2014—2015学年江苏省扬州中学高一数学期中考试试题试卷及答案

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。

3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。

1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。

由 an 0 an 1 0
11 2n 0
……………………………… 10 分
11 2(n 1) 0
4.5 n 5.5 ……………………………… 12 分
又n N
故 n 5 ……………………………… 14 分
16．（本小题１４分）
已知
， cos（α﹣ β）= ， sin（α+β）=
．求 sin2α的值．
（ a1
17
7
，d
, a12 =15）
4
4
4．设 θ为第二象限角，若
，则 sinθ+cosθ=
．（ ）
2
．
解：∵tan（ θ+ ） =
=，
∴tanθ=﹣ ， ∵θ为第二象限角，
∴cosθ= ﹣
=﹣
， sinθ=
=，
则 sinθ+cosθ= ﹣
=﹣ ．
故答案为：﹣
5. △ABC 中，∠B=120 °， AC=7 ， AB=5 ，则 △ABC 的面积为
7． sin15 s°in75 的°值是
．
解：∵sin15 °sin75 °
=sin15 °cos15°
= sin30°
1
=．
8．在 △ABC 中， AB=5 ， AC=7 ， BC=8 ，则 BC 边上的中线 AD 的长等于
．
（ 21 ）
9. 已知 { an } 是等差数列， a1 =1，公差 d≠0，Sn 为其前 n 项和， 若 a1 ， a2 ， a5 成等比数列，
则 S8=
．
解：∵{a n} 是等差数列， a1， a2，a5 成等比数列，
∴
=a1?（ a1+4d），又 a1=1，

2014-2015学年省中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（2015•高邮市校级模拟）若全集U=R，集合M={x|x2﹣x≥0}，则集合∁U M=（0，1）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：把集合M化简，由实数集中不在集合M中的元素构成的集合就是M的补集．解答：解：M={x|x2﹣x≥0}={x|x≤0或x≥1}，又全集U=R，所以，∁U M={x|0＜x＜1}．故答案为（0，1）．点评：本题考查了补集及其运算，注意借助于数轴解答，是基础题．2．（2015春•校级期中）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x a，由f（x）过点（2，），知，由此能求出f（4）．解答：解：设幂函数f（x）=x a，∵f（x）过点（2，），∴，∴f（4）=x4=（x2）2==，故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用．3．（2015春•校级期中）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1，则函数f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）2．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：将f（x+1）=x2﹣2x+1变形，令x=x+1替换即可．解答：解：∵f（x+1）=x2﹣2x+1=x2+2x+1﹣4（x+1）+4=（x+1）2﹣4（x+1）+4，∴f（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查转化思想，是一道基础题．4．（2013•淇县校级一模）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性5．（2014春•海安县校级期末）函数的值域为（0，1）．考点：函数的值域．分析：将函数变形为，因为2x＞0，用观察分析法求值域即可．解答：解：，∵2x＞0，∴，∴0＜y＜1故答案为：（0，1）点评：本题考查函数的值域问题，属基本题型、基本方法的考查．6．（2013•一模）由下列各式：，…，归纳第n个式子应是．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中：，观察分析不等式两边的项数及右边数的大小，我们归纳分析得，左边累加连续2n﹣1个正整数倒数的集大于，由此易得到第n个式子．解答：解：∵，，，=…∴第n个式子应是：故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．（2015春•校级期中）设z=，则z的共轭复数是1﹣3i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的分母实数化后，求解共轭复数即可．解答：解：z===1+3i．z=，则z的共轭复数是1﹣3i．故答案为：1﹣3i．点评：本题考查复数的除法运算法则的应用，共轭复数的求法，基本知识的考查．8．（2015春•校级期中）函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为4．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．（2015春•校级期中）定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当﹣3≤x ＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=337．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，再由定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2014）的值．解答：解：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f （2）=2，定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=335（﹣1+0﹣1+0+1+2）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=335+1+2﹣1+0=337．故答案为：337．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．10．（2015春•校级期中）已知a=log510，b=log36，c=log714，则a，b，c按照由小到大的顺序排列为c＜a＜b．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质把三个数转化为1加一个对数式的形式，然后由换底公式可比较大．解答：解：a=log510=1+log52，b=log36=1+log32，c=log714=1+log72，因为log32＞log52＞log72，所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查了对数值的大小比较，考查了对数式的运算性质，是基础题．11．（2015春•校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣4x（x＞0），则不等式f（x）＞x的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x＜0则﹣x＞0，根据题意和奇函数的性质求出x＜0时函数的解析式，再用分段函数的形式表示出来，对x进行分类讨论列出不等式组，求出不等式的解集．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣4x（x＞0），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣=﹣x2﹣4x，则f（x）=，∵f（x）＞x，∴或，解得﹣5＜x＜0或x＞5，∴不等式的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）．点评：本题考查函数的奇偶性的应用：求函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，属于中档题．12．（2015春•校级期中）下列命题正确的序号是①③①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①根据指数函数的性质判断即可；②写出p的否命题即可；③根据充分必要条件的定义判断即可；④通过讨论a=0，a≠0判断即可．解答：解：①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b”是真命题，故①正确；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“＜0”，故②错误；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；④方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故④错误；故答案为：①③．点评：本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，考查方程思想，本题综合性强，属于中档题．13．（2015春•校级期中）已知函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R，且a0≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为|d|．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先设出函数f（x）的4个零点，求出f（x）的导数，得到f′（x）的零点，从而求出答案．解答：解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为：t+3，t+1，t﹣1，t﹣3，公差d=2，f（x）=（x﹣t﹣3）（x﹣t﹣1）（x﹣t+1）（x﹣t+3），用平方差公式：f（x）=，令g（x）=（x﹣t）2﹣1，h（x）=（x﹣t）2﹣9，f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），整理得：f′（x）=4（x﹣t）（x2﹣2tx+t2﹣5），令f′（x）=0，解得：x=t﹣，t，t+，∴零点的最大值与最小值的差是；2=|d|，故答案为：|d|．点评：本题考查了函数零点问题，等差数列，导数的应用，是一道中档题．14．（2015春•校级期中）已知λ（x）=ax3+x2﹣ax（a≠0），若存在实数a∈（﹣∞，﹣]，使得函数μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈在x=﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由μ（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，知μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．解答：解：由题意，λ（x）=ax3+x2﹣ax的导数λ′（x）=3ax2+2x﹣a，μ（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，据题知，μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1﹣3a））≥0…①当x=﹣1时，不等式①成立；当﹣1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0…②令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．又ϕ（﹣）=﹣a＞0，故不等式②成立的充要条件是ϕ（b）≥0，整理得：≤﹣在a∈（﹣∞，﹣]上有解，∴≤2，解得﹣1＜b≤．b的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（2015春•校级期中）记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（a＜1）的定义域为B（1）求A、B；（2）若B⊆A，数a的取值围．考点：集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：集合．分析：（1）要使函数f（x）=有意义，则（x+1）（x﹣1）≥0，解出即可．要使函数g（x）=lg（a＜1）有意义，则（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，解出即可．（2）由B⊆A，可得2a≥1或a+1≤﹣1，解出即可．解答：解：（1）由题意得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪∪．点评：本题考查了根式函数与对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2010•兴化市校级模拟）设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x ﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，数a的取值围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，数a的取值围．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值围．（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由∈（﹣∞，0），知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a的取值围．解答：解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a≠0，解得a＞2故如果p是真命题时，实数a的取值围是（2，+∞）（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．∵x＞0∴3x＞1∴3x﹣9x∈（﹣∞，0）所以如果q是真命题时，a≥0．又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假∴或解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值围是点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．17．（2015春•校级期中）如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中∠C=∠D=90°，，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．（1）求x，y的关系式；（2）求水管PQ的长的最小值．考点：解三角形的实际应用．分析：（1）延长BD、CE交于A，利用S△ADE=S△BDE=S△BCE=，S△APQ=可建立x，y的关系式；（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的长的最小值．解答：解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2 则S△ADE=S△BDE=S△BCE=∵S△APQ=，∴∴x，y的关系式为：（2）PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcos30°=•当，即，，∴水管PQ的长的最小值为．点评：本题主要考查变量关系，考查余弦定理及基本不等式的运用，有一定的综合性．18．（16分）（2015春•校级期中）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立．（1）证明：f（x）=x2不属于集合M；（2）设f（x）∈M，且T=2．已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用反证法，假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，推出T无解，即假设不成立，肯定结论．（2）将﹣3＜x＜﹣2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式解答：（1）证明：假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，即（1﹣T）x2+2Tx+T2=0对任意的x恒成立．∴．∴T∈∅．假设错误，所以f（x）=x2不属于集合M．（2）∵﹣3＜x＜﹣2，∴1＜x+4＜2，∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，∴令T=2，∴f（x+4）=f=2f（x+2）=4f（x），∴f（x）=，∴当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式是f（x）=．点评：本题考查了抽象函数及其应用，反证法，函数解析式的求解及常用方法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．属于中档题19．（2011秋•期末）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值围．考点：函数与方程的综合运用；偶函数．专题：计算题．分析：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值围．解答：解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=﹣1（2）∵a＞0∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时a的围为a＞1综上所述，所求a的取值围为a＞1．点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k 值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．20．（16分）（2014•一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．解答：解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．。

高一上数学试题（7）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1.函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2.函数x x f 2sin 2)(=的最小正周期是_____________3.若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为_______4.在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===，则sin sin BC的值为___________. 5.已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于________ ．6.设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b .8.若53sin =θ且02sin <θ，则=2tan θ. 9.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α=___________.10.函数)02(sin 2<<-=x x y π的反函数为 ．11.已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则______sin =α．12.已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为_________ 13.设函数()|s i n |c o s 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是_________．14.函数2sin 2cos y x x =+的定义域为2,3πα⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域为]2,41[-，则α的取值范围是 .二、解答题（本大题共六小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省扬州中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（带解析）1．不等式23xx -+＞0的解集为___________． 【答案】(－3,2) 【解析】试题分析：由23xx -+＞0得：20,323x x x -<-<<+，所以原不等式的解集为(－3,2). 解简单分式不等式，需注意不能轻易去分母. 考点：解简单分式不等式2．若x ＞0、y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ·y 的最大值为______． 【答案】14【解析】试题分析：因为1()24x y xy +≤=，当且仅当12x y ==时取等号，所以x ·y 的最大值为14.运用基本不等式求最值需满足：“一正二定三相等”. 考点：基本不等式3．sin15º·sin30º·sin75º的值等于___________．【答案】18【解析】试题分析：11sin15sin30sin75sin15sin30cos15sin30sin30.28===给角求值问题，需注意角之间倍角或互余关系. 考点：二倍角公式，诱导公式4．在等差数列{a n }中，a 3＋a 6＋3a 7＝20，则2a 7―a 8的值为_________． 【答案】4 【解析】试题分析：等差数列性质：若,,,,,m n p q m n p q N +=+∈则m n p q a a a a +=+，所以367663520, 4.a a a a a ++===因此7862 4.a a a -==考点：等差数列性质5．函数y ＋cosx ，x ∈[―6π，6π]的值域是_________．【答案】【解析】试题分析：因为s i nc o s2s i n (),6y x x x π+=+又[0,]63x ππ+∈，所以s i n ([0],[0,3].6x y π+∈∈研究三角函数性质首先化为基本三角函数形式.考点：三角函数性质6．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a －b ＝________． 【答案】－10【解析】试题分析：由题意得：11,23-为方程220ax bx ++=的两根，且0.a <由韦达定理得：11112,,12,2,10.2323b a b a b a a-+=--⨯==-=--=- 考点：一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系 7．函数y ＝sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】 试题分析：因为1sin 21sin()cos()cos sin )cos 2)sin(2)262423x y x x x x x x x πππ=+-=+=++=++，所以最小正周期为2.2ππ= 考点：三角函数周期8．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 12＝_____ 【答案】16 【解析】试题分析：由韦达定理得11916a a =，由等比数列性质：若,,,,,m n p qm n p q N +=+∈则m n p q a a a a ⋅=⋅得81211916a a a a == 考点：等比数列性质9．在△ABC 中，已知A ＝45°，AB BC ＝2，则C ＝___________． 【答案】30°【解析】试题分析：由正弦定理得：sin sin AB BCC A=,21,sin .sin 452C ==因为AB BC <，所以角C 必为锐角，因此C ＝30°. 考点：正弦定理10．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1＞0，S 4＝S 8，则当S n 取最大值时，n 的值为____________． 【答案】6 【解析】试题分析：由题意得，等差数列为单调递减数列，因此其前n 项的和为Sn 为开口向下的二次函数，对称轴为48,62n n +==，所以当Sn 取最大值时，n 的值为6. 考点：等差数列前n 项的和性质11．已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为_________． 【答案】25 【解析】试题分析：因为等差数列{an}的前20项的和为100，所以12012071420()100,10,10.2a a a a a a +=+=+=因此2714714()252a a a a +≤=，即a 7·a 14的最大值为25.考点：等差数列性质，基本不等式12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝(a ＋1)n 2＋a ，某三角形三边之比为a 2∶a 3∶a 4，则该三角形的最大角为________． 【答案】23π 【解析】试题分析：因为{a n }为等差数列，所以前n 项和中常数项为零，即212340,,1,3,5,7.n a S n a a a a ======三角形的最大角的余弦为22235712352+-=-⨯⨯，因此最大角为23π考点：等差数列前n 项和性质，余弦定理 13．若f (x)＝x ＋1ax -在x ≥3时有最小值4，则a ＝_________． 【答案】2 【解析】试题分析：当0a >时()111111a a f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当1x =时取等号.由14=得：95,342a x ==<，舍去；因此()1af x x x =+-在[3,)+∞上单调增函数，所以min ()(3)34,22a f x f a ==+==，当0a ≤时()1af x x x =+-为单调增函数，所以min ()(3)34,22af x f a ==+==，舍去. 考点：基本不等式14．已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且BC 边上的高为a ，则b c ＋cb的取值范围为______．【答案】【解析】试题分析：由三角形面积公式得：2211sin ,sin 22a bc A a bc A==,由余弦定理得：2222cos b c a bc A+=+，所以2222cos sin 2cossin 2cos b c b c a bc A bc A bc AA A c b bc bc bc++++====+≤，又2b c c b +≥，所以bc ＋cb的取值范围为 考点：三角形面积公式，余弦定理，基本不等式15．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边．（1）若△ABC ，c ＝2，A ＝60º，求a ，b 的值； （2）若acosA ＝bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论．【答案】（1）a b ＝1，（2）直角三角形或等腰三角形 【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.＝12bcsinA ＝bsin60º，∴b ＝1．再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝3，∴a （2）由正弦定理得2RsinA ＝a ，2RsinB ＝b ，∴2RsinAcosA ＝2RsinBcosB ，即sin2A ＝sin2B ，由已知A 、B 为三角形内角，∴A ＋B ＝90º或A ＝B ．∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.本题也可从余弦定理出发：222222222222222222222,()(),()()(),22b c a a c b a b a b c a b a c b a b c a b a b bc ac+-+-=+-=+--=+-所以222c a b =+或220a b -=.解：（112bcsinA ＝bsin60º，∴b ＝1．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝3，∴a（2）由正弦定理得2RsinA ＝a ，2RsinB ＝b ，∴2RsinAcosA ＝2RsinBcosB ，即sin2A ＝sin2B ，由已知A 、B 为三角形内角， ∴A ＋B ＝90º或A ＝B ．∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形 考点：正余弦定理16．设函数f (x)＝cos(2x ＋3π)＋2a （1）求函数f (x)的单调递增区间（2）当0≤x ≤4π时，f (x)的最小值为0，求a 的值． 【答案】（1）[,]()36k k k Z ππππ-+∈，（2）a ＝－14．【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质首先化为基本三角函数形式.即sin()y A x B ωϕ=++. f (x)＝12cos2x ＋2a ＝sin(2x ＋6π)＋2a ．再根据基本三角函数性质列不等关系：由222262k x k πππππ-≤+≤+得f (x)的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈（2）由0≤x≤4π，得22663x πππ≤+≤，故12≤sin(2x ＋6π)≤1．由f (x)的最小值为0，得12＋2a ＝0．解得a ＝－14．解：（1）f (x)＝12cos2x ＋2a ＝sin(2x ＋6π)＋2a ． 由222262k x k πππππ-≤+≤+，得k －3π≤x ≤k ＋6π（k ∈Z ）． 所以，f (x)的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈． （2）由0≤x ≤4π，得22663x πππ≤+≤，故12≤sin(2x ＋6π)≤1．由f (x)的最小值为0，得12＋2a ＝0．解得a ＝－14．考点：三角函数性质17．已知圆的内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6， CD ＝DA ＝4， （1）求角A 的大小；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）A ＝120º（2）【解析】 试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由面积公式有四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD ·sinA ＋12BC ·CD ·sinC ，∵A ＋C ＝180º∴sinA ＝sinC ∴S ＝16sinA ．由余弦定理得：BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cosA＝20－16cosA ，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cosC＝52－48cosC ，∴20－16cosA ＝52－48cosC 解之：cosA ＝－12, 又0º＜A ＜180º, ∴A ＝120º，（2）由(1)有四边形ABCD 的面积S ＝16sin a ，所以S ＝16sin120º＝解：四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD ·sinA ＋12BC ·CD ·sinC ∵A ＋C ＝180º∴sinA ＝sinC ∴S ＝16sinA ．由余弦定理得：BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cosA＝20－16cosA ， BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cosC＝52－48cosC ， ∴20－16cosA ＝52－48cosC 解之：cosA ＝－12, 又0º＜A ＜180º, ∴A ＝120º，S ＝16sin120º＝考点：正余弦定理，三角形面积公式18．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a m 、a m+2、a m+1成等差数列． （1）求q 的值；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，试判断S m 、S m+2、S m+1是否成等差数列？并说明理由． 【答案】（1）q ＝1或－12．（2）当q ＝1时，S m , S m+2 , S m+1不成等差数列；q ＝－12时，S m , S m+2 , S m+1成等差数列．【解析】试题分析：（1）根据三数成等差数列，列出等量关系：2a m+2＝a m+1＋a m ∴2a 1q m+1＝a 1q m ＋a 1qm –1，在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，∴2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或－12．（2）根据等比数列前n 项和公式11,1(1),11n n na q S q a q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩分类讨论：若q ＝1，S m ＋S m+1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m+2＝(m ＋2)a 1∵a 1≠0，∴2S m+2≠S m ＋S m+1若q ＝－12 ，S m+2＝2112112m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭·a 1＝211362m ⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦·a 1 ，S m ＋S m+1＝112112m⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭·a 1＋1112112m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭·a 1＝142113322m m +⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-⋅-+-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭·a 1＝411332m ⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦·a 1，∴2 S m+2＝S m ＋S m+1解：（1）依题意，得2a m+2＝a m+1＋a m ∴2a 1q m+1＝a 1q m ＋a 1qm – 1在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，∴2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或－12． （2）若q ＝1，S m ＋S m+1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m+2＝(m ＋2)a 1 ∵a 1≠0，∴2S m+2≠S m ＋S m+1若q ＝－12，S m+2＝2112112m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭·a 1＝211362m⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦·a 1S m ＋S m+1＝112112m⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭·a 1＋1112112m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭·a 1＝142113322m m +⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-⋅-+-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭·a 1＝411332m ⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦·a 1 ∴2 S m+2＝S m ＋S m+1 故当q ＝1时，S m , S m+2 , S m+1不成等差数列；q ＝－12时，S m , S m+2 , S m+1成等差数列． 考点：等比数列前n 项和公式19．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？【答案】（1）y ＝3000x (6＜x ＜500)．S=3030－150006x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，6＜x ＜500. （2）x ＝50 m ，y ＝60 m 时，最大面积是2430 m 2.【解析】 试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，列出函数关系式，注意交代定义域.由已知xy ＝3000,2a ＋6＝y ∴x ＞6，y ＞6，故y ＝3000x ，由y ＞6，解得x ＜500，∴y ＝3000x(6＜x ＜500)．S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a ，根据2a ＋6＝y ，得a ＝2y －3＝1500x－3，∴S ＝(2x －10)15003x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝3030－150006x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，6＜x ＜500.（2）由基本不等式求最值，注意等于号取值情况.S ＝3030－150006x x ⎛⎫+⎪⎝⎭≤3030－3030－2×300＝2430，当且仅当6x ＝15000x，即x ＝50时等号成立，此时y ＝60. 解：（1）由已知xy ＝3000,2a ＋6＝y ∴x ＞6，y ＞6，故y ＝3000x，由y ＞6，解得x ＜500，∴y ＝3000x(6＜x ＜500)．S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a ， 根据2a ＋6＝y ，得a ＝2y －3＝1500x－3， ∴S ＝(2x －10)15003x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝3030－150006x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，6＜x ＜500.（2）S ＝3030－150006x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤3030－3030－2×300＝2430， 当且仅当6x ＝15000x，即x ＝50时等号成立，此时y ＝60. 所以，矩形场地x ＝50 m ，y ＝60 m 时，运动场的面积最大，最大面积是2430 m 2. 考点：函数应用题，基本不等式求最值20．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且对任意的n ∈N*，都有a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋···＋a n b n ＝n ·2n+3．（1）若{b n }的首项为4，公比为2，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ； （2）若a 1＝8．①求数列{a n }与{b n }的通项公式；②试探究：数列{b n }中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r （r ∈N ，r ≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．【答案】（1）S n ＝2n+2＋n 2＋3n －4（2）①a n ＝4n ＋4，b n ＝2，②不存在 【解析】试题分析：（1）条件“a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋···＋a n b n ”实质为数列{}n n a b 前n 项的和，所以按已知n S 求n a 方法进行化简. ∵a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋···＋a n b n ＝n ·2n+3∴a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋···＋a n －1b n －1＝(n －1)·2n+2(n ≥2) 两式相减得：a n b n ＝n ·2n+3－(n －1)·2n+2＝(n ＋1)·2n+2 (n ≥2) 而当n ＝1时，a 1b 1＝24适合上式，∴a n b n ＝(n ＋1)·2n+2(n ∈N*)∵{b n }是首项为4、公比为2的等比数列 ∴b n ＝2n+1∴a n ＝2n ＋2，∴{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝()4222n n ++＋()41212n--＝2n+2＋n 2＋3n －4（2）①由（1）有a n b n ＝(n ＋1)·2n+2，设a n ＝kn ＋b ，则b n＝()212n n kn b++⋅+∴b n －1＝12n n kn k b +⋅-+ (n ≥2) 设{b n }的公比为q ，则1n n bb -＝()()()21n kn k b kn b n+⋅-++＝q 对任意的n ≥2恒成立，即k(2－q)n 2＋b(2－q)n ＋2(b －k)＝0对任意的n ≥2恒成立，∴2k b q =⎧⎨=⎩又∵a 1＝8，∴k ＋b ＝8∴k ＝b ＝4，∴a n ＝4n ＋4，b n ＝2n②存在性问题，一般从假设存在出发，有解就存在，无解就不存在.本题从范围角度说明解不存在.解：（1）∵a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋···＋a n b n ＝n ·2n+3∴a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋···＋a n －1b n －1＝(n －1)·2n+2(n ≥2)两式相减得：a n b n ＝n ·2n+3－(n －1)·2n+2＝(n ＋1)·2n+2(n ≥2)而当n ＝1时，a 1b 1＝24适合上式，∴a n b n ＝(n ＋1)·2n+2(n ∈N*)∵{b n }是首项为4、公比为2的等比数列 ∴b n ＝2n+1∴a n ＝2n ＋2，∴{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝()4222n n ++＋()41212n--＝2n+2＋n 2＋3n －4（2）①设a n＝kn ＋b ，则b n＝()212n n kn b++⋅+，∴bn －1＝12n n kn k b+⋅-+(n ≥2) 设{b n }的公比为q ，则1nn b b -＝()()()21n kn k b kn b n +⋅-++＝q 对任意的n ≥2恒成立， 即k(2－q)n 2＋b(2－q)n ＋2(b －k)＝0对任意的n ≥2恒成立，∴()()()202020k q b q b k -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ∴2k b q =⎧⎨=⎩ 又∵a 1＝8，∴k ＋b ＝8∴k ＝b ＝4，∴a n ＝4n ＋4，b n ＝2n②假设数列{b n }中第k 项可以表示为该数列中其它r 项1212,,,()r t t t r b b b t t t ⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<的和，即12r k t t t b b b b =++⋅⋅⋅+，从而122222r t t tk =++⋅⋅⋅+，易知k ≥t r ＋111121232(12)2222222222212r t t r r rrt t t t t k++-=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+==-<-∴k ＜t r ＋1，此与k ≥t r ＋1矛盾，从而这样的项不存在． 考点：已知n S 求n a ,等差数列与等比数列基本性质。

江苏省扬州中学2012-2013学年度第二学期期中考试高一数学试卷 2013.4（本试卷满分160分，考试时间120分钟）一．填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分） 1.一元二次不等式031<--))((x x 的解集为 ▲ .2．数列1,34,59,716,…的一个通项公式是=n a ▲ . 3．在等差数列51、47、43，……中，第一个负数项为第 ▲ 项.4. 在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .5.求cos174cos156sin174sin156-o o o o 的值为__ ▲ __.6．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos ▲ .7．在ABC ∆中，若45,60A a B =︒==︒，则b = ▲ .8．在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =若则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形. 9．已知点（－3，－1）和（4，－6）在直线3x －2y －a=0的同侧，则a 的取值范围为 __▲_____. 10．已知等差数列}{n a 中，,10131=+a a 则=++++119753a a a a a ▲ .11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = ▲ . 12．数列{}n a 满足2)1(+=n n a n (*N n ∈)，则201321111a a a +++Λ等于 ▲ . 13．已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)8,(+m m ，则实数c 的值为 ▲ .14.对于*∈N k ，)(k g 表示k 的最大奇数因子，如：,3)3(=g 5)20(=g ，设)2()3()2()1(n n g g g g S ++++=Λ，则=n S ▲ .二．解答题（本大题共6小题，共90分。

扬州中学2015—2016第二学期期中检测高一数学2016。

4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1. cos105︒= ．2。

2tan 22.51tan 22.5︒-︒= ．3．在ABC ∆中，若30A =︒，3a =sin sin sin a b cA B C++++= 。

4. 已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若36a =，316S =，则公差d 等于 ．5. 已知ABC ∆中,3AB 1BC =30A =︒ ，则AC = ．6.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，33a=，619a=，则45aa +=.7. 在ABC ∆中，若2cos cos cos c bc A ca B ab C =++，则ABC ∆的形状是 三角形． 8.已知数列{}na 是等差数列,nS 是其前n 项和,且12130,0S S ><，则使0na <成立的 最小值n 是 。

9.若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则a = .10。

已知1sin cos 2αα=+,且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα+的值为 .11。

设数列{}na 的前n 项和为nS ,关于数列{}na ,下列命题正确的序号是 。

① 若数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则1n n a a +=； ② 若()2,n S an bn a b R =+∈，则数列{}na 是等差数列； ③ 若()11nn S =+-，则数列{}na 是等比数列.12.在等差数列{}n a 中，已知33152,,22n n a a S =-==-,则1a = .13。

ABC ∆中,90C ∠=︒，点M 在边BC 上，且满足3BC BM =，若1sin 5BAM ∠=，则sin BAC∠= 。

14．已知数列{}na 为等差数列，满足12232241231a a a a ≤+≤⎧⎨-≤+≤⎩,则当4a 取最大值时，数列{}na 的通项公式为na = 。

江苏省扬州中学2015-2016学年第一学期期中考试高一数学试卷2015．11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若{}224,x x x ∈++，则x = ▲2．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲3． 已知1249a =(a >0) ，则23log a = ▲ 4．二次函数y =3x 2+2(m －1)x +n 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，则实数m = ▲5． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数1x y e +=的图像沿着x 轴的正方向平移1个单位长度，再作关于y 轴的对称变换，得到函数f (x )的图像，则函数f (x )的解析式为f (x )= ▲6．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是 ▲ （用a ,b ,c 表示）7． 已知函数()()3,10,5,10.n n f n f f n n -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩则()8f = ▲ 8． 已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，3()1f x x x =++，则当0x <时，()f x 的解析式为 ▲9．若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = ▲ 10．化简：1022292(lg8lg125)316--⎛⎫⎛⎫+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ▲11．由等式3232123123(1)(1)(1)x x x x x x λλλμμμ+++=++++++定义映射123123:(,,)(,,)f λλλμμμ=，则=)3,2,1(f ▲12．若关于x 的方程0122=++x mx 至少有一个负根，则实数m 的取值范围是 ▲13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线与函数3x y =的图象交于A ，B两点，过B 作y 轴的垂线交函数9x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 ▲14． 已知函数()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，().113--=x x f 若对任意实数x ，都有()()f x t f x +<成立，则实数t 的取值范围 ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题14分）设,{|13},{|24},{|1}U R A x x B x x C x a x a ==≤≤=<<=≤≤+，a 为实数，（第13题）(1)分别求,()U AB AC B ； (2)若BC C =，求a 的取值范围．16．（本题14分）已知函数()12()51m h x m m x+=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．17．（本题14分）已知函数f (x )＝2ax ＋1x（a ∈R ）． （1）当12a =时，试判断f (x )在]1,0(上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的(0,1]x ∈，使得f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本题16分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且图象的最高点为(4,4)A ；观光带的后一部分为线段BC ．（1）求函数为曲线段OABC 的函数(),[0,10]y f x x =∈的解析式；（2）若计划在河流O C 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？19．（本题16分）已知函数)1,0(11log )(≠>--=a a x mx x f a是奇函数． （1）求实数m 的值； （2）是否存在实数a p ,，当)2,(-∈a p x 时，函数()f x 的值域是(1,)+∞．若存在，求出实数a p ,；若不存在，说明理由；（3）令函数2()()6(1)5f x g x ax x a =-+--，当]5,4[∈x 时，求函数()g x 的最大值．20．（本题16分）已知函数()c bx x x f ++=22为偶函数，关于x 的方程()()21+=x a x f 的构成集合{}1， （1）求,a c b ,的值；（2）若[]2,2-∈x ，求证：()1215+-≤x x f ；（3）设()g x =[]2,0,21∈x x 使得()()m x g x g ≥-21，求实数m 的取值范围．命题、校对、审核：高二数学备课组高一期中数学试卷答案 2015.11一、填空题1．1 2．(3,)+∞ 3．4 4．-2 5．x e -6．c a b << 7．7 8．31x x --+ 9．2 10．133 11．(2,3,1)- 12. ]1,(-∞ 13．3722123389;103sin(2);111293352132,2)y x π=-、； 、-、、； 、； 、-15; 14、(log 14．442(,)(,)333-∞--- 二、解答题15. (1) A ∩B={x |2<x ≤3}，…………………………………………3分U B={x |x ≤2或x ≥4} …………………………………………5分A ∪(U B)= {x |x ≤3或x ≥4} …………………………………………8分 (2)∵B ∩C=C ∴C ⊆B …………………………………………10分∴2<a <a +1<4 ∴2<a <3 …………………………………………14分16. 解 (1) ∵函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数 ∴2511m m -+= 解得05m =或 …………………………………3分又 ∵奇函数 ∴0m =…………………………………6分(2) 由（1）可知 ()g x x =10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ，则[0,1]t ∈ …………………………………9分211()22g t t t ⇒=-++ 得值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………14分17. 解：（1）∵12a = ∴1()f x x x=+ ()f x 在]1,0(上的单调递减 …………………………………2分证明：取任意的21,x x ，且1021≤<<x x(*))1()(11)()(212121211221221121x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=--+=- ∵1021≤<<x x ∴021<-x x ，1021<<x x得 (*)式大于0 ，即0)()(21>-x f x f所以()f x 在]1,0(上的单调递减 …………………………………8分（2）由f (x )≥6在]1,0(上恒成立，得2ax ＋1x≥6 恒成立 即2)1()1(62x x a -≥ ),1[)1(+∞∈x9))1()1(6(ma x 2=-⇒x x 2992≥≥⇒a a 即 …………………………………14分 注：本题若含参二次函数讨论求解，自行酌情给分。

江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟试题数 学 2013.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U P Q = ð . 2． 复数ii215+的实部是 3．“6πα=”是“1sin 2α=”的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、 纵坐标，则点P 在直线5=+y x 上的概率为 . 5．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 .6．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本32,32,32321+++a a a 的方差是 7．执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = . 8．已知函数2log (0)(),3(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是 . 9．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=， 则10S = .10．已知实数x 、y 满足20350x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则y x z )21()41(⋅=的最小值为 .11．设向量(c os ,s i n a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2a b a b +=-，则βα-= . 12．若函数()f x =(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是_ ___．13．若函数22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =.14．对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，则b a -的最大值为 .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++ ⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16．（本题满分14分）如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅（1）若BP PA =，求x ，y 的值；（2）若3BP PA = ，||4OA = ，||2OB =，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB ⋅的值。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷一、填充题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）cos75°=．2．（5分）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．3．（5分）已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是．4．（5分）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=．5．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．6．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=．7．（5分）sin15°sin75°的值是．8．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，则BC边上的中线AD的长等于．9．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．10．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．11．（5分）化简：sin40°（tan10°﹣）=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在钝角△ABC中，∠B＞90°，a=2x﹣5，b=x+1，c=4，则x的取值范围是．14．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定的区域内作答．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．16．（14分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．18．（15分）海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（1）请在方框内用铅笔与直尺画出图形，并标明三个角度的位置和大小；（2）A处与D处之间的距离；（3）灯塔C与D处之间的距离（用近似值表示，四舍五入，取整数）．19．（16分）已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．20．（16分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}前2k项和S2k；（3）在数列{a n}中，是否存在连续的三项a m，a m+1，a m+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填充题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）cos75°=．【解答】解：cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=×﹣×=．故答案为：2．（5分）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．【解答】解：∵△ABC中，a=3，b=，，∴由正弦定理=得：=，∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．3．（5分）已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是15．【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12 =a1+11d=﹣+=15，故答案为15．4．（5分）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+co sθ=﹣=﹣．故答案为：﹣5．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：6．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．7．（5分）sin15°sin75°的值是．【解答】解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．8．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，则BC边上的中线AD的长等于．【解答】解：由余弦定理得cosB===，∵BD=，∴AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=25+16﹣2×=21，则AD=．故答案为：．9．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．10．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：11．（5分）化简：sin40°（tan10°﹣）=﹣1．【解答】解：=sin40°（）=sin40°•====×2=﹣=﹣1故答案为：﹣112．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．13．（5分）在钝角△ABC中，∠B＞90°，a=2x﹣5，b=x+1，c=4，则x的取值范围是＜x＜4．【解答】解：因∠B＞90°，故a、b、c满足下列条件：即，即，故＜x＜4，故答案为：＜x＜4．14．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．【解答】解：设，∵OA 1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定的区域内作答．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．16．（14分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．【解答】解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为A+B+C=π，A+3C=π，所以B=2C．…（2分）又由正弦定理，得，，，化简得，．…（5分）（2）因为C∈（0，π），所以．所以．…（8分）（3）因为B=2C，所以．…（10分）因为A+B+C=π，所以．…（12分）因为，，所以．所以△ABC的面积．…（14分）18．（15分）海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（1）请在方框内用铅笔与直尺画出图形，并标明三个角度的位置和大小；（2）A处与D处之间的距离；（3）灯塔C与D处之间的距离（用近似值表示，四舍五入，取整数）．【解答】解：（1）如图，正确标注出每个角的位置和大小…3分（2）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，…5分由正弦定理，得，…6分即AD==24（海里）…8分（3）在△ACD中，∵AC=8，∠CAD=30°，∴由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos∠CAD=242+（8）2﹣2×24×8cos30°=192，…12分解得：CD=8≈14（海里）…14分答：A处与D处之间的距离为24海里；灯塔C与D处之间的距离大约14海里．…15分．19．（16分）已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．【解答】解：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．20．（16分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}前2k项和S2k；（3）在数列{a n}中，是否存在连续的三项a m，a m+1，a m+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a5=1+2d．∵S3=a4，∴1+2+（1+d）=2q，即4+d=2q，又a3+a5=2+a4，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．∴对于k∈N*，有a2k﹣1=1+（k﹣1）•2=2k﹣1，故，k∈N*．（2）S2k=（a1+a3+...+a2k﹣1）+（a2+a4+...+a2k）=[1+3+...+（2k﹣1）]+2（1+3+32+ (3)﹣1）=．（3）在数列{a n}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1，下面说明理由若a m=a2k，则由a m+a m+2=2a m+1，得2×3k﹣1+2×3k=2（2k+1）．化简得4•3k﹣1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．若a m=a2k﹣1，则由a m+a m+2=2a m+1，得（2k﹣1）+（2k+1）=2×2×3k﹣1化简得k=3k﹣1，令（k∈N*），则．因此，1=T1＞T2＞T3＞…，故只有T1=1，此时K=1，m=2×1﹣1=1．综上，在数列{a n}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1．。

扬州市2014—2015学年度第一学期期中调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．A 2．1i + 3．x R ∀∈，0322≠++x x 4．42- 5．26．必要不充分 7．[0,2] 8．72x = 9. π3210．311． 12．y = 13．25 14．(0,2)e15(1)由已知可得()cos 1sin f x x x =++)14x π=++, ……4分 令3[2,2]422x k k πππππ+∈++，得()f x 的单调递减区间为5[2,2]()44k k k Z ππππ++∈； ……7分(2)由(1)())14f x x π=++．因为[,]22x ππ∈-，所以3[,]444x πππ+∈-， ……9分当sin()14x π+=时，即π4x =时，()f x 1； ……12分当sin()4x π+=2x π=-时，()f x 取得最小值0． ……14分16(1)由已知，()()f x f x -=-，即1212x x m--+-++=1212x x m +-+-+，则1222x xm -++⋅=1212x x m +-+-+， ……4分 所以(21)(2)0x m -⋅-=对x R ∈恒成立，所以2m =． ……7分 （本小问也可用特殊值代入求解，但必须在证明函数为奇函数，否则只给3分） (2)由11()221x f x =-++， 设21x x >，则12122122()()0(12)(12)x x x x f x f x --=<++，所以()f x 在R 上是减函数，（或解：22ln 2'()0(21)x x f x -=<+，所以()f x 在R 上是减函数，） ……10分 由()(1)0f x f x ++>，得(1)()f x f x +>-，所以1x x +<-，得12x <-， 所以()(1)0f x f x ++>的解集为1{|}2x x <-．（本小问也可直接代入求解） ……….14分17(1)当0k =时，y b =，设,A B 两点横坐标为12,x x ，则1,2x =2214||||222b bS b b+-=⨯⨯==，……4分当且仅当||b=b=OAB∆的面积为S的最大值为2；……7分(2)1sin2S OA OB AOB=⨯⨯⨯∠=sin AOB∠=3AOBπ∠=或23AOBπ∠=，……9分当3AOBπ∠=时OAB∆为正三角形，则O到3y kx=+的距离d==k=…11分当23AOBπ∠=时O到3y kx=+的距离为cos13Rπ⨯=，即1d==，得k=±……13分经检验，k=k=±3,3y y=+=±+．……14分18(1)如图2，△ABF中，AB=，∠ABF=135°,BF=15t,AF=t，由余弦定理，2222cos135AF AB BF AF BF=+-⋅⋅，…3分得22211()2(55t t t=+-⨯⨯，得232525000t t--=，(25)(3100)0t t+-=，因为0t>，所以1003t=（秒），……6分答：若营救人员直接从A处入水救人，t的值为1003秒．……7分(2)如图3，20AC BD CH=+-，在Rt CDH中，20tanCHα=，20sinCDα=，则12020205tan sin71ttαα+-+=，得507cos(1)17sintαα-=+，……10分图2C图2设7cos ()sin f ααα-=，则217c o s '()s i n f ααα-=，令'()f α=0，得1c o s 7α=，记0(0,)2πα∈，且01cos 7α=，则当0(0,)αα∈时，'()0f α<，()f α是减函数；当0(,)ααπ∈时，'()0f α>，()f α是增函数， 所以当1cos 7α=时，()f α有极小值即最小值为50(117+秒， ……15分 答：507cos (1)17sin t αα-=+，的最小值为50(117+秒． ……16分19(1)依题意21,310,c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1,3c a ==，则2228b a c =-=，所以椭圆方程为22198x y +=； ……4分 (2)连结PG 、QG ，∵(1,0)G 为椭圆的右焦点，所以13PH PG PG e==， 所以PQ PH=13PQ PG ⋅== ……7分 因为[,][2,4]PG a c a c ∈-+=，所以PQPH ∈； ……10分 方法2：设(,)P x y ，PQ PH=[3,3]x ∈-， ……7分 得PQPH ∈； ……10分(3)设圆M ：222()()(0)x m y n r r -+-=>满足条件，(,)N x y其中点(,)m n 满足22198m n +=，则2222222x y mx ny m n r +=+--+，NF =NT =要使NFNT=222NF NT =，即22610x y x +--=， ……13分 代入2222222x y mx ny m n r +=+--+，得2222(3)210m x ny m n r -+---+=对圆M 上点(,)N x y 恒成立，只要使22230,0,1,m n r m n ⎧-=⎪=⎨⎪=++⎩得23,0,10,m n r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩经检验3,0m n ==满足22198m n +=，故存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得过圆M 上任意一点N 作圆G 的切线（切点为T ）都满足NFNT=M 的方程为22(3)10x y -+=． ……16分 （本题也可直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上）20 (1)函数的定义域是(0,)+∞，当6a =时，()2626(23)(2)'21x x x x f x x x x x--+-=--==令'()0f x =，则2x =，（32x =-不合题意，舍去） ……3分 又(0,2)x ∈时'()0f x <，()f x 单调递减；(2,)x ∈+∞时'()0f x >，()f x 单调递增；所以，函数的最小值是(2)26ln 2f =-； ……5分 (2)依题意(1)0f =，且()0f x ≥恒成立， ……6分方法一：()()22'210a x x af x x x x x --=--=>，故1x =必是函数的极小值即最小值点，所以'(1)0f =，此时1a =，而当1a =时，()2121(21)(1)'21x x x x f x x x x x--+-=--==，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；函数()f x 的最小值是(1)0f =，即()0f x ≥恒成立； ……10分 方法二：若0a ≤，当(0,1)x ∈时，20x x -<，ln 0x <，不等式2ln 0x a x x --≥不成立，若0a >，设'()0f x =，得：x =，或x =（舍去）.设t =若01t <<，则()f x 在(,)t +∞上单调递增知，()(1)0f t f <=，不合题意， 若1t >，在(0,)t 上单调递减，，则()(1)0f t f <<，不合题意．即1t =，所以1a =； ……10分 方法三：不等式即为2ln x x a x -≥，分别作出2y x x =-，和ln y a x =的图象，它们都过点(1,0)，故函数2y x x =-，和ln y a x =在(1,0)处有相同的切线，可得1a =，再证明，以下同方法一； ……10分 (3)122'()3x x f k +> ……11分 证明：()'21a f x x x =-- ，()1212122+2+23'133+2x x x x a f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由题，()()()()12212121212212121212lnln ln 1x a x x a x x x x y y x k x x x x x x x x ------===+----- (13)分则()()112122121212ln2+2+23'+33+2x a x x x x x a f k x x x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪-⎝⎭12121212ln33+2x a x x x ax x x x -=-+- 21121121223()[ln ]3+2x x x x x a x x x x x --=---， 令12x t x =，则()0,1t ∈，设()()31ln +2t g t t t -=-则：()()()()()221491'0+2+2t t g t t t t t --=-=-<， 故()g t 在()0,1上单调递减. 所以：()()10g t g >= 即1211223()ln 0+2x x x x x x -->，考虑到0a >，12x x <，故2103x x ->，120ax x ->-，所以122112112122+23()'()[ln ]033+2x x x x x x x af k x x x x x ---=-->-即122'()3x x f k +>． ……16分BA CDS Exy z 第二部分（加试部分）21．由题意A αλα=，即111311b λλλ 2---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以213b λλ-+=-⎧⎨-+= ⎩，解得2,4b λ==． ……10分22．3211()(0,1,2,,)2rn r n rrr r r nnT C xC x r n --+===⋅⋅⋅ ……3分(1)由题意，112211()()22n n C C =，解得5n =； ……5分(2)352151()(0,1,2,3,4,5)2rr r r T C xr -+==，当0,2,4r =时为有理项， ……7分 即0055222244115355511515(),(),()222216T C x x T C x x T C x x-======．……10分23．如图，以{,,}DA DC DS 为正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,2)A B C S E λ， ……2分 (1)当12λ=时，(0,0,1),(2,0,1),(2,2,2)E AE SB =-=- cos ,||||AE SB AE SB AESB ⋅<>==-⋅ 所以异面直线AE 与SB ； …5分 (2)(0,2,0)DC =是平面AED 的一个法向量，设(,,)n x y z =是是平面AEC 的一个法向量，(2,2,0),(0,2,2)CA CE λ=-=-，则220220n CA x y n CE y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，得x y λ==，取x λ=，则(,,n λλ=， ……8分因为二面角C AE D --的大小为60，01λ<<，所以1cos ,2||||2DC n DC n DC n λ⋅<>===⋅，得212λ=，所以2λ=． ……10分 24．(1)11kk n n k C n C --⋅=⋅； ……2分 证明过程 ……4分(2)①由二项分布得：11221(1)2(1)n n n nn n n EX C p p C p p n C p --=⋅-+⋅-++⋅01121111(1)(1)....n n n nn n n n C p p n C p p n C p ------=⋅-+⋅-+⋅ 011211111[(1)(1)....]n n n n n n n np C p C p p C p-------=-+-+ npp p np n =+-=-1)1(；……6分②因为211C C C kkk n n n k k k k n --=⋅=⋅， 而()()1112111121C 1C C 1C C (2)k k k k k n n n n n k k n k ----------=-+=-+≥， 所以，22121C [(1)C C ]kkk k kn n n k p n n n p ----=-+ ……8分21Cnk knk k p =∑()2221121211CC nnk k k k n n k k n n ppnp p------===-+∑∑ ()22121(1)(1)(1)(1)n n n n n p p np p np np p ---=-+++=++.……10分。

2014-2015学年度第一学期期中考试试题高一数学（考试时间：120分钟 总分160分）注意事项：所有试题的答案均写在答题卡上，答案写在试卷上无效．一、填空题：本大题共14题，每题5分，共计70分．请把答案写在答题卡相应位置上． １．已知全集{}1,2,3,4,5U =，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩(C U A ) = ▲ ． 答案： {4}2．函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ ． 答案：)4,2[-3．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ▲ ． 答案： [)0,+∞ 4．函数2213x x y -++=的值域是 ▲ ．答案：(0,9]5．函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，则=))2((g f ▲ . 答案：56. 设集合A ={}12x x <<，B ={}x x a >，若A B ⊂，则a 的取值范围是 ▲ ． 答案：1a ≤7. 函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=-x 2+1，则当x<0时，f(x)的表达式▲ ．答案：1)(2-=x x f8. 若方程02)13(72=--+-m x m x 的一根在区间)1,0(上，另一根在区间)2,1(上，则实数m 的范围 ▲ ．答案：24-<<-m9. 设a=0.60.2，b=log 0.23，c= log 0.70.6，则a 、b 、c 由小到大的顺序为 ▲ ．答案：b,a,c10. 若某国计划国内生产总值从2000年至2013年翻一番，则该国国内生产总值平均每年的增长率是 ▲ ．答案：111. 若11226x x-+=，则1122x x--= ▲ ．答案：±12. 定义在R 上的奇函数()f x 在[0 )+∞，上的图象如右图所示， 则不等式(20141)()0xf x -<的解集是 ． 答案：(,2)(2,)-∞-⋃+∞13. 已知定义在R 上的函数()21,01,0x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，若()x f 在(则实数m 的取值范围是 ▲ ．答案：(0, 3]14. 下列说法正确的有 ▲ ．（填序号）①若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =；②函数1()1f x x =-在(,1)(1,)-∞+∞上是单调减函数；③若函数(21)y f x =+的定义域为[2,3]，则函数()f x 的定义域为1[,1]2；④要得到(21)y f x =-的图象，只需将(2)y f x =的图象向右平移12个单位. 答案：④二、解答题：本大题共6小题共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分） ⑴13 0240.04(0.3)16---+； （2）2log 33lg 252lg 4++解：(1)12 ……………………7分 (2)29……………………14分 16. （本题满分14分）已知集合A ={x |||4x a -<}，2{|450}B x x x =-->． （1）若1=a ，求B A ；（2）若=B A R ，求实数a 的取值范围．解：（1）当1a =时，{}35A x x =-<< ，…………………2分{}15B x x x 或=<->. …………………4分 ∴ {}13|-<<-=x x B A ． …………………7分 （2）{}44A x a x a =-<<+，{}15B x x x 或=<->，且R B A = ，∴ 4145a a --⎧⎨+⎩≤≥ ， …………………12分 ∴a 的取值范围是-1≤a ≤3 . …………………14分17.（本题满分15分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为2万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足R （x ）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出函数G （x ）的解析式；（2）写出利润函数y=f （x ）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）； （3）工厂生产多少百台产品时，可使盈利最多？ 解：（1）根据总成本=固定成本+生产成本，可得函数G （x ）=2.8+2x ；…………4分 （2）由题意可得y=f （x ）=R （x ）﹣G （x ）=．…………9分（3）①当0≤x ≤5时，f （x ）=﹣0.4x 2+3.2x ﹣2.8=﹣0.4（x ﹣4）2+3.6，可得：当x=4时，函数f （x ）取得最大值3.6．…………12分 ②当x ＞5时，f （x ）=13.2﹣2x ＜13.2﹣2×5=3.2．综上①②可得：当且仅当工厂生产x=4百台时，可使盈利最多为3.6万元．…………15分18.（本题满分15分）已知函数()(4),f x x x x =-∈R . （1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数)(x f 的图象（请标出关键点的坐标），并根据图象写出函数)(x f 的单调区间；（3）利用图象回答：当实数k 为何值时，方程(4)x x k -=有一解？有两解？有三解？.解：（1）224,(0)()4,(0)x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩……………………………………………4分（2）图形正确、关键点坐标正确……………………………7分关键点：错一个扣1分．单调增区间为(,2],[2,)-∞-+∞…………………………9分单调减区间[2,2]-……………10分（3）4k <-或0k >时，一解；…………………………………………12分4k =-或4k =时，两解；…………………………………………14分 44k -<<时，三解. ………………………………………………15分19.（本题满分16分）函数).(1212)(R x x f xx ∈+-= （1）用定义证明函数()f x 在R 上为单调增函数．（2）判断并证明函数)(x f 的奇偶性； （3）解不等式.0)32()1(<-+-m f m f证明：21()21x x f x -=+=2121x -+在定义域中任取两个实数12,x x ,且12x x <，…………2分则()()()121212222()()2121x x x x f x f x --=++．…………4分1212,022x x x x <∴<<，从而12()()f x f x -0<．∴函数()f x 在R 上为单调增函数．……6分（2）2112()()2112x xxxf x f x -----===-++， ∴函数()f x 为奇函数．……11分 （3）由.0)32()1(<-+-m f m f 得).32()1(--<-m f m f因为)(x f 为奇函数m f m f 23()1(-<-∴），…………14分 2231<∴-<-m m m∴原不等式的解集为{}2<m m ……16分 20.（本题16分）设二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x ，不等式f （x ）≥4x 恒成立．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）设g （x ）=kx+1，若F （x ）=g （x ）﹣f （x ），求F （x ）在[1，2]上的最小值；（3）设g（x）=kx+1，若G（x）=在区间[1，2]上是增函数，求实数k，对称轴综上所述，，。

江苏省扬州中学2013－2014学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分）1.不等式错误!＞0的解集为___________．2.若x＞0、y＞0，且x＋y＝1，则x·y的最大值为______．3.sin15º·sin30º·sin75º的值等于___________．4.在等差数列{a n｝中,a3＋a6＋3a7＝20，则2a7―a8的值为_________．5.函数y＝错误!sin x＋cos x，x∈［―错误!,错误!]的值域是_________．6.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为错误!,错误!,则a－b＝________．7.函数y＝sin错误!cos错误!的最小正周期为________．8.在正项等比数列{a n｝中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根,则a8·a12＝__________．9.在△ABC中，已知A＝45°，AB＝错误!，BC＝2，则C＝___________．10.设等差数列{a n｝的前n项的和为S n，若a1＞0,S4＝S8，则当S n取最大值时，n的值为____________．11.已知等差数列{a n}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为_________．12.已知等差数列{a n｝的前n项和为S n＝（a＋1）n2＋a，某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的最大角为________．13.若f（x）＝x＋错误!在x≥3时有最小值4，则a＝_________．14.已知△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c，且BC边上的高为a，则错误!＋错误!的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90分)15.(本题满分14分）已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边．（1)若△ABC面积为错误!，c＝2，A＝60º，求a，b的值；（2)若a cos A＝b cos B，试判断△ABC的形状,证明你的结论．16.(本题满分14分) 设函数f （x)＝cos（2x＋错误!）＋错误!sin2x＋2a（1)求函数f (x)的单调递增区间(2)当0≤x≤错误!时，f （x)的最小值为0,求a的值．17.（本题满分14分) 已知圆的内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4,(1)求角A的大小；（2）求四边形ABCD的面积．18.（本题满分16分）已知｛a n｝是公比为q的等比数列,且a m、a m+2、a m+1成等差数列．（Ⅰ）求q的值;(Ⅱ）设数列｛a n}的前n项和为S n，试判断S m、S m+2、S m+1是否成等差数列?并说明理由．19.（本题满分16分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？20.（本题满分16分）已知数列｛a n}是等差数列，数列{b n｝是等比数列,且对任意的n∈N＊，都有a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋a n b n＝n·2n+3．（1）若｛b n｝的首项为4,公比为2,求数列｛a n＋b n｝的前n项和S n；（2）若a1＝8．①求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；②试探究:数列｛b n｝中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它r（r∈N，r≥2)项的和?若存在，请求出该项;若不存在，请说明理由．江苏省扬州中学2013－2014学年第二学期高一数学答题纸一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.)1．_____________ 2．____________ 3．____________ 4．____________ 5．_____________ 6．____________ 7．____________ 8．____________ 9．_____________ 10．___________ 11．___________ 12．___________ 13．____________ 14．___________ 二、 解答题（本大题共6小题，共计90分） 15． 16．班级： ______________________ 姓名：____________________ 学号：__________________17．18．19．20．（答案写在答题纸反面）高一数学期中试卷答案1、(－3，2）2、143、错误!4、45、[0,错误!]6、－107、π8、169、30° 10、611、25 12、错误! 13、2 14、 ［2，错误!］15、解：(1)由已知得错误!＝错误!bc sin A ＝b sin60º，∴b ＝1．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，∴a ＝3．（2）由正弦定理得2R sin A ＝a ,2R sin B ＝b ,∴2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，由已知A 、B 为三角形内角，∴A ＋B ＝90º或A ＝B ．∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形．16、解:(Ⅰ）f （x ）＝错误!cos2x ＋错误!sin2x ＋2a ＝sin （2x ＋错误!）＋2a ．由2k －错误!≤2x ＋错误!≤2k ＋错误!，得k －错误!≤x ≤k ＋错误!（k ∈Z ）．所以，f （x )的单调递增区间为［k －π3，k ＋错误!］(k ∈Z ）． （Ⅱ）由0≤x ≤错误!，得错误!≤2x ＋错误!≤错误!，故错误!≤sin （2x ＋错误!)≤1．由f （x )的最小值为0，得错误!＋2a ＝0．解得a ＝－错误!．17、解:四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝错误!AB ·AD ·sin A ＋错误!BC ·CD ·sin C∵A ＋C ＝180º∴sin A ＝sin C ∴S ＝16sin A ．由余弦定理得:BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝20－16cos A ，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝52－48cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C 解之：cos A ＝－错误! ,又0º＜A ＜180º, ∴A ＝120º，S ＝16sin120º＝8错误!18、解：（Ⅰ）依题意，得2a m +2＝a m +1＋a m ∴2a 1q m +1＝a 1q m ＋a 1q m – 1在等比数列｛a n ｝中，a 1≠0，q ≠0，∴2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或－错误!．(Ⅱ)若q ＝1,S m ＋S m +1＝ma 1＋(m ＋1）a 1＝（2m ＋1)a 1,S m +2＝（m ＋2)a 1∵a 1≠0，∴2S m +2≠S m ＋S m +1若q ＝－错误!，S m +2＝错误!·a 1＝错误!·a 1S m ＋S m +1＝错误!·a 1＋错误!·a 1＝错误!·a 1＝错误!·a 1 ∴2 S m +2＝S m ＋S m +1故当q ＝1时，S m ， S m +2 , S m +1不成等差数列;q ＝－错误!时,S m ， S m +2 ， S m +1成等差数列．19、解：(1）由已知xy ＝3000，2a ＋6＝y ∴x ＞6，y ＞6，故y ＝错误!,由y ＞6，解得x ＜500，∴y ＝错误!（6＜x ＜500）．S ＝（x －4)a ＋(x －6)a ＝（2x －10)a ，根据2a ＋6＝y ，得a ＝错误!－3＝错误!－3，∴S ＝（2x －10)错误!＝3030－错误!，6＜x ＜500。

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期质量检测高 三 数 学 [文] 2014.12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=⋃B A _________.2.函数)42cos(2)(π+-=x x f 的最小正周期为_________.3.复数1z i =+，且)(1R a zai∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 4.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为,21x y =则m 的值为_______.6.“N M >”是“N M 22l o gl o g>”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 7.已知函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=8.已知,m n 为直线，,αβ为平面，给出下列命题：①||m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ； ②||m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ； ③||m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩④||||m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩ ； ⑤,m n n m n αβαββα⊥⎧⎪=⇒⊥⎨⎪⊂⊥⎩11. 若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______.12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方。

若点P 到坐标原点O的距离为F,O,P 三点的圆的方程是 13.若函数()s i n c f x x x =+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值是14.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为32的等比数列.记),(12*N n a a b n n n ∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.二． 解答题：本大题共6小题，共计90分 15.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

2014-2015学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（14×5′=70）1．（5分）不等式的解集为．2．（5分）已知α为锐角，cosα=，则tan（α+）=．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6=．4．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=．5．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3，则b=．6．（5分）在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为．7．（5分）已知sinαcosα=且α∈（0，），则cosα﹣sinα的值是．8．（5分）等比数列{a n}中，若a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于．9．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为．10．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．11．（5分）数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n=．12．（5分）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（≤x≤）的最小值为．13．（5分）在正项等比数列{a n}中a3+a4=，a6=1，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．14．（5分）若实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是．二、解答题（15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分）15．（14分）已知α∈（，π），且sin+cos=（1）求cosα的值（2）若sin（α﹣β）=﹣，β∈（，π），求cosβ的值．16．（14分）已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．17．（15分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，并且满足a1+a2=5，a5+a6=29，以及b7=a22（1）求a22的值；（2）设b8=64m（m≠0），求数列{b n}的子数列b7，b8，b9，b10，b11，…的前n 项和S n．（3）在（2）的条件下，若m=2，求数列的前n项和T n．18．（15分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．19．（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．（1）若CM=，求AM的长；（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN 的最小面积时MN的长．20．（16分）记数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+S n=An2+Bn+C（n∈N*），其中A、B、C为常数．（1）已知A=B=0，a1≠0，求证：数列{a n}是等比数列；（2）已知数列{a n}是等差数列，求证：3A+C=B；（3）已知a1=1，B＞0且B≠1，B+C=2，若＜λ对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（14&#215;5′=70）1．（5分）不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．【解答】解：不等式，等价于≥0，等价于．解得x＜﹣1，或≥2，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．2．（5分）已知α为锐角，cosα=，则tan（α+）=﹣3．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴tanα==2，∴tan（α+）===﹣3．故答案为：﹣3．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6=12．【解答】解：∵S3=12，∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．解得d=2，则a6=a1+5d=2+2×5=12，故答案为：124．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=﹣．【解答】解：∵等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个实根，则=12，解得a=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3，则b=2．【解答】解：∵A=75°，B=45°，c=3，∴C=180°﹣A﹣B=60°，∴由正弦定理可得：b===2．故答案为：2．6．（5分）在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为．【解答】解：∵在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，∴（a+b）2﹣c2=ab，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理，得cosC==﹣，结合C∈（0，π），可得C=；故答案为：．7．（5分）已知sinαcosα=且α∈（0，），则cosα﹣sinα的值是．【解答】解：∵sinαcosα=，∴2sinαcosα=，即sin2α=，∴（cosα﹣sinα）2=1﹣sin2α=．∵α∈（0，），∴cosα＞sinα＞0，∴cosα﹣sinα=．故答案为：．8．（5分）等比数列{a n}中，若a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于±27．【解答】解：∵a3+a4=（a1+a2）•q2，a1+a2=1，a3+a4=9，∴q2=9，∴q=±3．当q=﹣3时，a1+a2=a1﹣3a1=﹣2a1=1，∴a1=﹣，a4+a5=﹣×（q3+q4）=﹣27；同理当q=3时，a4+a5=27，故答案为：±27．9．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为﹣1．【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，由题意（1+x）2=（1+p）（1+q），所以x=﹣1；故答案为：﹣1．10．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=1，∴==3=，当且仅当，x+2y=1，x＞0，y＞0即，时取等号．因此的最小值为．故答案为．11．（5分）数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n=．【解答】解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：12．（5分）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（≤x≤）的最小值为2．【解答】解：f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（+2x）﹣cos2x，=sin2x﹣cos2x+1，=2sin（2x﹣）+1，∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，当2x﹣=，函数有最小值，∴f（x）min=2，故答案为：2．13．（5分）在正项等比数列{a n}中a3+a4=，a6=1，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为12．【解答】解：∵在正项等比数列{a n}中a3+a4=，a6=1，∴a1q2（1+q）=①，a1q5=1②，q为数列的公比，联立①②，解得a1=，q=2，∴T n=a1+a2+…+a n==（2n﹣1），S n=a1a2…a n=•21+2+…+n﹣1=．由题意可得T n＞S n，即（2n﹣1）＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12．14．（5分）若实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是（﹣∞，1﹣]∪（+1，+∞）．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），则x+y=t=sin（θ+）∈[﹣，]，则xy=，则=====++1．令m=t﹣1∈[﹣﹣1，﹣1]，m≠0，则式子=++1．令f（m）=++1，m∈[﹣﹣1，﹣1]，且m≠0，如图所示：由于f′（m）=﹣，①故当m∈[﹣﹣1，﹣）时，f′（m）＞0，f（m）单调递增；②故当m∈[﹣，0）时，f′（m）＜0，f（m）单调递减；③故当m∈（0，﹣1]时，f′（m）＜0，f（m）单调递减．又当m=﹣﹣1时，f（m）=；当m=﹣时，f（m）=1﹣；当m趋于0时，f（m）趋于±∞；当m=﹣1时，f（m）=，结合函数f（m）的图象，可得m的范围为：：（﹣∞，1﹣]∪（+1，+∞），故答案为：（﹣∞，1﹣]∪（，+∞）．二、解答题（15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分）15．（14分）已知α∈（，π），且sin+cos=（1）求cosα的值（2）若sin（α﹣β）=﹣，β∈（，π），求cosβ的值．【解答】解：（1）∵α∈（，π），且sin+cos=，两边平方可得：1+sinα=，∴sinα=，可得：cosα=﹣=﹣．（2）∵由（1）可得：sin α=，cosα=﹣．∵＜α＜π，＜β＜π，∴﹣＜α﹣β＜，又sin（α﹣β）=﹣，得cos（α﹣β）=，∴cos β=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=﹣×+×（﹣）=﹣．16．（14分）已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）由题意a＜0，且=，解得：a=﹣2或a=﹣；（2）由f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a，得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，若a=﹣2，不等式4x﹣3＞0不对一切实数x恒成立，舍去，若a≠﹣2，由题意得，解得：a＞2，故a的范围是：（2，+∞）；（3）不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0，∵a＜0，∴（x﹣1）（x+）＜0，∵1﹣（﹣）=，∴﹣＜a＜0时，1＜﹣，解集为：{x|1＜x＜﹣}，a=﹣时，（x﹣1）2＜0，解集为∅，a＜﹣时，1＞﹣，解集为{x|﹣＜x＜1}．17．（15分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，并且满足a1+a2=5，a5+a6=29，以及b7=a22（1）求a22的值；（2）设b8=64m（m≠0），求数列{b n}的子数列b7，b8，b9，b10，b11，…的前n 项和S n．（3）在（2）的条件下，若m=2，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得d=3，a1=1， (3)分∴a n=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a22=64…5分（2）∵{b n}为等比数列，b7=a22=64，b8=64m（m≠0），∴{b n}的公比q==m（m≠0），∴S n=…10分（3）∵m=2，b7=64=b1•26，∴b1=1，故b n=2n﹣1．∴T n=[（a1+2）b1+（a2+2）b2+…+（a n+2）b n]=（3×1+6×21+…+3n×2n﹣1）=1+2×21+3×22+…+n×2n﹣1①…12分2T n=1×21+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n②①﹣②得：﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=（1﹣n）×2n﹣1，…14分∴T n=1+（n﹣1）×2n…15分18．（15分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度则当0≤x≤4时，由，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度．∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴，故当且仅当时，y有最小值为．令，解得，∴a的最小值为．19．（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．（1）若CM=，求AM的长；（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN 的最小面积时MN的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．∵CM=，∴CM2=AC2+AM2﹣2AC•AMcosA；即13=16+AM2﹣4•AM，解得AM=1或AM=3．（2）设∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理得：∴．在△ACM中，由正弦定理得：∴．∴==，∵0°≤α≤60°∴60°≤2α+60°≤180°，∴0≤sin（2α+60°）≤1∴当α=15°时，△MCN的面积最小为：24﹣12，此时MN最小值为：==8．20．（16分）记数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+S n=An2+Bn+C（n∈N*），其中A、B、C为常数．（1）已知A=B=0，a1≠0，求证：数列{a n}是等比数列；（2）已知数列{a n}是等差数列，求证：3A+C=B；（3）已知a1=1，B＞0且B≠1，B+C=2，若＜λ对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】证明：（1）由A=B=0得，a n+S n=C（n∈N*），①∴a n+1+S n+1=C．②…2分②﹣①式得：2a n+1=a n，又a1≠0，所以数列{a n}是以为公比的等比数列；（2）由题意知：数列{a n}是等差数列，设公差为d，∴a n=a1+（n﹣1）d，，∵a n+S n=An2+Bn+C（n∈N*），∴a1+（n﹣1）d+=An2+Bn+C，化简得：n2++a1﹣d=An2+Bn+C，∴，∴3A+C===B，即3A+C=B；解：（3）∵a1=1，B+C=2，a n+S n=An2+Bn+C（n∈N*），∴当n=1时，2a1=A+B+C，则2=A+B+C，有A=0，∴a n+S n=Bn+（2﹣B），则a n+1+S n+1=B（n+1）+（2﹣B），﹣a n=B，即a n+1=（a n+B），两式相减得：2a n+1∴a n﹣B=（a n﹣B），+1又a1=1，B≠1，则a1﹣B≠0，则数列{a n﹣B}是以为公比的等比数列，∴a n﹣B=（a1﹣B）•=，则a n=+B，∴===1+，又B＞0且B≠1，有以下两种情况：①当0＜B＜1时，1﹣B＞0，则y=随着n的增大而减小，则≤，即=，∵对n∈N*恒成立，∴；②当B＞1时，1﹣B＜0，则y=随着n的增大而增大，∴＜0，则0=1，∵对n∈N*恒成立，∴λ≥1，综上所述，当0＜B＜1时，；当B＞1时，λ≥1．。