP y ==． (1)用x 的代数式表示y ，并写出x 的取值范围； (2)求ADP △的最大面积及相应x 的值．的周长为24cm ，可知APD ∠=90，AD Rt Rt ADP CB P '≅，AP PC ∴=在Rt ADP △2AP =()22x a a +−=， 解得x a=12x y −=21．已知函数．(1)若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≥对一切11,22x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围．21x x −+22x m x −∴≥设1x t −=21x x x −∴−+12t t+≥，当且仅当21xx x −∴−+∴当0x =1122.对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(,)m n 是(,)p q 的 "下位序列".(1)对于2、3、7、11，有序数对(3,11)是(2,7)的"下位序列"吗?请简单说明理由;(2)设a b c d 、、、均为正数，且(,)a b 是(,)c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d++、、之间的大小关系；(3)设正整数n 满足条件:对集合{02021,}mm m <<∈N ∣内的每个m ，总存在正整数k ，使得(,2021)m 是(,)k n 的“下位序列”，且(,)k n 是(1,2022)m +的“下位序列”，求正整数n 的最小值. ）3711⨯<）(bc a。

2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．集合{}11M x x =-<<，{}02N x x =≤<，则M N =（ ）A ．{}12x x -<< B ．{}01x x ≤<C ．{}01x x <<D ．{}10x x -<<【答案】B【解析】根据集合交集的定义进行运算即可. 【详解】在数轴上分别标出集合,M N 所表示的范围如图所示， 由图象可知， {}|01M N x x =≤<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是 A ．20002,x x x π∃<≥ B ．20002,x x x π∃<< C ．22,x x x π∀≥≤ D ．22,x x x π∀≥<【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是22,x x x π∀≥<，故选D . 【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1【答案】C【解析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b +≤，解得，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5．设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ） A ．10 B ．10C ．20D ．100【答案】A【解析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解. 【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， 210m ∴=，又0m >，∴10m =．故选：A 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.6．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2+bx+a 2﹣1的图象为下列之一，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．152- D ．152- 【答案】B【详解】把四个图象分别叫做A ，B ，C ，D ．若为A ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＝0，解得02ba ->矛盾，所以不成立． 若为B ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＝0，解得02ba-<矛盾，所以不成立． 若为C ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＞0，且函数过原点， 得a 2﹣1＝0，解得a ＝﹣1，此时对称轴02ba->有可能，所以此时a ＝﹣1成立． 若为D ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＞0，且函数过原点，得a 2﹣1＝0，解得a ＝1， 此时对称轴02ba-<，矛盾，所以不成立． 故图象为第三个，此时a ＝﹣1． 故选B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握抛物线的开口方法，对称轴之间的关系，属于中档题．7．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定【答案】B【解析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：3030602m n m n++=≥第二种方案的均价：4002200200mnm nm n=≤++ 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B 【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ） A ．49 B ．48C ．47D ．46【答案】A【解析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}， 而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=； ∴一共有151412849+++=个， 故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.二、多选题9．设正实数,a b 满足1a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+有最小值4 B 12CD ．22a b +有最小值12【解析】根据基本不等式逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确.对于B，由基本不等式有1a b +=≥12，当且仅当12a b ==时等号成立，12，故B 错误. 对于C，因为2112a b =+≤++=≤，当且仅当12a b ==，故C 正确. 对于D ，因为2221121222a b ab a b +⎛⎫=-≥-⨯=⎪⎝⎭+，当且仅当12a b ==时等号成立，故22a b +有最小值12，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题. 10．下列各小题中，最大值是12的是（ ） A ．22116y x x=+B．[]0,1y x =∈ C ．241x y x =+D ．()422y x x x =+>-+ 【答案】BC【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 【详解】解：对于A ，y 没有最大值；对于B ，y 2＝x 2（1﹣x 2）≤22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝14，y ≥0，∴y ≤12，当且仅当x＝2时取等号.对于C ，x ＝0时，y ＝0.x ≠0时，y ＝2211x x+≤12，当且仅当x ＝±1时取等号. 对于D ，y ＝x +2+42x +﹣2＝2，x ＞﹣2，当且仅当x ＝0时取等号. 故选：BC. 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题. 11．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（ ）A ．方程有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈< B ．方程有两个正根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ C ．方程无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> D ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可. 【详解】A 选项中，方程有一个正根一个负根则()()2340{00m m f ∆=--><即0m <；同时0m <时方程有一个正根一个负根；0m <是方程有一个正根一个负根的充要条件.B 选项中，方程有两个正根则()()23403{02200m m b ma f ∆=--≥--=>>即01m <≤； 同时01m <≤时方程有两个正根；01m <≤是方程有两个正根的充要条件. C 选项中，方程无实数根则2(3)40m m ∆=--<即19m <<；而1m 时方程可能无实根也可能有实根；故1m 是方程无实数根的必要条件. D 选项中，3m =时230x +=知方程无实根； 故选：ABC本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ） A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 【答案】AD【解析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案. 【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立， 故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A 正确；设该单位每月获利为S 元， 则2211100100(80000200)3008000022S x y x x x x x =-=-+-=-+-21(300)350002x =---，因为[400,600]x ∈， 所以[80000,40000]S ∈--.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D 正确，BC 错误， 故选：AD本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.三、填空题 13．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆，则满足这一关系的集合A 的个数为______.【答案】7【解析】列举出符合条件的集合A ，即可得出答案. 【详解】由题意知，符合{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆的集合A 有：{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,2,5、{}1,2,3,4、{}1,2,3,5、{}1,2,4,5、{}1,2,3,4,5，共7个.故答案为7. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.14．已知1a b >>.若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b +=__________． 【答案】6【解析】根据题意，设log b t a =，根据1a b >>得出t 的范围，代入5log log 2a b b a +=求出t 的值，得到a 与b 的关系式，与b a a b =联立方程组，即可求出a 、b 的值． 【详解】由题意得，设log b t a =，由1a b >>可得1t >，代入5log log 2a b b a +=，得 152t t += 解得2t =，即2log 2b a a b =⇒= 又b a a b =，可得2b a b b = 即22a b b == 解得2,4b a == 所以6a b +=． 故答案为6．本题主要考查对数的运算性质．15．已知01,01x y <<<<，且44430xy x y --+=，则12x y+的最小值是___________.【答案】4+【解析】由44430xy x y --+=，整理得1(1)(1)4x y --=，设1,1a x b y =-=-，41ab =，再化简124224441x y a a +=++--，再结合()()44413a a -+-=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为44430xy x y --+=，可得44441xy x y --+=， 整理得1(1)(1)4x y --=， 设1,1a x b y =-=-，则41ab =，又由01,01x y <<<<，则10,10a x b y =->=-> 所以121212181242221111141141444114a x y a b a a a a a a a a+=+=+=+=++=++----------又由()()44413a a -+-=， 则()()41444444214214()2()()[][6]444134441344411a a a a a a a a a a +=⋅+=++----------+16[633++=≥， 当且仅当4()2()44444114a a a a =----，即24a =等号成立，所以1224x y +≥=12故答案为：43+. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，合理化简和构造基本不等式的条件是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则实数a = _________；函数2y x bx a -=-的所有零点之和等于_________． 【答案】112-712【解析】根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数,a b ；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和. 【详解】∵等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<， ∴3,4x x ==是方程210+-=ax bx 的两个实根，则13412a ⨯=-=，解得112a =-，而两根之和7b a =-，解得712b =， 故函数2y x bx a -=-的所有零点之和为712b =， 故答案为：112-，712． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题.五、解答题17．已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-. （1）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）3m ≤；（2）(,2)(4,)-∞⋃+∞；【解析】（1）由条件知B A ⊆，讨论B =∅、B ≠∅求m 的范围，取并集即可； （2）由A B =∅分类讨论B =∅、B ≠∅，求m 的范围即可；【详解】（1）由A B A ⋃=知：B A ⊆， 当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，12215121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩解得23m ≤≤；综上，有：3m ≤； （2）x ∈R 时，AB =∅知：当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，15121m m m +>⎧⎨+≤-⎩或212121m m m -<-⎧⎨+≤-⎩，解得4m >；∴m 的取值范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞； 【点睛】本题考查了集合，根据集合交、并结果判断集合间的关系求参数范围，属于基础题. 18．化简下列各式：（1）212.531305270.0648π-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg311ln lg 0.36lg1624e +++. 【答案】（1）0；（2）1.【解析】（1）根据分数指数幂的计算法则进行计算即可； （2）利用对数的运算法则求解. 【详解】解：（1）()213133312212.531305330.410.410270.064228π⨯---⎡⎤⎛⎫=--=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3lg 4lg3lg12lg121111lg 0.6lg 2lg10lg1.2lg12ln lg 0.36lg1624e ++====+++++. 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数幂及对数的运算法则.19．已知:(1)(2)0,:p x x q +-≥关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立 (1)当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()3,2m ∈- （2）10733m <<-【解析】（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于0<恒成立 （2）p 是q 的充分不必要条件可得p 是q 的真子集，再进行分类讨论即可 【详解】（1）由题可知2244240,60,32m m m m m =+-<∴+-=∴-<<实数m 的取值范围是()3,2-（2）:12p x -，设{|12}A x x =-≤≤，{}2|260B x x mx m =+-+>p 是q 的充分不必要条件，∴A 是B 的真子集① 由（1）知，32m -<<时，B=R ，符合题意；② 3m =-时，{}{}26903B x x x x x =-+>=≠，符合题意 ③2m =时，{}{}24402B x x x x x =++>=≠-，符合题意④32m m <->或时，设2(2)6x m f x mx +-+=,()f x 的对称轴为直线x m =-，由A 是B 的真子集得()()1212,10203+703+100m m m m f f m m -<-->><-⎧⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨⎨-<>->>⎩⎩⎩⎩或或，71010712,323333m m m m ∴<<-<<-∴-<<-<<或或综上所述：10733m <<- 【点睛】复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6). （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【答案】（1）4米；（2）(0，12).【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则y=900(x+16x)+7 200，利用基本不等式求解函数的最值即可； （2）由题意可得，900(x+16x)+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即可a<2(4)1x x ++=(x+1)+91x ++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则y=3(150×2x+400×12x )+7 200=900(x+16x)+7 200(2≤x ≤6)，900(x+16x )+7 200≥900×27 200=14 400. 当且仅当x=16x，即x=4时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元. （2）由题意可得，900(x+16)x+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即2(4)(1)x a x x x++>， ∴a<2(4)1x x ++=(x+1)+91x ++6，又x+1+91x ++6=12，当且仅当x+1=91x +，即x=2时等号成立， ∴a 的取值范围为(0，12).【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()214y x m x =-++，区间[]0,3A =，分别求下列两种情况下m 的取值范围.（1）函数y 在区间A 上恰有一个零点； （2）若0x A ∃∈，使得1y <-成立.【答案】（1）103m >或3m =；（2）1m >． 【解析】（1）分类讨论，（i ）0或3是零点时；（ii ）0和3都不是零点，在(0,3)上有唯一零点，用零点存在定理求解； （2）不等式1y <-变形为51m x x +>+，求出5x x+的最小值即可得． 【详解】记2()(1)4f x x m x =-++， （1）显然(0)0f ≠，（i ）若2(1)160m ∆=+-=，则3m =或5-，5m =-时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==-∉， 3m =时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==∈，（ii ）若(3)93(1)40f m =-++=，则103m =，此时()f x 的另一零点是6[0,3]5∈，不合题意；（iii ）(0)40f =>，(3)133(1)0f m =-+<，103m >， 综上，103m >或3m =； （2）即不等式2(1)41x m x -++<-在[0,3]上有解，0x =显然不是它的解，(0,3]x ∈，则51m x x +>+，即51m x x+>+在(0,3]上有解， 设5()g x x x =+，25()1g x x '=-225x x-=,所以当0x <<时，()0g x '<，()g x3x <≤时，()0g x '>，()g x 递增，所以x =()g x取得极小值也是最小值g =1m +>，1m >．【点睛】本题考查零点存在定理，考查不等式能成立问题，不等式恒成立与能成立问题都是要进行问题的转化，常常转化为求函数的最值，但要注意是求最小值还是求最大值． 22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）. 【答案】（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ． 试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+->+（ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．。

2019-2020学年扬州中学高一（上）第一学月数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知全集U={1，2，4，6，8}，集合A={2，6}，B={1，2，4}，则∁U（A∪B）=______．2.已知集合A⊆C，其中C＝{x|1＜x＜10，且x是素数}，若A含有两个元素，则这样的集合A共有________个．3.函数的定义域为______ ．4.函数f（x）=3x2+2（a-1）x-3在（-∞，1]上递减，则a的取值范围是______ ．5.设函数，则=________．6.已知函数那么______．7.下列各组函数中，表示同一个函数的有_______．①与；②与；③与④与 .8.已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（-x）+g（x）=x2．设函数f（x）=g（x）-，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．若f（a）+f（a-2）≤0，则实数a的取值范围为______．9.已知一次函数f（x）满足f（f（x））=3x+2，则函数f（x）的解析式为______ ．10.函数y=|x-2|+3的最小值是______ ．11.已知函数若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是______ ．12.设是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，单调递减，若，则．(填“>”“<”或“＝”)13.已知函数,则等于_____________．14.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是______ ．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．16.若函数f（x）=的定义域为R，求实数a的取值范围．17.已知集合，B={x|x2-2x-a2-2a＜0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18.2016年9月，第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行，在会展期间某展销商销售一种商品，根据市场调查，每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示，又知供货价格与销量呈反比，比例系数为20．（注：每件产品利润=售价-供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大，并求出最大利润．19.已知函数f（x）=，x∈R．（1）证明：当a＞1时，函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a=2，且b＜c时，证明：对任意d∈[f（c），f（b）]，存在唯一的x0∈R，使得f（x0）=d，且x0∈[b，c]．20.已知函数．⑴若存在x（0，+），使成立，求实数的取值范围；⑵若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】{8}【解析】解：∵A={2，6}，B={1，2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，∵全集U={1，2，4，6，8}，∴∁U（A∪B）={8}，故答案为：{8}由A与B，求出两集合的并集，根据全集U，求出并集的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】6【解析】【分析】本题考查子集的概念，依题意，个子集的概念求解即可.【解答】解：C＝{2，3，5，7}．A⊆C，因为A含有两个元素，所以A＝{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，5}，{3，7}，{5，7}，共6个．故答案为6.3.【答案】{x|x≤3且x≠±1}【解析】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为{x|x≤3且x≠±1}，故答案为：{x|x≤3且x≠±1}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.【答案】（-∞，-2]【解析】解：∵函数f（x）=3x2+2（a-1）x-3在（-∞，1]上递减，∴≥1，即a≤-2故答案为：（-∞，-2]根据二次函数的性质，得出≥1，即可求解．本题考查了二次函数的性质，解不等式，属于基础题，难度较小．5.【答案】0【解析】【分析】本题考查分段函数求函数值,由解析式,先求f(2),然后求解即可.【解答】解: 由解析式,f(2)=4-22=0,所以.故答案为0.6.【答案】25【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．【解答】解：∵，∴f（-3）＝2﹣（-3）＝5，从而f（f（-3））＝f（5）＝52＝25，故答案为25.7.【答案】③【解析】【分析】本题考查了函数概念，同一函数的概念.判断同一函数，要求定义域和对应法则完全一致即可.逐一判断每组函数的定义域和对应法则即可得到结果.【解答】解：①∵定义域为,定义域为R,∴不是同一函数；②∵与对应法则不同，∴不是同一函数；③∵与定义域为和对应法则一致，∴是同一函数；④∵与对应法则不同，∴不是同一函数.故答案为③.8.【答案】（-∞，1]【解析】解：由f（x）=g（x）-得：f（-x）=g（-x）-，∴f（x）+f（-x）=g（x）+g（-x）-x2=0，∴f（x）在R上是奇函数，又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增，∵f（a）+f（a-2）≤0，∴f（a）≤-f（a-2）=f（2-a），∴a≤2-a，即a≤1．故答案为：（-∞，1]．判断f（x）的奇偶性和单调性，根据单调性求出a的范围．本题考查了函数奇偶性、单调性的判断与应用，属于中档题．9.【答案】或【解析】【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，难度不大，属于基础题．已知函数f（x）是一次函数，可以用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件得到关于参数方程，解方程组得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）是一次函数，∴设f（x）=ax+b，（a≠0）．∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b．∵f（f（x））=3x+2，∴，∴或，∴或．故答案为：或．10.【答案】3【解析】解：y=|x-2|+3≥3，当x=2时，取得等号．故函数y=|x-2|+3的最小值是3，故答案为：3根据绝对值的性质即可求出函数的最小值．本题考查函数的最小值，以及绝对值函数的性质，属于基础题．11.【答案】（，1）【解析】解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是（，1），故答案为：（，1）．由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．12.【答案】<【解析】【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性.【解答】解：因为是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，单调递减，所以f(x)在R上单调减，当，则,所以,,,故答案为<.13.【答案】7【解析】【分析】本题考查分段函数函数值的求法，依题意，根据否分段函数的解析式计算即可.【解答】解：因为所以，故答案为7.14.【答案】（-∞，-3]【解析】解：∵x2-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立令f（x）=x2-4x，x∈[0，1]∵f（x）的对称轴为x=2∴f（x）在[0，1]上单调递减∴当x=1时取到最小值为-3∴实数m的取值范围是（-∞，-3]故答案为（-∞，-3]构造函数f（x），将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出f（x）的最小值，令最小值大于等于m即得到m 的取值范围．解决不等式恒成立问题常通过分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值．15.【答案】解：∵A∪B=A，∴B⊆A又A={-2≤x≤5}，当B=∅时，由m+1＞2m-1，解得m＜2，当B≠∅时，则解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围（-∞，3]．【解析】分别解出集合A，B，根据A∪B=A，可得B⊆A，从而进行求解；此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，还考查子集的性质，此题是一道基础题；16.【答案】解：由题意得，（a-2）x2+2（a-2）x+4≥0恒成立，当a-2=0，即a=2时，则4≥0恒成立；当a-2≠0，即a≠2时，则，解得2＜a≤6，综上可得，实数a的取值范围是[2，6]．【解析】由题意得（a-2）x2+2（a-2）x+4≥0恒成立，对a分类讨论后，由恒成立问题、一元二次函数的图象与性质列出不等式，求出实数a的取值范围．本题考查函数的定义域，一元二次函数的图象与性质，以及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想．17.【答案】解：（1）由题意得：A={x|1＜x＜7}，当a=4时，B={x|-4＜x＜6}，∴A∩B={x|1＜x＜6}；（2）B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}，①当a=-1时，可得B=∅，显然A⊆B不成立；②当a+2＞-a，即a＞-1时，B={x|-a＜x＜a+2}，∵A⊆B，∴，解得：a≥5；③当a+2＜-a，即a＜-1时，B={x|a+2＜x＜-a}，∵A⊆B，∴，解得：a≤-7，综上，当A∪B=B时，实数a的取值范围是{a|a≤-7或a≥5}．【解析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，把a=4代入B中求出解集确定出B，找出两集合的交集即可；（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，分三种情况考虑，①当a=-1时；②当a+2＞-a时；③当a+2＜-a时，分别求出a的范围即可．此题考查了并集及其运算，交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.【答案】解：（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20-x （0≤x≤20），设价格为y，则y=，x=15时，t=5万件，y=4万元；（2）总利润L=（x-）t=xt-20=x（20-x）-20≤-20=80，当且仅当x=10元时总利润最大，最大利润80万元．【解析】（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20-x（0≤x≤20），设价格为y，则y=，即可求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）总利润L=（x-）t=xt-20=x（20-x）-20≤-20=80，可得结论．此题考查了一次函数与二次函数的知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：任取x1，x2∈R，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=，∵x1＜x2，∴2＜2，又a＞1，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以当a＞1时，函数y=f（x）是减函数．（2）解：当a=1时，f（x）=1，所以f（-x）=f（x）=1，所以函数y=f（x）是偶函数，当a=-1时，f（x）=，f（-x）===-f（x），所以函数y=f（x）是奇函数．当a≠1且a≠-1时，f（1）=，f（-1）=，∴f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），所以函数y=f（x）是非奇非偶函数．（3）证明：由（1）知，当a=2时，函数y=f（x）是减函数，所以函数f（x）在[b，c]上的值域为[f（c），f（b）]，因为d∈[f（c），f（b）]，所以存在x0∈R，使得f（x0）=d．假设存在x1∈R，x1≠0使得f（x1）=d，若x1＞x0，由f（x）的单调性可得f（x1）＜f（x0），若x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），与f（x1）=f（x0）=d矛盾，故x0是唯一的．假设x0∉[b，c]，即x0＜b或x0＞c，由单调性可得f（x0）＞f（b）或f（x0）＜f（c），所以d∉[f（c），f（b）]，与d∈[f（c），f（b）]矛盾，故x0∈[b，c]．【解析】（1）设x1＜x2，计算f（x1）-f（x2），判断f（x1）-f（x2）的符号得出结论；（2）令f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）分别求出a的值得出结论；（3）利用反证法得出结论．本题考查了函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，属于中档题．20.【答案】解：⑴当x（0，+），．令，考虑函数．在上是增函数，的值域为．存在x（0，+），使成立，，实数的取值范围为；⑵当时，．令，考虑函数，在上是减函数，．当时，不等式恒成立，．实数的取值范围为．【解析】本题主要考察不等式的恒成立问题，复合函数的单调性以及函数与方程的综合运用，对考生的综合能力要求较高，属于难题.。

江苏省扬州中学2020学年第一学期高一数学月考试卷2020-9-22一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 全集U ＝{x |x ≤4，x N }，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{y |y ＝x －1,x A }，则（ ）A ．A C UB ＝{0，3} B ．A B ＝UC ．C U (A B )＝{4}D ．C U (A B )＝{3，4}2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a ·b ·c ＜0，则其图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知函数y ＝f (x )(a ≤x ≤b )，则集合{(x ,y )| y ＝f (x ),a ≤x ≤b } {(x ,y )|x ＝2}中含有元素的个数为 （ ）A ．0B ．0或1C ．1D ．1或24. 已知集合A ＝{1,2,3,4}，A B ＝{1,2,3,4,5,7,9,10}，则集合B 可能的个数为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．16 5. 已知f (1－x 1＋x )＝1－x21＋x2，则f (x )的解析式可取为（ ）A ．x1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2C ．2x 1＋x2D ．－x1＋x26. 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若A B ＝A ，则函数m 的取值范围是（ ）A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．m ≤4 7. 若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x －1)＞1的解集是（ ）A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜－1或x ＞3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ＞3}8. 关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实根，则（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－19. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)2 (x ＞0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 解的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．410. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．若f (1)＝2，则f (2020)等于（ ） A ．2020 B ．2C ．1D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 函数y ＝－x 2＋8x －15|x －2|－1的定义域为__________________．12. 已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在x [0,3]上的图形如图所示，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是_____________． 13. 有下列命题：①函数y ＝|x |（x {－2,－1,0,1,2,3}）的值域为{y |y ≥0}； ②函数y ＝x 2（x ≠2,x R ）的值域为{y |y ≥0，且y ≠4}；③函数y ＝x 2－1x －1的值域为R ；④函数y ＝x －1的值域为{y |y ≥0}． 其中正确命题的序号为_______________．14. 集合A ＝{x |x ＝5k ＋1，k N }，集合B ＝{x |x ≤6，x Q }，则A B ＝_____________． 15. 方程x 2－2－1＝a （a R ）最多有____________个解． 16. 定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≥b )b 2(a ＜b )，则函数f (x )＝(1*x )·x －(2*x )在区间[－2,2]的最大值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17. （本题满分12分）已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋a －2＝0}，若B ⊆ A ，C ⊆ A ，求实数a 、b 的值或取值范围．18. （本题满分14分）（1）已知函数f (x )＝px 2＋2q －x是奇函数，且f (2)＝－5．求函数f (x )的解析式；（2）已知函数g (x )＝ax ＋1x ＋2是(－2,＋∞)上的单调递增函数，试利用单调性的定义求实数a 的取值范围．19. （本题满分14分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G (x )（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本＋生产成本），销售收入R (x )（万元）满足： R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x ＋4.2x －0.8 (0≤x ≤5)10.2 (x ＞5)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．（1）若利润函数f (x )的解析式；（注：利润＝收入－成本） （2）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？并求此时每台产品的售价．20. （本题满分14分）已知函数f (x )对任意x ,y R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )―2，当x ＞0时，f (x )＞2．（1）求证：f (x )是增函数；（2）若f (3)＝5，解不等式f (a 2―2a ―2)＜3．21. （本题满分16分）已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，令F (x )＝⎩⎨⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0)（1）若b ≥0，且当f (x )的定义域为[－1,0]时，值域也为[－1,0]．求f (x )表达式； （2）设m ·n ＜0，m ＋n ＞0，且f (x )为偶函数，试比较F (m )＋F (n )的值与0的大小；（3）若函数|f (x )|在区间[―1,1]上的最大值为M ，求证：M ≥12．[参考答案]1～10． CBBDC DBDCB 10．【分析】：令x ＝－2，∴f (－2)＝0，又f (x)是偶函数，即f (2)＝0∴f (x ＋4)＝f (x)，故f (x)的周期为4，∴f (2020)＝f (4×501＋1)＝f (1)＝2． 11．(3,5] 12．(－1,0) (1,3) 13．④ 14．{1,4,6} 15．8 16．6⎩⎨⎧≤<-≤≤--=21,212,2)(3x x x x x f ．17．解：A ＝{1,2}，∵B ⊆A ，∴x2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]＝0． ∴a －1＝1或a －1＝2∴a ＝2或a ＝3①当a ＝2时，C ＝{x|x2－bx ＝0}，C ⊆ A ，不可能； ②当a ＝3时，C ＝{x|x2－bx ＋1＝0}∵C ⊆ A ∴C ＝∅∴△＝b2－4＜0∴－2＜b ＜2 或C ≠∅，由韦达定理得：C ＝{1}∴b ＝2 综上：a ＝2或a ＝3，－2＜b ≤2． 18．解：（1）f (x)＝－2x2＋2x ；（2） (12,＋∞)19．解：（1）依题意，G(x)＝x ＋2．设利润函数为f (x)，则f (x)＝⎩⎨⎧－0.4x ＋3.2x －2.8 (0≤x ≤5)8.2－x (x>5)（2）要使工厂有赢利，即解不等式f (x)＞0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x －2.8＞0，即x2－8x ＋7＜0，∴1＜x ＜7．∴1＜x ≤5；当x ＞5时，解不等式8.2－x ＞0，得x ＜8.2，∴5＜x ＜8.2．综上，1＜x ＜8.2，即产品应控制在大于100台且小于820台的范围．（3）0≤x ≤5时，f (x)＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x)有最大值3.6， 而当x ＞5时，f (x)＜8.2－5＝3.2．此时售价为R(x)4＝2.4（万元/百台）＝240元/台．所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多 20．解：（1）略（2）由f (0)＝2，f (3)＝5∴f (x)＝3的解可能为x ＝1或2． ∵⎩⎨⎧f (3)＝f (1)＋f (2)―2＝5f (2)＝f (1)＋f (1)―2∴f (1)＝3，f (2)＝4 （3）∴f (a2―2a ―2)＜3＝f (1)∵f (x)是增函数∴a2―2a ―2＜1∴－1＜a ＜3 21．解：（1）讨论f (x)在[－1,0]上的最值，（过程略）得：f (x)＝x2＋2x（2）∵f (x)为偶函数，∴b ＝0，∴f (x)在[0，＋∞)为增函数． 可证F(x)是奇函数，且F(x)在[0，＋∞)上为增函数由mn ＜0，不妨设m ＞0，n ＜0且m ＞－n ＞0 F(m)＋F(n)＞0（3）依题意，M ≥|f (－1)|， M ≥|f (0)|， M ≥|f (1)| 又|f (－1)|＝|1－b ＋c|；|f (1)|＝|1＋b ＋c ；|f (0)|＝|c|∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－b ＋c|＋2|c|＋|1＋b ＋c|≥|(1－b ＋c)－2c ＋(1＋b ＋c)|＝2∴M ≥12。