高一扬州中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）一元二次不等式（x﹣1）（x﹣3）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．2．（5分）已知数列1，，，，…的一个通项公式是a n=．，，，，，，，，，，=故答案为：3．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为第14项．＞4．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=2，a6=16，则公比q=2．得则5．（5分）cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为．故答案为：6．（5分）（2013•大连一模）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．cosC=故答案为：7．（5分）在△ABC中，若A=45°，a=，B=60°，则b=．，=得：=故答案为：8．（5分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．9．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的同侧，则a的取值范围为（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）．10．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a13=10，则a3+a5+a7+a9+a11=25．11．（5分）设s n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则=﹣11．项和公式表示∴12．（5分）数列{a n}满足a n=（n∈N*），则等于．依题意，利用裂项法可求得（﹣（∴﹣）∴+）（﹣﹣﹣．故答案为：．本题考查裂项法求和，求得（﹣13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．b=+ax+aa+ax++ax+∴a14．（5分）对于k∈N*，g（k）表示k的最大奇数因子，如：g（3）=3，g（20）=5，设S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n），则S n=．+2故答案为：二．解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知：tanα=﹣，求的值；（2）已知α∈（0，），sin，sin（α+β）=，求cosα的值．，∴=，﹣=，，（，）﹣﹣（﹣×16．（14分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．（Ⅰ）用余弦定理证明：当∠C为钝角时，a2+b2＜c2；（Ⅱ）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．，（13分）外接圆的半径17．（15分）（2010•长宁区二模）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．）由条件得∵，∴18．（15分）如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．（1）求BD2的值；（2）求线段AE的长．=2+由正弦定理可得：19．（16分）（2007•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．∴=+﹣Tn=+﹣20．（16分）（2013•盐城一模）若数列{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C n，使得b n+1=a，并求数列{c n}的前n项和T n；（3）设数列{d n}满足d n=a n•b n，且{d n}中不存在这样的项d t，使得“d k＜d k﹣1与d k＜d k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．=b）的结论，得＜2m∴，则=）的结论，得﹣＜＜，解之得，即，则当t=m，即++t=的取值范围是≤t=。

2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）求值sin75°=．××故答案为：2．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1．平行得﹣=3．（5分）在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．==，4．（5分）直线x﹣2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为﹣．，令在两坐标轴上的截距之和为+，．5．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d=2．=6．（5分）若x+y=1，则x2+y2的最小值为．=）．故答案为：．7．（5分）若数列{a n}满a1=1，=，a8=．==，故答案为：．8．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是．先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的最大值．，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几，）时斜率最大，最大值为故答案为：本题主要考查了线性规划为载体考查9．（5分）（2012•海口模拟）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．，+sin2=（，，+，故答案为﹣．10．（5分）光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2﹣6x﹣6y+17=0所走过的最短路程为4．的距离为．11．（5分）函y=2sinx+sin（﹣x）的最小值是﹣．（）化简为）﹣=2sinx+﹣sinx=sinx+sin．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．由正弦定理条件知，13．（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为m2+n2=3．14．（5分）已知等比数{a n}，a1=1，a4=8，在a n与a n+1两项之间依次插入2n﹣1个正整数，得到数列{b n}，即a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，…则数列{b n}的前2013项之和S2013=2007050（用数字作答）．=2=n++2002==2007二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（﹣1，3），又f（0）=4，一次函数y=g （x）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．（1）求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；（2）求关于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．16．（14分）已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．﹣；，，=，（，），∴﹣=（﹣+×=17．（15分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a﹣．（1）求实数a的值；（2）求数列{na n}的前n项和R n．．==a，解=+++﹣﹣=a，解得=++=1++，②﹣18．（15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30°，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（﹣1）米时，测得塔顶A的仰角为45°．（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．，===，得AD=100，，=ADB=≤=即x=40DO=40时，19．（16分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O 于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．=0d==2=r，符合题意；=k﹣，y与圆方程联立得：，=，，，用代替（）=（）=x+）定点（﹣20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有S n=（）2成立．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）记数列b n=a n+λ，n∈N*，λ∈R，其前n项和为T n．①若数列{T n}的最小值为T6，求实数λ的取值范围；②若数列{b n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b n}，使得对任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．）利用＜+++．，化为，即＞，因为（得：，，得到，化为=法二：由时，，，即}∴，得到，∴＜+++．，化为，即＞，因为＜++＜．数列掌握。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。

3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。

1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。

2023—2024学年高一第二学期期末检测数学2024.06一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 设复数z 满足i 1i z −=+，则i z =（ ）A 2i + B. 2i −C. i −D. i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由i 1i z −=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====−+=−−. 故选：B2. 方程2ln 50x x +−=的解所在区间为（ ） A. ()4,5 B. ()3,4C. ()2,3D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln 5f x x x =+−，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+−=+>，(5)10ln555ln 50f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+−=−<，所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +−=的解所在区间为()2,3，所以C 正确，.对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+−=−<， 所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误， 故选：C3. 数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76C. 77D. 78【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为1045% 4.5×=，所以这10个数的45百分位数为第5个数76. 故选：B4. 已知平面向量()()1,0,1,2a b ==−，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 12,55 −B. 12,55−C.D. 【答案】A 【解析】.【详解】由()()1,0,1,2a b ==−可得11021a b ⋅=−×+×=−；b ==根据投影向量的定义可得a 在b 上的投影向量为112,555b b b b ba ==−=− ⋅.故选：A5. 如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,,C D E .从D 点测得67.5ADC ∠= ，从C 点测得45,75ACD BCE ∠=∠=，从E 点测得60BEC ∠=.若测得DCCE =（单位：百米），则,A B 两点的距离为（ ）百米.A.B.C.D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在ACD 中，67.5ADC ∠= ，45ACD ∠= ， 则18067.54567.5DAC ∠=−−=，AC DC ==在BCE 中，75BCE ∠= ，60BEC ∠=，CE =， 则180756045EBC ∠=−−= ，sin sin CE BCEBC BEC=∠∠，sin sin CE BEC BC EBC ∠∴==∠ ， 在ABC中，ACBC =，18060ACB ACD BCE ∠=−∠−∠= ，则2222?·cos 9AB AC BC AC BC ACB =+−∠=，3AB ∴=.故选：D .6. 在正方体1111ABCD A B C D −中，,,,E F G H 分别是棱111,,,AA AB BC C D 的中点，下列结论正确的是（ ）. A. EF 1GD B. 1D E FG ⊥C. FG ⊥平面11BB D DD. 平面1D EF 平面1GHC【答案】C 【解析】【详解】对于A ，连接111,,,EF D G A B D C ，如下图所示：因为,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，所以1EF A B ∥，由正方体性质可得11A B D C ∥，因此可得1EF D C ∥，而11,D C GD 相交， 所以EF 1GD 错误，即A 错误；对于B ，取1DD 的中点M ，连接,,AM CM AC ，如下图所示：易知1AM D E ，FG AC ，所以MAC ∠即为异面直线1D E 与FG 所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则AM MC ==AC =显然222AM AC MC +≠，可知MAC ∠不是直角，所以1D E 与FG 不垂直，即B 错误； 对于C ，连接11,,AC BD B D ，如下图所示：由正方体性质可得1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥； 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ,又因为,F G 分别是棱,AB BC 的中点，所以FG AC 可得FG ⊥平面11BB D D ，即C 正确； 对于D ，如下图所示：易知1D ∈平面1D EF ，且111D D C ∈，而11D C ⊂平面1GHC ，所以1D ∈平面1GHC ； 因此可得平面1D EF 与平面1GHC 有公共点1D ，可知两平面必有一条过1D 的共公交线； 因此平面1D EF 平面1GHC 是错误的，即D 错误. 故选：C7. 如图，在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，则AD AE ⋅的值为（ ）A. 50B. 80C. 86D. 110【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用平向量基本定理将,AD AE 用,AB AC表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，2212()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，所以21123333AD A C B A AEA AC B⋅=+⋅+ 2224129999AB AB AC AB AC AC =+⋅+⋅+2512144129819929=×+×××+× 32301880=++=.故选：B8. 已知ππcos cos sin cos 36αααα+=−，则πtan 24α+值（ ）A.B.C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】先对ππcos cos sin cos 36αααα+=−利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得π2π,Z 6k k α=+∈，代入πtan 24α+ 中利用两角和的正切公式化简计算即可.【详解】因为ππcos cos sin cos 36αααα+=−， 所以πππππcos cos sin cos sin sin sin sin 36263αααααααα +=−=−−=+，所以ππcos cos sin sin 033αααα+−+=， 所以πcos(2)03α+=，所以ππ2π,Z 32k k α+=+∈， 所以π2π,Z 6k k α=+∈， 所以πππtan 2tan π(Z)446k k α +=++∈ππtan 46 +的ππtantan 46ππ1tan tan46+=−=2=故选：D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9. 在ABC 中，角A B C ､､所对的边为a b c ､､，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）A. 4,5,6a b c === B. 30,45,5A B c ===C. 2,45ab A == D. 3,2,60a b C ===【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C ，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.【详解】对于A ，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A 正确；对于B ，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B 正确；对于C2sin B=可得，sin B =b a >，则B A >,因sin B=>B 有两解，故C 错误； 对于D ，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D 正确. 故选：ABD.10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A ，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B ，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C ，则下列叙述中正确的有（ ） A. A 与B 互斥 B. A 与C 相互独立 C. B 与C 对立 D. ()23P A B +=【答案】BD 【解析】【分析】AC 选项，列举出事件A ，B 和事件C 中的基本事件，得到A B ∩≠∅，B C ∩≠∅，判断出AC错误；B 选项，利用()()()P AC P A P C =作出判断；D 选项，列举出事件A B +中的基本事件，求出概率. 【详解】A 选项，事件A 中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6事件B 中的基本事件有()()()()()()1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()()()1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()()()1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，故A B ∩≠∅，事件A 和事件B 不互斥，A 错误；B 选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A 中的基本事件数为12，故()121363P A ==， 事件C 中的基本事件有()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，故()181362P C ==， 事件AC 中的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，共9种情况，故()61366P AC ==， 由于()()()P AC P A P C =，故A 与C 相互独立，B 正确；C 选项，由AB 选项知，B C ∩≠∅，事件B 与事件C 不互斥，故不对立，C 错误；D 选项，事件A B +中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()3,2,4,2,5,2,6,2， ()()()()3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()3,6,4,6,5,6,6,6，共24种情况，故()242363P A B +==，D 正确. 故选：BD11. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，边长为4，将其沿对角线AC 折成直二面角D AC B ′−−，设M 为AD ′的中点，N 为BC 的中点，则下列结论正确的有（ ）A. 三棱锥D ABC ′−的外接球表面积为32πB. 直线MN 与平面ABC 所成角的正切值为12 C. 点C 到平面OMND. 三角形MON 沿直线MNπ 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A B ，可利用几何法快速解决；对于C ，可利用等体积法；对于D ，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体.【详解】对于A ，由于OAOC OB OD ′===，所以O 为三棱锥D ABC ′−的球心，表面积为2432ππ=，A 正确；对于B ，过M 作MH ⊥AC 于H ，则MH ⊥平面ABC ，所以∠MNH 即为直线MN 与平面ABC 所成的角；易知MH，NH，所以tan MNH ∠B 错误；对于C ，由M ONC C MON V V −−=，所以11233OMN h S =⋅，又MN =的1cos 2MON ∠=−，sin MON ∠，所以1222OMN S =××= C 到平面OMN 的距离h=，C 正确;对于D ，过O 作OT ⊥MN 于T ，则旋转体体积是以OT 为底面半径，以TM 为高的圆锥的体积的两倍，所以123V π=×，D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知一个正四棱台的体积为3152cm ，上､下底面边长分别为4cm 6cm ､，则棱台的高为__________cm .【答案】6 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可.【详解】设棱台高为h ，由棱台的体积公式知(163V h S Sh =++′⇒，其中S S ′、分别为上下底面面积. 故答案为：613. 若复数z 满足2i 1z −=，则z 的最小值是__________. 【答案】1 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得.【详解】如图，设复数z 对应的点为Z ,则由2i 1z −=可知点Z 到点(0,2)A 的距离为1， 即点Z 的轨迹为以点(0,2)A 为圆心，以1为半径的圆，而z 则表示动点Z 到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为1(0,1)Z ,故z 的最小值是1. 故答案为：1.14. 已知ABC 的面积为S)2AB AC S ⋅=，则A ∠=__________.；若2B C ∠=∠，延长CB 至点D ，使得BD AC =，则tan ADC ∠=__________. 【答案】 ①. π3 ②. 【解析】【分析】化简2SAC =⋅即可求得A ∠，结合A ∠的度数以及2B C ∠=∠即可求得4π2π99BC ∠=∠=，，通过设AB x =即可用x 表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tan ADC ∠的值；【详解】由题得12sin cos 2bc A bc A ×，tan A ∴， 因为0πA <<，所以π3A = ； 由π,23ABC ∠=∠=∠可得4π2π99B C ∠=∠=，， 设AB x =，由正弦定理可知sin sin AC AB BC=，所以4πsin92πsin9AC x BD ==， 如图所示：过A 作AE BC ⊥，交BC 的于E 点，4πsin2π4π9sin sin sin 2π99sin 9AE AC C xx ==×=， 4πcos cos 9BE AB ABC x =∠=，所以4πsin4π9cos 2π9sin 9DE BD BE AC BE x x =+=+=+在Rt ADE 中可算得4π4π4πsinsinsin999tan 4π2π4π5π5ππsin 2cos cos 2sin cos 4π99918186cos 2π9sin 9x AE ADC DE x x ∠====++++ ， 故答案为：π3四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知()()0,1,1,2a b ==−.设()2,AB a b BC a b λλ=+=+∈R. （1）若,,A B C 三点共线，求λ值； （2）若AB BC ⊥，求λ的值. 【答案】（1）12λ=（2）125λ=−. 的【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得12λ=； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得125λ=−. 【小问1详解】因为()()()20,121,22,5AB a b =+=+−=−， ()()()0,1,21,2BC a b λλλ=+=+−=−+，又因为,,A B C 三点共线，所以ABBC，则()2215λ−×+=−×， 解得12λ=. 【小问2详解】由AB BC ⊥，可得0AB BC ⋅=，即()()()12520λ−−++=解得125λ=−. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费（单位：元）x2x3x5x7x（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在[)30,40和[)40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段[)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【答案】（1）815（2）250元. 【解析】【分析】（1）先由概率和为1求出a 的值，再利用分层随机抽样的概念确定在[)30,40和在[)40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案.（2）求出保险公司每年收取的保费为100004x ×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】由()0.0070.0160.0250.02101a ++++×=得0.032a =， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内”为事件M .由题设可知，年龄在[)30,40和[)40,50内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在[)30,40内的有2人，年龄在[)40,50内的有4人.记年龄在[)30,40内2位参保人员为,a b ，年龄在[)40,50的4位参保人员为,,,A B C D ，则从6人中任取2人，样本空间()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C a D b A b B b C b D =，()()()()()(),,,,,,,,,,,}A B A C A D B C B D C D 共包含15个样本点，()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,M a A a B a C a D b A b B b C b D =共包含8个样本点，所以()815P M =. 【小问2详解】保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2550.27100004x x x x x x +×+×+×+×=×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，即4200x ≥，解得50x ≥，所以年龄段[)50,60需要缴纳的保费至少为250元.17. 已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−. （1）当π0,2x∈时，求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.【答案】（1）1 −− ；（2）9π2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π214f x x=+−，再根据正弦函数单调性可得其值域；（2）求出函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】易知()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x =++−+−ππππsin2coscos2sin sin2cos cos2sin cos213333x x x x x =++−+−sin2cos2121x x x+−=−因为π0,2∈x ，所以ππ5π2,444x+∈ ，由正弦函数单调性可得πsin 24x+∈，则()f x 的值域为1 −【小问2详解】因为[]0,2πx ∈，所以ππ17π2,444x +∈，由()0f x =得πsin 24x+所以ππ3π9π11π17π2,,,,444444x +=，解得π5π0,,π,,2π44x =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为π5π9π0π2π442++++=. 18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN //平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ； （3）求二面角1B AA C −−的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3【解析】分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形1AA B 证1A M AB ⊥，再由勾股定理逆定理证1A M MC ⊥，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作CH AB ⊥，证CH ⊥平面1A AB ，作1HK AA ⊥，证1AA CK ⊥，得HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角，由题设求得,CH HK 即得.【小问1详解】【如图（1），连接1BC .由三棱柱111ABC A B C 可知侧面11AAC C 为平行四边形，所以N 为1AC 中点； 又因为M 为AB 中点，所以MN //1BC ，又MN ⊄平面111,BB C C BC ⊂平面11BB C C ，所以MN //平面11BB C C ； 【小问2详解】如图（2），连接1,MC A B .由菱形11ABB A 可知12A AAB ==，因为160A AB ∠= ，可得1AA B 为等边三角形；因M 是AB 中点，则1A M AB ⊥，且1A M =；由90ACB ∠= 可得，112MC AB ==； 因为12AC =，则有22211A M MC AC +=，即1A M MC ⊥， 又,MC ABM MC ∩=⊂平面,ABC AB 平面ABC ，故1A M ⊥平面ABC ； 【小问3详解】由（2）可知1A M ⊥平面ABC ，因为1A M ⊂平面1A AB ，所以平面1A AB ⊥平面ABC ； 如图（3），过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，过H 作1HK AA ⊥，垂足为K ，连接CK . 因为CH ⊂平面,ABC 平面1A AB 平面ABC AB =，所以CH ⊥平面1A AB ，因为1AA ⊂平面1,A AB HK ⊂平面1A AB ，所以1,CH AA CH HK ⊥⊥；因为1,,HK AA HK CHH CH ⊥∩=⊂平面,CHK HK ⊂平面CHK ，所以1AA ⊥平面CHK ， 又CK ⊂平面CHK ，所以1AA CK ⊥，所以HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角.在Rt ABC △中，90,2,1ACB AB BC ∠=== ，可得32CHAH =，在Rt AHK 中，1,60HK AA HAK ⊥∠=，可得sin HK AH HAK ∠==， 在Rt CHK △中，CH HK ⊥，可得2tan 3CH HKCHK ∠==，因为π0,2HKC∠∈，所以sin HKC ∠=，即二面角1B AA C −−. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础.19. 如图所示，已知ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，在ABD △中，6,3AD BD ==，2DE EB =.（1）若135ADB ∠= ，求ABC 的面积； （2）①求26cos AB AB ABD ∠−⋅的值； ②求2CE 的最大值.【答案】（1）454+（2）①27；②412+. 【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可; (2)①利用余弦定理求解即可；②在ABD △中，由正弦定理可得BC AB=，在BCE 中，由余弦定理得()2412CE θϕ−+，结合三角函数求解最值即可. 【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得，2369263cos13545AB =+−××=+ ，且ABC 是等腰直角三角形，则22111452244ABC S AC CB AC AB =⋅===+【小问2详解】 ①设,0πADB ∠θθ=<<，因为6,3AD BD ==，由余弦定理可得，2222936cos 26AB BD AD AB ABD AB BD AB∠+−+−==⋅， 227cos 6AB AB ABD ∠−∴=，即26cos 27AB ABD ∠−⋅=； ②在ABD △中，2222cos 4536cos AB AD BD AD BD ADB ∠θ=+−⋅⋅=−， 由正弦定理可得sin sin AD ABABD ∠θ=，则sin sin 6sin AB ABD AD ∠θθ==，2,1DE EB EB =∴=，又BC AB =， 在BCE 中，由余弦定理得()2222cos 45CEBC BE BC BE ABD =+−⋅⋅+∠)221121cos sin 2AB AB ABD ABD +−⋅∠−∠ ()22211271cos sin 16sin 226AB AB AB ABD AB ABD AB θ −+−∠−∠=+−−2111416sin 6sin 12cos 322AB θθθ=++=−+ ()412θϕ−+（其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=）， 由0πθ<<可得πϕθϕϕ−<−<−，所以当π2θϕ−=时，即π2θϕ=+时，2CE 取得最大值412+.。

1A2A120 105江苏省扬州中学2012—2013学年第二学期阶段测试高一数学试题2013．3．22一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知0sin ,0cos <>αα，则α为第 ▲ 象限角。

2．若23ππ<<x ，则方程2sin 10x +=的解x = ▲ ． 3．下列函数为偶函数，且在(),0-∞上单调递增的函数是 ▲ ．①()23f x x = ②()3f x x -= ③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭④x x f lg )(=4．已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则=αsin ▲ ． 5．在ABC ∆中,1,2,120==︒=∠AC AB BAC ,D 是边BC 上一点,BD DC 2=,则=⋅BC AD ▲ ．6．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，若bc c b a ++=222，且sin sin 1B C +=，则角B= ▲ ．7．在△ABC 中，如果1tan tan 0<<B A ，那么△ABC 是 ▲ 三角形．(填“钝角”、“锐角”、“直角”)8．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin α=(4cos 2)f α的值 为 ▲ ．9．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后得向量OQ ， 则点Q 的坐标是 ▲．10．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定 方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙 船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行 ▲ 海里？11．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝ π3，当△ABC 的面积为3时，tan C ＝ ▲ ．12．在ABC ∆中,66cos ,364=∠=ABC AB ,边AC 上的中线5=BD ,则 =A sin ▲ ．13．对任意实数x 和任意]2,0[πθ∈，恒有81)cos sin ()cos sin 23( 22≥+++++θθθθa a x x ，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >。

扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学2014．6（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．不等式01xx <-的解集为 ▲ .2．直线l：30x +=的倾斜角为 ▲ .3．在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若75CAB ∠=，60CBA ∠=，则,A C 两点之间的距离是 ▲ 千米（结果保留根号）.4．圆1O 22:40x y x +-=和圆2O 22:20x y y +-=的位置关系是 ▲ .5．等比数列{}n a 的公比为正数，已知23954a a a ⋅=，22a =，则1a = ▲ .6．已知圆22:240O x y x my +-+-=上两点,M N 关于直线20x y +=对称，则圆O 的半径为 ▲ .7．已知实数,x y 满足条件20510000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ .8．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，则β= ▲ .9．若数列{}n a 满足：112a =，112n n n a a n++=（*n N ∈），则{}n a 的通项公式为n a =▲ .10．已知函数()2f x =2cos ()12x π++2sin cos 3x x -，(0,)3x π∈，则函数()f x 的值域为▲ .11．已知函数()2xf x =，()()8f a f b ⋅=，若0a >且0b >，则14a b+的最小值为 ▲ .12．等比数列{}n a 的公比12q =，前5项的和为3164．令12log n n b a =，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，若n T c <对*n N ∈恒成立，则实数c 的最小值为 ▲ .13．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为,,a b c ．若2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是▲ .14．实数,,a b c 成等差数列，过点(3,2)P -作直线0ax by c ++=的垂线，垂足为M ．又已知点(2,3)N ，则线段MN 长的取值范围是 ▲ .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知ABC ∆的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ． （1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos b A c A a C =+． （1）求角A 的大小；（2）若b c +=，ABC ∆的面积S =，求a 的长． 17．（本题满分15分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n S n n =+．等比数列{}n b 满足：143,81b b ==． （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）若312123nn na a a a Tb b b b =++++，求n T ．18．（本题满分15分）如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．QPDCBA19．（本题满分16分）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M ． （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线28y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分16分）（1）公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项，525S =． ①求数列{}n a 的通项公式；②令(0)n Sn b t t =>，若对一切*n N ∈，都有2122n n n b b b ++>，求t 的取值范围； （2）是否存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，若存在，请写出数列{}n c 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学 参 考 答 案 2014．61．(0,1) 2．6π34．相交 5．1 6．3 7．11 8． 3π 9． 2n n 10．(2,1]-- 11．312．1213． 14．15．解：（1）12AB k =，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2- …………3分又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-= …7分（2）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k = …10分 3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y +=- ……………12分∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57=∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． …………14分注：设直线斜截式求解也可.16．解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，即2sin cos sin()B A A C =+；∵()B A C π=-+ ∴sin sin()B A C =+ 且不为0 ∴1cos 2A = ∵(0,)A π∈ ∴3A π= ……………7分（2）∵1sin 2S bc A === ∴13bc = (9)分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， ……………11分又∵b c +=，0a >∴2221a a =-，解得：1a = (14)分17．解：（1）由已知得：13a =， ………………2分2n ≥且*n N ∈时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+经检验1a 亦满足21n a n =+ ∴21(*)n a n n N =+∈ ………………5分∴1[2(1)1](21)2n n a a n n +-=++-+=为常数∴{}n a 为等差数列，且通项公式为21(*)n a n n N =+∈ ………………7分（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则34127b q b ==， ∴3q =，则1333n n n b -=⨯=，*n N ∈ ∴213n n n a n b += ……………9分23357213333n n n T +∴=++++ ①234113572121333333n nn n n T +-+=+++++ ② ①-②得：2123411111(1)2111121214243312()12133333333313n n n n n n n n n T -+++-+++=++++-=+⨯-=--…13分22,*3n nn T n N +∴=-∈………………15分18．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1tan()100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=- ∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+ …5分其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan 50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤ (8)分（2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=- ……………13分当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S有最大值50-． ……………15分19．解：（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为：1x =，为圆O 的切线； …………1分当切线l 的斜率存在时，设直线方程为：4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=， ∴圆心O1=，解得：158k =∴直线方程为：158x y -+．综上，切线的方程为：1x =或158170x y -+= ……………4分 （2）点(1,4)M 到直线280x y --=的距离为：d == 又∵圆被直线28y x =-截得的弦长为8∴6r == ……………7分∴圆M的方程为：22(1)(4)36x y -+-= ……………8分（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQ PRλ= ∵点P 在圆M 上 ∴22(1)(4)36x y -+-=，则222819x y x y +=++ ……………10分 ∵PQ为圆O的切线∴OQ PQ ⊥∴222211PQ PO x y =-=+-，222()()PR x a y b =-+-22221[()()]x y x a y b λ∴+-=-+-即2228191(281922)x y x y ax by a b λ++-=++--++整理得：22(222)(882)(1819)0a x b y a b λλλλλλλ-++-++---=（*）若使（*）对任意,x y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩……………13分∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得：221441819()()0λλλλλλλ-----= 整理得：23652170λλ-+=，解得：12λ=或1718λ= ∴1214a b λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩∴存在定点R (1,4)--，此时PQ PR为定值2或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR为定值6． ………………16分20．解：（1）①设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵525S =∴ 15535()5252a a S a +=== ∴35a = ∵{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项 ∴2213(1)(1)(3)a a a +=++即2333(1)(21)(3)a d a d a -+=-++，∴2(6)8(62)d d -=-解得：2d =或6d =-∵0d > ∴2d = ∴52(3)21n a n n =+-=-， *n N ∈ ………4分②∵11a = ∴2n S n = ∴2n n b t = ∴222(1)2(2)[]2n n n t t t ++>⋅，整理得：212t < ∵0t >∴02t << ………7分（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，则 ∴1212n n n n c cc c +++>⨯ ∴112n n n n c c c c +->⨯，……，32122c cc c >⨯，将1n -个不等式叠乘得：11122n n n c c c c -+>⨯ ∴121112n n n c cc c +-<⨯（2,*n n N ≥∈） ………10分 若211c c <，则211112n cc -⨯< ∴当*n N ∈时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令1c M =，所以22111211()()()()(1)10M M M M M M M c c c c c c c c c c M M ++++-=-+-+-++-+≤-++=-<与2*M c N +∈矛盾． ………13分 若211c c ≥，取N 为221log 2c c +的整数部分，则当n N ≥时，211112n c c -⨯<∴当n N ≥时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令N c M =，所以111121()()()()(1)10N M N M N M N M N M N M N M N N Nc c c c c c c c c c M M +++++++-+-+-+=-+-+-++-+≤-++=-<与1*N M c N ++∈矛盾．∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立． ………16分。

江苏省扬州市第十二高级中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米。

按照此计划，当年建设的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是（参考数据：）（）A.2011年B.2012年C.2013年D.2014年参考答案：B2. 二次函数的单调递增区间是（）A． B．(4，+￥) C． [1，+￥) D．（－￥，1）参考答案：C略3. 函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≤1且x≠0，∴函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：D．4. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：B略5. 给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有（）A．1对 B．2对 C．3对D．4对参考答案：B6. 下列函数中表示相同函数的是( )A．与B．与C．与D．与参考答案：C略7. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A．B．C．D．参考答案：C8. 已知，则的范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 1B. 2C.D.参考答案：D【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.10. 将化为角度是( )A 480°B 240°C 120°D235°参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是______________．参考答案：略12. 不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点．参考答案：（﹣2，1）【考点】IP：恒过定点的直线．【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组可得答案．【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点，解方程组可得∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）【点评】本题考查直线过定点，涉及方程组的解法，属基础题．13. 如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：①；②与是异面直线；③与成角；④与成角。

扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学2013．01全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．若集合}11|{≤≤-=x x M ，2{|20}N x x x =-≤，则M∩N = ▲ ． 2．将复数ii-+121(i 是虚数单位)写成),(R b a bi a ∈+，则=+b a ▲ ． 3．已知向量()()k ,1,1,2-==，若⊥，则k 等于 ▲ ． 4．已知函数2log ()3xx f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤，则=)]0([f f ▲ ． 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ▲ ．6．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ．7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ．8．已知圆C 的圆心为抛物线x y 42-=的焦点,又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ．9．设a b 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若,a b a α⊥⊥，则//b α， ②若,a βαβ⊥⊥，则//a α, ③若βαβα⊥⊥则,,//a a ④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥,其中正确的命题序号是 ▲ ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c，且3,sin 2sin a b C A ==，则sin A = ▲ ． 11．已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． 12． 如图所示：矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)f x x x x=+>的图像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ▲ ．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+= ▲ ．14．数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量)1,(sin -=x ，)21,cos 3(-=x ，函数2)(2-⋅+=x f ． （Ⅰ）求)(x f 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（Ⅱ）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，且a ，b ，c成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求CA tan 1tan 1+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O 。

2023—2024学年高一第二学期期末检测数学2024.06一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 设复数z 满足i 1i z −=+，则i z =（ ） A 2i + B. 2i −C. i −D. i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由i 1i z −=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====−+=−−. 故选：B2. 方程2ln 50x x +−=的解所在区间为（ ） A. ()4,5 B. (3,4C. ()2,3D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln 5f x x x =+−，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+−=+>，(5)10ln555ln 50f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+−=−<，所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +−=的解所在区间为()2,3，所以C 正确，.对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+−=−<， 所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误， 故选：C3. 数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76C. 77D. 78【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为1045% 4.5×=，所以这10个数的45百分位数为第5个数76. 故选：B4. 已知平面向量()()1,0,1,2a b ==−，则a在b上的投影向量为（ ） A. 12,55 −B. 12,55−C.D.【答案】A 【解析】.【详解】由()()1,0,1,2a b ==−可得11021a b ⋅=−×+×=−；b ==根据投影向量的定义可得a 在b 上的投影向量为112,555b b b b ba ==−=− ⋅.故选：A5. 如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,,C D E .从D 点测得67.5ADC ∠= ，从C 点测得45,75ACD BCE ∠=∠=，从E 点测得60BEC ∠=.若测得DCCE =，则,AB 两点的距离为（ ）百米.A.B.C.D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在ACD 中，67.5ADC ∠= ，45ACD ∠= ， 则18067.54567.5DAC ∠=−−=，AC DC ==，在BCE 中，75BCE ∠= ，60BEC ∠=，CE =， 则180756045EBC ∠=−−= ，sin sin CE BCEBC BEC=∠∠，sin sin CE BEC BC EBC ∠∴==∠ ， 在ABC中，ACBC =，18060ACB ACD BCE ∠=−∠−∠= ，则2222?·cos 9AB AC BC AC BC ACB =+−∠=，3AB ∴=.故选：D .6. 在正方体1111ABCD A B C D −中，,,,E F G H 分别是棱111,,,AA AB BC C D 的中点，下列结论正确的是（ ）. A. EF 1GD B. 1D E FG ⊥C. FG ⊥平面11BB D DD. 平面1D EF 平面1GHC【答案】C 【解析】【详解】对于A ，连接111,,,EF D G A B D C ，如下图所示：因为,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，所以1EF A B ∥，由正方体性质可得11A B D C ∥，因此可得1EF D C ∥，而11,D C GD 相交， 所以EF 1GD 错误，即A 错误；对于B ，取1DD 的中点M ，连接,,AM CM AC ，如下图所示：易知1AM D E ，FG AC ，所以MAC ∠即为异面直线1D E 与FG 所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则AM MC ==AC =，显然222AM AC MC +≠，可知MAC ∠不是直角，所以1D E 与FG 不垂直，即B 错误； 对于C ，连接11,,AC BD B D ，如下图所示：由正方体性质可得1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥； 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ,又因为,F G 分别是棱,AB BC 的中点，所以FG AC 可得FG ⊥平面11BB D D ，即C 正确； 对于D ，如下图所示：易知1D ∈平面1D EF ，且111D D C ∈，而11D C ⊂平面1GHC ，所以1D ∈平面1GHC ； 因此可得平面1D EF 与平面1GHC 有公共点1D ，可知两平面必有一条过1D 的共公交线； 因此平面1D EF 平面1GHC 是错误的，即D 错误. 故选：C7. 如图，在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，则AD AE ⋅的值为（ ）A. 50B. 80C. 86D. 110【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用平向量基本定理将,AD AE 用,AB AC表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，2212()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，所以21123333AD A C B A AEA AC B⋅=+⋅+ 2224129999AB AB AC AB AC AC =+⋅+⋅+2512144129819929=×+×××+× 32301880=++=.故选：B8. 已知ππcos cos sin cos 36αααα+=−，则πtan 24α+值（ ）A.B.C. 2D. 2【答案】D 【解析】【分析】先对ππcos cos sin cos 36αααα+=−利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得π2π,Z 6k k α=+∈，代入πtan 24α+ 中利用两角和的正切公式化简计算即可.【详解】因为ππcos cos sin cos 36αααα+=−， 所以πππππcos cos sin cos sin sin sin sin 36263αααααααα+=−=−−=+ ， 所以ππcos cos sin sin 033αααα +−+=， 所以πcos(2)03α+=，所以ππ2π,Z 32k k α+=+∈， 所以π2π,Z 6k k α=+∈， 所以πππtan 2tan π(Z)446k k α +=++∈ππtan 46 +的ππtantan 46ππ1tan tan46+=−=2=故选：D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9. 在ABC 中，角A B C ､､所对的边为a b c ､､，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）A. 4,5,6a b c === B. 30,45,5A B c ===C. 2,45ab A == D. 3,2,60a b C ===【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C ，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.【详解】对于A ，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A 正确；对于B ，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B 正确；对于C2sin B=可得，sin B =b a >，则B A >,因sin B=>，结合正弦函数的图象可知角B 有两解，故C 错误； 对于D ，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D 正确. 故选：ABD.10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A ，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B ，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C ，则下列叙述中正确的有（ ） A. A 与B 互斥 B. A 与C 相互独立 C. B 与C 对立 D. ()23P A B +=【答案】BD 【解析】【分析】AC 选项，列举出事件A ，B 和事件C 中的基本事件，得到A B ∩≠∅，B C ∩≠∅，判断出AC错误；B 选项，利用()()()P AC P A P C =作出判断；D 选项，列举出事件A B +中的基本事件，求出概率. 【详解】A 选项，事件A 中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6事件B 中的基本事件有()()()()()()1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()()()1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()()()1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，故A B ∩≠∅，事件A 和事件B 不互斥，A 错误；B 选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A 中的基本事件数为12，故()121363P A ==， 事件C 中的基本事件有()(()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，故()181362P C ==， 事件AC 中的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，共9种情况，故()61366P AC ==， 由于()()()P AC P A P C =，故A 与C 相互独立，B 正确；C 选项，由AB 选项知，B C ∩≠∅，事件B 与事件C 不互斥，故不对立，C 错误；D 选项，事件A B +中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()3,2,4,2,5,2,6,2， ()()()()3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()3,6,4,6,5,6,6,6，共24种情况，故()242363P A B +==，D 正确. 故选：BD11. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，边长为4，将其沿对角线AC 折成直二面角D AC B ′−−，设M 为AD ′的中点，N 为BC 的中点，则下列结论正确的有（ ）A. 三棱锥D ABC ′−的外接球表面积为32πB. 直线MN 与平面ABC 所成角的正切值为12 C. 点C 到平面OMND. 三角形MON 沿直线MN【答案】ACD 【解析】【分析】对于A B ，可利用几何法快速解决；对于C ，可利用等体积法；对于D ，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体.【详解】对于A ，由于OAOC OB OD ′===，所以O 为三棱锥D ABC ′−的球心，表面积为2432ππ=，A 正确；对于B ，过M 作MH ⊥AC 于H ，则MH ⊥平面ABC ，所以∠MNH 即为直线MN 与平面ABC 所成的角；易知MH，NH，所以tan MNH ∠B 错误；对于C ，由M ONC C MON V V −−=，所以11233OMN h S =⋅，又MN =，所以的1cos2MON ∠=−，sin MON ∠，所以1222OMN S =××= C 到平面OMN 的距离h=，C 正确;对于D ，过O 作OT ⊥MN 于T ，则旋转体体积是以OT 为底面半径，以TM 为高的圆锥的体积的两倍，所以123V π=×，D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知一个正四棱台的体积为3152cm ，上､下底面边长分别为4cm 6cm ､，则棱台的高为__________cm .【答案】6 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可.【详解】设棱台高为h ，由棱台的体积公式知(163V h S Sh =++′⇒，其中S S ′、分别为上下底面面积. 故答案为：613. 若复数z 满足2i 1z −=，则z 的最小值是__________. 【答案】1 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得.【详解】如图，设复数z 对应的点为Z ,则由2i 1z −=可知点Z 到点(0,2)A 的距离为1， 即点Z 的轨迹为以点(0,2)A 为圆心，以1为半径的圆，而z 则表示动点Z 到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为1(0,1)Z ,故z 的最小值是1. 故答案为：1.14. 已知ABC 的面积为S)2AB AC S ⋅=，则A ∠=__________.；若2B C ∠=∠，延长CB 至点D ，使得BD AC =，则tan ADC ∠=__________. 【答案】 ①. π3 ②. 【解析】【分析】化简2SAC =⋅即可求得A ∠，结合A ∠的度数以及2B C ∠=∠即可求得4π2π99BC ∠=∠=，，通过设AB x =即可用x 表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tan ADC ∠的值；【详解】由题得12sin cos 2bc A bc A ×，tan A ∴， 因为0πA <<，所以π3A = ； 由π,23ABC ∠=∠=∠可得4π2π99B C ∠=∠=，， 设AB x =，由正弦定理可知sin sin AC AB BC=，所以4πsin92πsin9AC x BD ==， 如图所示：过A 作AE BC ⊥，交BC 的于E 点，4πsin2π4π9sin sin sin 2π99sin 9AE AC C xx ==×=， 4πcos cos 9BE AB ABC x =∠=，所以4πsin4π9cos 2π9sin 9DE BD BE AC BE x x =+=+=+在Rt ADE 中可算得4π4π4πsinsinsin999tan 4π2π4π5π5ππsin 2cos cos 2sin cos 4π99918186cos 2π9sin 9x AE ADC DE x x ∠====++++ ， 故答案为：π3四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知()()0,1,1,2a b ==−.设()2,AB a b BC a b λλ=+=+∈R. （1）若,,A B C 三点共线，求λ值； （2）若AB BC ⊥，求λ的值. 【答案】（1）12λ=（2）125λ=−. 的【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得12λ=； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得125λ=−. 【小问1详解】因为()()()20,121,22,5AB a b =+=+−=−， ()()()0,1,21,2BC a b λλλ=+=+−=−+，又因为,,A B C 三点共线，所以AB BC，则()2215λ−×+=−×， 解得12λ=. 【小问2详解】由AB BC ⊥，可得0AB BC ⋅=，即()()()12520λ−−++=解得125λ=−. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费（单位：元）x2x3x5x7x（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在[)30,40和[)40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段[)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【答案】（1）815（2）250元. 【解析】【分析】（1）先由概率和为1求出a 的值，再利用分层随机抽样的概念确定在[)30,40和在[)40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案.（2）求出保险公司每年收取的保费为100004x ×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】由()0.0070.0160.0250.02101a ++++×=得0.032a =， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内”为事件M .由题设可知，年龄在[)30,40和[)40,50内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在[)30,40内的有2人，年龄在[)40,50内的有4人.记年龄在[)30,40内2位参保人员为,a b ，年龄在[)40,50的4位参保人员为,,,A B C D ，则从6人中任取2人，样本空间()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C a D b A b B b C b D =，()()()()()(),,,,,,,,,,,}A B A C A D B C B D C D 共包含15个样本点，()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,M a A a B a C a D b A b B b C b D =共包含8个样本点，所以()815P M =. 【小问2详解】保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2550.27100004x x x x x x +×+×+×+×=×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，即4200x ≥，解得50x ≥，所以年龄段[)50,60需要缴纳的保费至少为250元.17. 已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−. （1）当π0,2x∈时，求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.【答案】（1）1 − ；（2）9π2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π214f x x=+−，再根据正弦函数单调性可得其值域；（2）求出函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】易知()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−ππππsin2coscos2sin sin2cos cos2sin cos213333x x x x x =++−+−sin2cos2121x x x+−=−因为π0,2∈x ，所以ππ5π2,444x +∈ ，由正弦函数单调性可得πsin 24x+∈，则()f x 的值域为1 −−【小问2详解】因为[]0,2πx ∈，所以ππ17π2,444x +∈，由()0f x =得πsin 24x+所以ππ3π9π11π17π2,,,,444444x +=，解得π5π0,,π,,2π44x =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为π5π9π0π2π442++++=. 18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN //平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ； （3）求二面角1B AA C −−的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3【解析】分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形1AA B 证1A M AB ⊥，再由勾股定理逆定理证1A M MC ⊥，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作CH AB ⊥，证CH ⊥平面1A AB ，作1HK AA ⊥，证1AA CK ⊥，得HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角，由题设求得,CH HK 即得.【小问1详解】【如图（1），连接1BC .由三棱柱111ABC A B C 可知侧面11AAC C 为平行四边形，所以N 为1AC 中点； 又因为M 为AB 中点，所以MN //1BC ，又MN ⊄平面111,BB C C BC ⊂平面11BB C C ，所以MN //平面11BB C C ； 【小问2详解】如图（2），连接1,MC A B .由菱形11ABB A 可知12A AAB ==，因为160A AB ∠= ，可得1AA B 为等边三角形；因M 是AB 中点，则1A M AB ⊥，且1A M =90ACB ∠= 可得，112MC AB ==； 因为12AC =，则有22211A M MC AC +=，即1A M MC ⊥， 又,MC ABM MC ∩=⊂平面,ABC AB 平面ABC ，故1A M ⊥平面ABC ； 【小问3详解】由（2）可知1A M ⊥平面ABC ，因为1A M ⊂平面1A AB ，所以平面1A AB ⊥平面ABC ； 如图（3），过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，过H 作1HK AA ⊥，垂足为K ，连接CK . 因为CH ⊂平面,ABC 平面1A AB 平面ABC AB =，所以CH ⊥平面1A AB ，因为1AA ⊂平面1,A AB HK ⊂平面1A AB ，所以1,CH AA CH HK ⊥⊥；因为1,,HK AA HK CHH CH ⊥∩=⊂平面,CHK HK ⊂平面CHK ，所以1AA ⊥平面CHK ， 又CK ⊂平面CHK ，所以1AA CK ⊥，所以HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角.在Rt ABC △中，90,2,1ACB AB BC ∠=== ，可得32CHAH =，在Rt AHK 中，1,60HK AA HAK ⊥∠=，可得sin HK AH HAK ∠== 在Rt CHK △中，CH HK ⊥，可得2tan 3CH HKCHK ∠==，因为π0,2HKC ∠∈ ，所以sin HKC ∠=，即二面角1B AA C −−【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础.19. 如图所示，已知ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，在ABD △中，6,3AD BD ==，2DE EB =.（1）若135ADB ∠= ，求ABC 的面积； （2）①求26cos AB AB ABD ∠−⋅的值； ②求2CE 的最大值.【答案】（1）454+（2）①27；②412+. 【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可; (2)①利用余弦定理求解即可；②在ABD △中，由正弦定理可得BC AB =，在BCE 中，由余弦定理得()2412CE θϕ−+，结合三角函数求解最值即可. 【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得，2369263cos13545AB =+−××=+且ABC 是等腰直角三角形，则22111452244ABC S AC CB AC AB =⋅===+【小问2详解】 ①设,0πADB ∠θθ=<<，因为6,3AD BD ==，由余弦定理可得，2222936cos 26AB BD AD AB ABD AB BD AB∠+−+−==⋅， 227cos 6AB AB ABD ∠−∴=，即26cos 27AB AB ABD ∠−⋅=； ②在ABD △中，2222cos 4536cos AB AD BD AD BD ADB ∠θ=+−⋅⋅=−， 由正弦定理可得sin sin AD ABABD ∠θ=，则sin sin 6sin AB ABD AD ∠θθ==，2,1DE EB EB =∴=，又BC AB =， 在BCE 中，由余弦定理得()2222cos 45CEBC BE BC BE ABD =+−⋅⋅+∠)221121cos sin 2AB AB ABD ABD +−⋅∠−∠ ()22211271cos sin 16sin 226AB AB AB ABD AB ABD AB θ −+−∠−∠=+−−2111416sin 6sin 12cos 322AB θθθ=++=−+ ()412θϕ−+（其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=）， 由0πθ<<可得πϕθϕϕ−<−<−，所以当π2θϕ−=时，即π2θϕ=+时，2CE 取得最大值412+。

AO 1x By C2x y =4x y =江苏省扬州中学2012—2013学年第一学期期末考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案写在答题纸上相应题号后的横线上）1．已知数集M={2x ，}1，则实数x 的取值范围为 ▲ ．2．设点A （x ，y ）是300o 角终边上异于原点的一点，则 yx 的值为 ▲ ．3．幂函数()f x 的图象经过点(3,3)，则()f x 的解析式是 ▲ . 4．方程x x 24lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ▲ ． 5．求值：1425sincos()=34ππ+- ▲ ． 6．已知向量(1,1),(1,2)a b =-=，且(2)//()a b a b λ+-，则=λ___▲______． 7．函数=y x1ln的图像先作关于x 轴对称得到图像1C ，再将1C 向右平移一个单位得到图像2C ，则2C 的解析式为 ▲ ．8．已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ▲ cm 2． 9．函数y ＝13log (2)x -的定义域为 ▲ .10．若1a =,2b =,若()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．11．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)()=2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪⎨⎪≤<⎩，则15()4f π-= ▲ .12．如图，过原点O 的直线与函数y =x2的图像交与A 、B 两点， 过B 作y 轴的垂线交函数y =x4的图像于点C ，若AC 平行于y 轴， 则点A 的坐标为 ▲ ．13．定义在区间] ,[22-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若(1) ()g m g m -<， 则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．若关于x 的方程kx x x =-2||有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分）（第12题图）15．（本小题14分）已知集合{}|234,A x x x =<-<≤或{}2|2150B x x x =--≤．求：（1）A B ；（2）若{}|C x x a =≥，且B C B =，求a 的范围．16．（本小题14分）sin α，cos α为方程012442=-+-m mx x的两个实根，(,0)2πα∈-，求m 及α的值.17．（本小题15分）已知函数()12(1)x xf x a a a 2=-->. （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值.18．（本小题15分）已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如下图所示. （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；O1211π y21-2x（3）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个 125π不同的实数根，求实数m 的取值范围.19．（本小题16分）已知△OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且O P P B λ=，点Q 是边AB上一点,且0OQ AP ⋅=. (1)求实数λ的值与点P 的坐标； (2)求点Q 的坐标；(3)若R 为线段OQ 上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.20．（本小题16分）已知函数|21|1()x a f x e -+=，||12(),,16x a f x e x R a -+=∈≤≤。