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n k 1
r ( x ) a ( x) 。
以题为例：已知 g ( x ) 1 x x 3 是二元域 F2 上 [7,4] 循环码 C 的生成多项式，
ห้องสมุดไป่ตู้
b (0101) V (4,2) ，将 b 以 g ( x ) 1 x x 3 为生成阵，试求：
1、 其校验多项式 h( x) ； 2、 其生成矩阵和校验矩阵； 3、用系统编码方法编码。 解 答：1、其校验多项式 h( x)
2 3 n r 1
x x3 ；
得到 C ( x) x 3 a ( x) x 4 x 6
( x 3 1)( x 3 x 1) ( x 1)
（其中 q( x) x 3 1 ， r ( x) x 1 ） 则 C ( x ) x r ( x) a ( x )
a0 , a1 , a 2 , ..., a k 1 不全为 0 ；
2、令 C ( x) x
n k
a ( x) a 0 x n k a1 x n k 1 ... a n r 1 x n1
q ( x ) g ( x ) r ( x) ；
3、则 C ( x) x
x7 1 x4 x2 x 1； g ( x)
2 3
2、由于 dim C 4 ，所以 g ( x ) , xg ( x) , x g ( x ) , x g ( x ) 是 C 的基，
1 0 故 C 的生成矩阵为 G 0 0
1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
循环码的系统编码方法
方法分析：鉴于前两种给出的方法都是将信息位放置于后 k 位，而前 n k 位为校验位，用 此方法是将原始信息当成高阶系数来保留存放， 并低阶的系数作为校验码进行编 译。因此我给出的方法恰好相反，设给定原始信息： a0 , a1 , a 2 , ..., a k 1 ，这里讨 论如何确定唯一的 c0 , c1 , ..., c n k 1 ，使 c ( a0 , a1 , ..., a k 1 , c 0 , c1 ,.., c n k 1 ) 。 具体方法：1、设给出的 deg( g ( x )) r , k n r ，则对于信息 a0 , a1 , a 2 , ..., a k 1 给出信 息多项式为： a ( x) a0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3 ... a n r 1 x n r 1 ，显然对于
4
x 5 x 4 x 3 x ； 所以 C (0101110)
2008113116 高 洋
1 1 1 0 1 0 0 由其校验多项式可得其校验矩阵 H 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1
3、给出的 deg( g ( x)) 3 , k 7 3 4 ； 信息多项式为： a ( x) a0 a1 x a 2 x a3 x ... a n r 1 x
