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第六章 循环码的译码

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循环码

循环码

a
b
c
u3u2u1u0
u3u2u1u0 c2 c1c0
a
b
c
除法过程： 除法过程：
u3u2u1u0
[ x { x ( x[ u3 x3 ]mod g(x) + u2x3 )mod g(x) + u1x3 }mod g(x) + u0x3 ]mod g(x)
1 0 u 0 1 0 1 1 ×3' c ' 0d 0 0
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
BCH码 BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为： 其生成多项式为：
g ( x) = LCM [ m1 ( x), m3 ( x),L , m2t −1 ( x) ]
其中m 为素多项式， 为纠错个数，LCM表示取最小公倍数 其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 表示取最小公倍数， 小码距d 2t 小码距d ≥ 2t+1 BCH码分为两种： BCH码分为两种： 码分为两种 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 本原BCH码 码长n 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子 非本原BCH码 码长n 其中m 其中m表示素多项式的次数
有y = c + e，即y(x) = c(x) + e(x) ，则： e， e(
CRC码 CRC码
即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，具有 即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验， 实现简单，检错能力强。其原理为： 实现简单，检错能力强。其原理为： 然后除以生成多项式g 1）任意长的信息位向左移动r位，即xru(x)，然后除以生成多项式g(x)得到的 任意长的信息位向左移动r 余数附加在信息码之后形成码组c 然后进行发送； 余数附加在信息码之后形成码组c(x)，然后进行发送； 2）接收端接收到码组y(x)，然后除以g(x)，如果能整除则表示无错发生，否 接收端接收到码组y 然后除以g 如果能整除则表示无错发生， 则表示有错 详细过程： 详细过程： 1）信息位为u(x)，先向左移动r位，即xru(x)。求余式[xru(x)]mod g(x)= r(x) 信息位为u 先向左移动r 求余式[ 2）则将c(x) = xru(x) + r(x)发送出去 则将c 3）若用e(x)表示可能的错误，则接收到 y(x) = c(x) + e(x) = xru(x) + r(x)+e(x)， 若用e 表示可能的错误， )+e 那么校验方法： 那么校验方法： [y(x)]mod g(x)=[xru(x) + r(x) + e(x) ]mod g(x) = r(x) + r(x) + [ e(x) ]mod g(x) =[x
第6章 差错控制编码

第6章 差错控制编码

端重发，直到正确收到为止。所谓检测出错码是
指在若干接收码元中知道有一个或一些是错的，
但不一定知道该错码的准确位置。采用这种差错
控制方法需要具备双向信道。
第6章 差错控制编码技术
检错重发法（ARQ）原理方框图
第6章 差错控制编码技术
ARQ方式的主要优点：
（1）只需要少量的多余码元就能获得极低的
输出误码率；
lim
s
c lim
s
B log 2 (1
s ) n0 B
第6章 差错控制编码技术
(2) 减小噪声功率N (或减小噪声功率谱密度n0)可以增加信 道容量，若噪声功率趋于零(或噪声功率谱密度趋于零)，则信 道容量趋于无穷大，即：
s lim 0 c lim 0B log 2 (1 N ) N N
及代码选择由某一事先确定的规则来决定，收端接收到这
样的编码后，根据已知的规则，对接收信息进行检验，发 现、纠正和删除错误。下面我们举例说明差错控制编码的 原理。
第6章 差错控制编码技术
假设要发送一组具有八个状态的数据信息
“000”（晴），“001”（云），“010”（阴）， “011”（雨），“100”（雪），“101”（霜）， “110”（雾），“111”（雹）。我们首先要用二 进制码对数据信息进行编码，显然，用3位二进制
1在一个码组内要想检出e位误码要求最小码距为mine12在一个码组内要想纠正t位误码要求最小码距为min2t13在一个码组内要想纠正t位误码同时检测出e位误码et要求最小码距为minte1差错控制编码技术显然要提高编码的纠检错能力不能仅靠简单地增加监督码元位数即冗余度更重要的是要加大最小码距即码组之间的差异程度而最小码距的大小与编码的冗余度是有关的最小码距增大码元的冗余度就增大但码元的冗余度增大最小码距不一定增大
循环码编译码实验ppt课件

循环码编译码实验ppt课件

X 1 X 1 4 X 1 3 X 1 2 X 1 1 X 9 0 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X 0
SE•HT
CP K1 K2
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
2、封锁性：循环码中任两个码组之和〔模2〕必定为该码组集合中的一个码组。 如 0100110+ 0010010=0110100也为一个码组
〔二〕生成多项式与编译码电路的关系
编码：循环码的码多项式可表示为 到的余式，代表监视位。结论：只需知道
，其中 为 就能构造编码器。
与 相除得
译码：由于 就可以构造一个除法电路，把接纳码组除以 字没有错码，否那么有错码。
数字通讯原理实验 循环码编、译码实
验
指点教师:李冰、梁仕文
一、实验目的
❖ 1. 了解生成多项式g(x)在循环码编码器和译码器之间的关系。 ❖ 2.了解码距与纠、检错才干之间的关系。
二、循环码引见
〔一〕循环码是一类很重要的线性码，具有循环性和封锁性。
1、循环性：循环码中任一码组循环一位〔将最右端的码移至左端〕以后，仍为该 码中一个码组。如0100110为一个码组，那么0010011也为一个码组。
随
发生2个错码
其中一个错码在正交位（e14）上 A3 A2 A1 A0中有三个“1”
式
两个错码均在非正交位上
A3 A2 A1 A0中有两个“1”或0个“1”
修
发生3个错码
超出纠错范围，不研究
正
结论：当三个或以上的正交方程为1时，正交位有 错码，需求纠错；当三个以下的正交方程为1时，
循环码的编码电路6.6循环码的译码6.7循环汉明码

循环码的编码电路6.6循环码的译码6.7循环汉明码


*
*
6.5 循环码的编码电路
*
6.5.1 非系统码编码电路
循环码码式是生成多项式倍式。 非系统编码电路/循环码乘法编码电路 输入 a(x)=m(x)， m(x)的次数 <k 输出 a(x)g(x)=C(x)即是码式，C(x)的次数 <n 举例：生成 (7,4) 汉明码的生成多项式为 g(x)=x3+ x2+1，非系统编码电路如图6.13所示。电路共工作7个时钟节拍。
*
6.5.2 系统码编码电路
*
(2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路 循环码编码电路结构和工作原理 工作原理：二元 (n,k) 循环码的编码是将信息多项式 m(x) 乘 xn－k 后再除以生成多项式 g(x) 求出它的余式，即为监督数字多项式 r(x)。 二元 (n,k) 循环码的编码电路就是以 g(x) 为除式的除法电路，而输入的被除式为 xn－km(x) 。 实际的编码电路如图6.15所示。 其级数等于 g(x) 的次数 (n－k) ； 反馈连接决定于 g(x) 的系数 当 gi=0 时 (i=0,1,2,…, n－k)，反馈断开； 当 gi=1 时，对应级加入反馈。
*
*
6.6.1 接收矢量伴随式计算
设 E(x) 为 R(x) 的错误图样，那么 R(x)=C(x)+E(x)，由于 C(x)为 g(x) 的倍式，所以
S(x)≡C(x)+E(x)≡E(x) (mod g(x)) 上式表明：伴随式是由错误图样决定的，与具体码字无关。 说明：循环码伴随式的表示式 (6.4) 是由系统码推出的，但由于伴随式仅与错误图样有关，因而对非系统码也是适用的。
工作过程：
x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 任取一个三次因式为监督多项式 h(x)=x3+x+1 得 h3=1, h2=0, h1=1, h0=1
循 环 码

循 环 码


（2） 求 R(x) ： R(x)是 xr m(x)除以 g(x) 得到的余项。
xr g
mx x
Qx
Rx gx
（3）将R(x) 加在信息位之后作为监督码，组成多项式A(x)。
Ax xr mx Rx
则码编码电路
表 10.6 (7,3)循环码的编码过程
现代通信原理
循环码
1.1 循环码的基本概念
循环码是一种具有循环性的线性码(具有封闭性) 。 一个(n, k) 线性分组码, 如果每个码组任意循环移位
后仍然是一个线性分组码 , 则称此码组为循环码。
例（7，3）循环码：g(x)= x4 + x3 + x2+ 1
表 10.5 (7,3)循环码
为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多
2. 译码过程
循环码的译码可以分三步进行：
（1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项 式S(x)； （2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)； （3）将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。
检错： 设接收码组为B(x), 作B(x) / g(x), 若能除尽（余
式为0），则B(x)为码多项式，表示传输无错码；若余 式不为0，则有错码。
纠错: 建立 B(x) / g(x) 的余式与错误图样的一一对应关
系。根 据余式得到错误图样E(x) , 则A(x)＝ B(x) －E(x)
或通过计算校正子S， 利用类似 表10－4的关系，确定错 码的位置。
由上述分析可知，只要找到循环码的生成多项式g(x)， 就决定了编码、译码、纠错能力。
但在实际的系统设计中，往往要按给定的纠正随机错 误的个数来寻找 g(x)。
＋
D0
第6章 循环码的译码

第6章 循环码的译码

(5.1.9) 式(5.1.7)和 (5.1.9)就是循环码的系统码形式G矩阵和 H矩阵的一般表示形式。
第6章 循环码的译码 章
% x n −1 n−2 % x S = R ⋅ H T = ( rn − 1 , rn − 2 , L r1 , r0 ) M (m od g ( x )) 1 % x x0 % % x n −1 (m od g ( x )) = ( c n −1 , c n − 2 , L c1 , c 0 ) M x0 % % x n −1 + ( e n − 1 , L e1 , e 0 ) M (m od g ( x )) x0 %
第6章 循环码的译码 章
在q进制时， 若码要纠正≤t个错误， 则错误图 样代表共有 t j n − 1 N1 = ∑ ( q − 1) (6.1.6) j − 1 j =1 个。译码时，只要知道此代表图样的伴随式，该类其 它错误图样的伴随式都可由此代表图样伴随式在伴随 式计算电路中得到。这样，就使得循环码译码器的错 误图样识别电路大为简化，由原来识别
共k个， 它们的系数就组成了系统码G矩阵的行。
第6章 循环码的译码 章
(Review2)
1 0 G= M 0
% 0 L 0 − r1 ( x ) %2 ( x ) 1 0 L 0 −r = [ Ik M R] M M M M %k ( x ) 0 1 −r
(5.1.7)
第6章 循环码的译码 章
一、 伴随式计算和错误的检测 设发送的码字C=(cn-1，cn-2，…， c1， c0)， 信道产生的错误图样为E=(en-1，en-2，…， e1， e0)， 译码器收到的n重 R=C+E=(cn-1+en-1， cn-2+en-2， … ， c1+e1， c0+e0) =(rn-1， rn-2， …， r1， r0) r i=c i+e i
循环码的编译码方法..

循环码的编译码方法..

循环码的编译码方法..***************** 实践教学****************** 兰州理工大学计算机与通信学院2013年秋季学期《计算机通信》课程设计题目：(15,7)循环码的编译码方法专业班级：通信工程一班姓名：学号：指导教师：成绩：摘要本次课程设计研究的是循环码的编译码方法，在设计过程中，首先要介绍了线性分组码的编码和译码原理，并介绍了循环码的定义及其相关内容；其次给定的生成多项式g?x?求解出了生成矩阵和监督矩阵，并且利用MATLAB编写循环码的编码器和译码器代，实现编码及译码功能；求出该码的最小码距，并分析讨论该码的纠错能力以及在高斯信道下的误码性能。

关键词: 循环码；编码；译码；MATLAB 目录一前言............................................................... ..................................................................... .................................. 1 二循环码编译码的基本原理............................................................... ...................................................................2 循环码的简介............................................................... ..................................................................... ......... 2 循环码的定义............................................................... ....................................................................2 线性分组码与循环码的区别............................................................... ............................................3 循环码的最小码距............................................................... ............................................................ 3 循环码的检纠错能力...............................................................环码编译码原理及过程............................................................... (4)循环码的编译码原理............................................................... ........................................................ 4 循环码编译码的............................................................... (5)三系统分析............................................................... ..................................................................... .......................... 7 循环码编译码方法的实现框图............................................................... ................................................. 7 循环码编译码实现过程............................................................... . (8)四系统设计....................................................................................... 10 生成矩阵和监督矩阵............................................................... . (10)循环码的编码............................................................... ..................................................................... ....... 10 循环码的的译码............................................................... ..................................................................... ... 11 循环码在高斯信道下的误码性能............................................................... ............................................ 13 总结............................................................... ..................................................................... .. (14)线性分组码与循环码的区别线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。

实验6 BCH循环码的编码与译码

实验6 BCH循环码的编码与译码

实验6 BCH 循环码的编码与译码一、实验内容用VC 或Matlab 软件编写循环BCH 码的编码与译码程序。

利用程序对教科书的例题做一个测试。

二、实验环境1. 计算机2. Windows 2000 或以上3. Microsoft Visual C++ 6.0 或以上4. Matlab 6.0或以上 三、实验目的1. 通过BCH 循环码的编码与译码程序的编写，彻底了解并掌握循环BCH 的编码与译码原理2. 通过循环BCH 码的编码与译码程序的编写，提高编程能力。

四、实验要求1. 提前预习实验，认真阅读实验原理以及相应的参考书。

2. 对不同信道的进行误码率分析。

特别是对称信道，画出误码性能图。

即信道误码率与循环汉明码之间的关系。

3. 认真填写实验报告。

五、实验原理1. 循环BCH 的编码与译码原理(略)2. 循环BCH 的程序实现。

六、实验步骤1.基本概念：设α是()2mGF 上的一个本原，t 是整数，含有2t 个跟232,,,...,tαααα，其系数在()2GF 上，并且最低次多项式()g x 为循环码生成多项式，并称为而原本预案BCH 码。

参数如下： 码长：12m n -=校验位数：r n k mt =-≤ 最小码距：min 021d d t ≥=+ 纠错能力：t 。

其中(3)m m ≥和纠错能力t ()12m t t -<是任意整数2.计算方法：（1）有21mn =-算出m ，遭到一个m 次的本原多项式()p x ，产生()2mGF 扩域。

（2）在()2mGF 上找到一个本原a,一般情况下是利用本原多项式()p x 的根，分别计2t 个连续米次根232,,,...,t αααα所对应的()2GF 域上的最小多项式()()()122,,...,t m x m x m x（3）计算2t 个连续奇次幂之根所对应的最小多项式的公倍式，得到生成多项式()()()()132,,...,t g x LCM m x m x m x =⎡⎤⎣⎦（4）由关系式()()()C x m x g x =求得BCH 码字3.程序实现：对于BCH（15,5）,有matlab实现程序如下：①BCH编码enbch155.mfunction coded = bch155(msg_seq) %定义函数bch编码% 输入为msg_seq信息位% 输出为编码后的码元codedg=[1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1]; %生成多项式系数n=15;k=5; %默认为BCH（15，5）%% 从输入msg_seq中提取信息位msgdisplay('信息位：')if nargin<1 %判断输入信息,若未输入,系统自动产生5组信息码，并显示出信息位nmsg=5;msg=randi([0,1],[nmsg,k])elselmsg = length(msg_seq);nmsg = ceil(lmsg/k);msg = [msg_seq(:);zeros(nmsg*k-lmsg,1)];msg = reshape(msg,k,nmsg).'endxx = [msg zeros(nmsg,n-k)]; %将输入信息码msg拓展为矩阵形式的xx%% 进行编码,将xx编码为codedcoded =zeros(nmsg,n);fori=1:nmsg[q,r]=deconv(xx(i,:),g); %产生余式r=abs(rem(r,2));coded(i,:)=r;endcoded = coded + xx; %产生信息码end②BCH解码debch155.mM=4;code = gf(code,M);[m , n]=size(code);decode=[];code1=[];T2=6;N=15;mat=gf(2,M,code.prim_poly).^([N-1:-1:0]'*([1:T2]));Tx = [0 1 zeros(1,T2-1)];fori=1:m ;code1=code(i,:);M=code1.m;T2=6;N=15;S = code1* ((gf(2,M,code1.prim_poly)).^([N-1:-1:0]'*([1:T2]))); LambdaX = gf([1 zeros(1,T2)],M,code1.prim_poly);Tx = [0 1 zeros(1,T2-1)];L=0;for k = 1:T2;LambdaXTemp = LambdaX;Delta = S(k) - LambdaXTemp(1+[1:L])*(S(k-[1:L]))';ifDelta.x;LambdaX = LambdaXTemp - Delta*Tx;if 2*L < k;L = k-L;Tx = LambdaXTemp/Delta;end;end;Tx = [0 Tx(1:T2)];end;LambdaXValue = LambdaX.x;LambdaX = gf(LambdaXValue(1:max(find(LambdaXValue))), M, code1.prim_poly); errLoc_int = roots(LambdaX);errLoc = log(errLoc_int);fori = 1:length(errLoc);errorMag = 1;code1(N-errLoc(i)) = code1(N-errLoc(i)) - errorMag;end;decode=[decode;code1];end;ccode = double(decode.x);decode = ccode(:,1:5);end③测试文件 bch_en_decode.mfunction bch_en_decode(msg) %编码ifnargin<1code=enbch155();else code=enbch155(msg); %编码endcode=code+randerr(5,15,1:3); %模拟信道产生错误，每行有1-3个随机错误display('信道传输中干扰后,接收到的信息');coder=rem(code,2) %对2取余，使范围是0、1display('解码后');decode=debch155(coder)end4.进行测试法一：不输入信息位，让系统自动产生信息位，在matlab中输入下面一行代码，得到结果>>bch_en_decode()信息位：msg =0 0 1 1 11 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 0 10 0 0 0 0编码后码元:coded =0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 信道传输中干扰后,接收到的信息coder =0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 00 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 11 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 解码后decode =0 0 1 1 11 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 0 10 0 0 0 0法二：输入信息位在matalb中输入下面两行代码，得到结果如下>>msg=[1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1];>>bch_en_decode(msg)信息位：msg =1 1 0 1 11 1 1 1 10 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 0 1编码后码元:coded =1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 信道传输中干扰后,接收到的信息coder =1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 10 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 10 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 00 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 解码后decode =1 1 0 1 11 1 1 1 10 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 0 1。

第六章循环码的译码

第六章循环码的译码


由（1）式得w(ep(x))= w(s(x)- sI(x) )，所以
w(s(x)- sI(x) ) t-w(Q(x)) 作为判断信息位错误图样是否是Q(x)的条件（充分条
件未证）。
e(x)=Q(x)xn-k+s(x)-sI(x)
对于戈莱码：Q1(x)=0, Q2(x)=x5, Q3(x)=x6。 取g(x)=x11+x10+x6+x5+x4+x2+1 由（2）可得：
三、扩展汉明码的译码
报警 异 或
r(x)
+
s0
+ s1
s2
+ s∞
7级缓冲器
e(x)=x6
+ c(x)
s0/s1/s2 s 0
1
0 01
无错
1 10
t 3, 不能 纠错
t2，不 能纠错
t=1，可 以纠错
四、缩短循环码的译码
缓存：k->k-i r(x)先移位i次
五、捕错译码----原理
1. 原理
12
C023
C123
C
2 23
C323
=1+23+23*22/2+23*22*21/(2*3) 0
11
223-12=211=2048
=1+23+23*11+23*77 =1+23(1+11+77) =1+23*89 =2048
1
10
2
监督元位
9
3
4
8
5
6
7
对于错误图样e(x)=x22+x11（图中打叉的两个点）或e(x)=x17+x11+x6 （图中三个空 心园点）,不能通过循环移位把所有的错误移动11个监督位中，所以不能采用简单 的捕错译码法。
循环码编译码工作过程

循环码编译码工作过程

循环码编译码工作过程可以概括为以下几个步骤：一、循环码编码过程1. 生成多项式选择：循环码的编码过程中，需要选择合适的生成多项式，以便将输入的数据符号转换成循环码序列。

常见的生成多项式有GF(2^m)中的最小多项式、标准多项式等。

2. 输入数据符号的编码：将输入的数据符号转换成二进制码字，可以采用简单的模2加法或利用编码算法进行转换。

3. 生成多项式扩展：将二进制码字通过生成多项式进行扩展，得到循环码的码字。

由于循环码是循环移位对称的，因此可以通过将码字循环移位得到不同的码字。

4. 校验位添加：根据循环码的校验规则，添加校验位，以确保编码后的码字是正确的循环码序列。

二、循环码解码过程1. 循环移位：将接收到的码字进行循环移位，使其与发送的码字匹配。

2. 校验位检查：根据循环码的校验规则，检查接收到的码字中的校验位是否正确。

3. 错误检测与纠正：如果校验位不正确，需要根据错误的位置和大小进行错误检测和纠正。

如果错误数量较少且位置相对固定，可以采用简单的错误纠正算法；如果错误数量较多或位置不固定，则需要利用更复杂的算法进行错误检测和纠正。

4. 数据恢复：根据解码过程中得到的正确的二进制码字，恢复原始数据符号。

需要注意的是，循环码的编码和解码过程都涉及到多项式的运算，因此需要选择合适的算法和工具进行实现。

同时，为了保证编码和解码的正确性和效率，还需要对传输过程中的干扰和噪声等因素进行考虑和处理。

在实现循环码的过程中，可以采用硬件或软件的方式。

对于硬件实现，可以利用数字电路和微处理器等技术进行设计；对于软件实现，可以利用编程语言和算法库等进行编写。

在实际应用中，需要根据具体的需求和环境选择合适的方式。

总之，循环码是一种重要的编码技术，具有较高的可靠性和效率。

了解循环码的编译码工作过程，对于在实际应用中实现循环码、优化编码和解码性能、提高通信系统的性能具有重要意义。

通信原理实验_循环码编译码

通信原理实验_循环码编译码

学生实验报告系别电子工程系课程名称通信原理实验班级实验名称循环码编译码实验姓名实验时间2010年12月14 日学号指导教师报告内容一、实验目的了解生成多项式g（x）与编、译码器之间的关系，码距与纠、检错能力之间的关系。

二、实验内容1．根据编码规则验证循环码的生成多项式。

2．通过实验了解循环码的工作原理。

（1）了解生成多项式g（x）与编码及译码的关系。

（2）了解生成多项式g（x）与码距d的关系。

（3）了解码距d与纠、检错能力之间的关系。

（4）观察该码能纠几个错误码元。

（5）观察循环码的循环性以及封闭性。

3．通过实验了解编、译码器的组成方框图及其主要波形图。

4．了解信道中的噪声对该系统的影响。

三、实验原理总原理方框图如图6.1所示。

图6.1循环码的编、译码系统由下列五部分组成：定时单元、信码发生器及显示部分、编码器、模拟信道部分（虚线部分，包括错码发生器及其显示）和译码器。

（1）定时单元本单元提供编码器及译码器所需的时序信号。

其时钟重复频率（CP）为2MHZ。

（2）信码发生器本单元给编码器提供一个信号源，手控开关（板上CDIN）置于+5V时，发光二极管亮，代表输出“1”码元。

若开关置于“0”，代表输出“0”码元。

（3）循环码编码器编码器是本实验的主要部分。

根据生成多项式，采用5个异或门和D触发器组成编码器。

在K1信号的控制下，输入6位信息码元CDIN，一方面串行输入信道，另一方面通过与门送入除法电路进行计算。

第6位输入码元结束时，K1信号也为零，在CP脉冲作用下，移位寄存器将计算的结果（CDOUT）送往信道，即在6位信息码元后附加了9位监督码，使码长（n=K+r）为15（64个编码输出信号见附表1）。

（4）模拟信道传输错误部分严格说编码输出的基带信号发往信道，若信道为有线的，需加均衡设备；若为无线信号，需加调制设备。

本实验的目的是观察编码输出波形及该波形经过信道后纠错能力，尽量省去附加设备。

本实验设计了一个15位错码发生器（板上ECD框内）可在不同位置使用开关任加“1”码，并使相应的发光二极管发光，显示错码产生的位置（如图6.2所示）。

讲义62循环码

6-2 循环码(Cyclic Code)循环码是线性分组码的最重要的一类码，它的结构完全建立在有限域多项式的基础上。

它具有两个基本特点：一是编码电路与译码电路非常简单，易于实现；二是其代数性质好编码译码分析方便，有一些好的译码方法。

6-2-1 循环码的描述[循环码定义]：一个(n,k)线性分组码C，如果码组中的一个码字的循环移位也是这个码组中的一个码字，则称C为循环码。

C(0)={c n-1,c n-2,……c1,c0} ∈CC(1)={c n-2,c n-3,……c0,c n-1} ∈C称为具有循环自闭性。

[循环码的多项式描述]：循环码可以用监督矩阵和生成矩阵描述，但更多地用域上多项式来描述，一个(n,k)循环的码字矢量C(0)用一个n-1次多项式描述，可以表示为：C(x)= c n-1x n-1+c n-2x n-2+……+c1x+c0这个多项式称为码字多项式。

码字矢量的循环移位可以用x乘上C(x)后的模x n-1(x n+1)来表示。

xC(x)= x(c n-1x n-1+c n-2x n-2+……+c1x+c0)= c n-1x n+c n-2x n-1+……+c1x2+c0 x= c n-2x n-1+……+c1x2+c0 x+ c n-1(模x n+1)模x n+1相当于x n+1=0；x n=1[循环码举例]：(7,4)系统循环码的编码及码字多项式如下表：可以看出：每个码字的循环移位仍然属于这个码组，注意：并不是说这个码组是由一个码字的循环移位构成的，本例中是由四个码字的循环移位构成的。

[生成多项式的定义]：在一个(n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k=r的码字多项式，记为：g(x)=x r+g r-1x r-1+……+g1x+1同时：每个码字多项式都是g(x)的倍式；每个次数小于等于n-1的g(x)的倍式必为一个码字多项式。

这时称g(x)的(n,k)码的生成多项式。

从上面的例子可见，g(x)=x3+x+1为(7,4)循环码的生成多项式。

——循环码的译码


02
——循环码的基本概念
——循环码的数学基础
有限域理论
循环码是基于有限域理论的一种纠错码，涉及到的数学基础 包括域、环、多项式等概念。
线性代数
循环码可以看作是线性代数中的向量空间，涉及到向量、矩 阵、线性变换等概念。
——循环码的物理结构
编码器
循环码的编码器通常由移位寄存器和模二加法器组成，用于将信息位转化为 循环码的形式。
译码器
循环码的译码器通常由移位寄存器和模二减法器组成，用于将循环码转化为 原始信息位。
——循环码的特点和优势
特点
循环码具有误码纠正能力、易于实现、编码效率高等特点。
优势
循环码在通信、数据存储、数字信号处理等领域得到广泛应用，具有较好的性能和可靠性。
03
——循环码的编码原理及实现
——循环码的编码算法
04
——循环码的译码算法及性能分析
——循环码的译码算法
1
循环码的译码算法主要有两种：最大似然译码 （MLD）和维特比译码（Viterbi）。
2
MLD是根据接收到的信号序列，寻找最有可能 的发送序列，它是一种贪心算法。
3
Viterbi译码是一种动态规划算法，通过遍历所 有可能的发送序列，找出最有可能的发送序列 。
在通信系统中，由于信道噪声或其他因素的影响，接收到的 信号可能存在误差，需要进行纠错，循环码作为一种广泛应 用于通信系统的纠错码，具有较好的性能，因此对循环码的 译码研究具有实际应用价值。
——循环码简介
——循环码是一种线性码，其编码和解码方法与循环移位 操作相关，具有较好的性能和简单的编码、解码算法。
——循环码具有良好的纠错性能和较低的误码率，在实际 应用中具有广泛的应用价值，如移动通信、卫星通信、数 据存储等领域。

——循环码的译码


软件实现优势
可拓展性强，易于修改和维护， 可充分利用现有的软件资源，减 少开发成本。
——循环码的硬件译码实现
硬件译码芯片
选用专用的译码芯片或FPGA等硬件设备来实现 循环码的译码操作。
硬件实现算法
根据循环码的编码规则和多项式系数，设计硬件 电路实现解码和校验。
硬件实现优势
实时性强，处理速度快，适用于大量数据的快速 译码。
循环码的译码是这些领域中的一项 重要技术，对于保证通信质量和数 据安全性具有重要意义。
研究现状与发展
循环码的译码算法主要分为两大类：硬判决译码和软 判决译码。
软判决译码则是利用接收信号的幅度、相位等信息进 行译码，具有更高的纠错性能。
硬判决译码是将接收到的信号进行二值化判决，然后 对判决结果进行译码。
03
——循环码的译码算法
基于概率统计的译码算法
要点一
贝叶斯译码
要点二
最大似然译码
利用信道输出概率与发送序列的概率 关系，通过迭代计算得到译码输出。
寻找最大概率的发送序列作为译码输 出，可通过贝叶斯译码实现。
要点三
Viterbi译码
在已知信道输出概率和发送序列概率 的情况下，通过动态规划寻找最大概 率路径。
基于信号处理的译码优化策略
总结词
在循环码的译码过程中，可以引入信号处 理的方法和技术，提高译码的准确性和可 靠性。
详细描述
基于信号处理的译码优化策略主要是通过 将循环码的译码问题转化为信号处理问题 ，采用信号处理的方法和技术，如滤波、 均衡、降噪等，减小译码错误率，提高译 码可靠性。此外，还可以采用多级滤波和 多进制均衡等高级信号处理技术，进一步 提高译码性能。
——循环码的译码优化策略

(7,4)循环码的编码和译码(精品WORD文档)

(7,4)循环码的编码译码编码的实验原理：根据循环码的代数性质建立系统编码的过程，可以把消息矢量用如下多项式表示：m(x) = m k」x k' + m k/X k，十…十m i x 十m°要编码成系统循环码形式，把消息比特移入码字寄存器的最右边k 位，而把监督比特加在最左边的n-k个中，则要用x n」乘以m(x)得到n _kx m(x)= mk」x n_l m k-2x n-2…m1x nJ^ 1m0x nJ<nx m(x)= q(x) g(x)+ p(x)，其中p(x)可以表示为n _k _1 Er n -kp(x)= P n 上」X …Pi X P o ，贝y p(x)+ x m(x)nd 丄n _2 丄丄n _k H i 丄n _k n _k A= m k」x m k/x …mi x m o x + p n」_i x …pi x p o另U(x)= p(x)+ x m(x)，贝卩U=( p o , p i , p2，•…，P n_k」，m o , m i，•…, m k 1 ) o本实验根据以上原理，用matlab实现书上例6.8系统形式的循环3码，生成多项式为g(x)= x x(7,4)循环码的编码的程序如下：clear;clc;a=[1 0 1 1];%高次项系数在前的生成多项式Gx=[1 0 1 1];%将数组a的高位依次放在数组Data的低位Data二zeros(1,7);Data(1)=a(4);Data(2)=a(3);Data(3)=a(2);Data(4)=a(1);%Data除以Gx得到余数Rx[Qx,Rx]=deconv(Data,Gx); b=Rx+Data; %将数组b 的高位放在后面c=b(1);b(1)=b(7);b(7)=c;c=b(2);b(2)=b(6);b(6)=c;c=b(3);b(3)=b(5);b(5)=c;%将数组b 校正for i=1:7if rem(abs(b(i)),2)==0b(i)=0;endendfor i=1:7if rem(abs(b(i)),2)==1b(i)=1;endenddisp(输入序列：');disp('编码输出序列:');b程序运行结果为：输入序列：a =110 0编码输出序列：b =10 1110 0改变输入序列a=[1 0 1 1],运行结果：输入序列：a =10 11编码输出序列：b =10 0 10 11运行结果的编码如下：译码的实验原理g(x)= 1 x x3，在(n, k)循环码中，由于g(x)能除尽，因此x n T可分解成g(x)和其他因式的乘积，记为x n V g(x)h(x)x n 1g (x)即 h (x) = x 4 X 2 X 〔则h *(x)=x 4 x 3 x 1，其中h *(x)式h(x)的逆多项式。

——循环码的译码

循环码的定义和特性定义循环码是一种具有循环特性的线性分组码。

它将k位信息位编码成n位码字，其中n-k为冗余位，用于检测和纠正错误。

特性循环码的两个重要特性是封闭性和循环性。

封闭性指的是两个循环码的和仍然是循环码；循环性指的是循环码的任意循环移位后的结果仍然是循环码。

循环码译码的原理工业控制在工业控制系统中，循环码的译码可用于数据传输的错误检测和纠正，确保控制系统的稳定性和安全性。

循环码译码的应用场景通信领域循环码在数字通信中应用广泛，如移动通信、卫星通信等。

在这些场景中，循环码的译码用于检测和纠正传输过程中的误码，提高通信质量。

存储领域在数据存储领域，如固态硬盘（SSD）、光盘等存储介质中，循环码的译码用于纠正存储数据的错误，提高数据的可靠性和完整性。

航空航天在航空航天领域，由于空间环境恶劣，通信链路容易受到干扰，循环码的译码对于确保航天器与地面站之间的可靠通信具有重要意义。

循环码的编码方法线性反馈移位寄存器法生成多项式法硬判决译码：硬判决译码方法是对接收到的信号进行量化，然后进行译码。

这种方法简单直接，但在低信噪比下性能较差。

循环码的译码方法软判决译码：与硬判决译码不同，软判决译码充分利用了接收信号的幅度信息，提高了译码性能。

但软判决译码实现复杂度相对较高。

迭代译码：迭代译码方法通过多次迭代，逐步逼近正确码字，以提高译码性能。

这种方法在长码长和高纠错能力下具有优势。

以上各种方法各有特点，在实际应用中，需根据具体场景和需求选择合适的方法。

循环码的纠错能力最小距离与纠错能力纠错算法纠错能力定义循环码的误码性能误码性能定义误码率与信噪比仿真与分析与其他码字的比较这是一种迭代算法，用于确定错误位置多项式并纠正错误。

BM算法是循环码译码中最常用的算法之一，具有高效和准确的特点。

BM（Berlekamp-Massey）算法该算法基于欧几里得算法求解最大公约数，能够找到错误图样，并用于纠正循环码中的错误。

相比于BM 算法，欧几里得算法在某些情况下更加简单。

第六讲——循环码的译码


循环码的伴随式译码
将常数项(或最高项)非零的可纠错误 图案E(x)组成一个集合,计算它们的伴随 式,构成一张表.译码时,先计算出S(x), 然后对其做0, 1, …, n-1次模g(x)移位,得 到Sj(x).比较Sj(x)是否在可译表中,若在, 则得到循环移位j次后的错误图案.
运算量分析
纠t个错的(n,k)线性分组码译码所需错误 图案表大小为
时非变对称DMC中的最大似然准则
对接收矢量R,和一个可能的许用码矢量C,它 们的相应的似然值为∏iP(ri|ci),这里用到了信 道的无记性,再利用非时变性和对称性得 Pcm[(1-Pc)/(M-1)]n,其中m为序列中ri=ci的符号 个数,n为序列中ri≠ci的符号个数,M为符号集 大小;此外根据最大似然准则且在信道容量不 为0的情况下,有Pc >(1-Pc)/(M-1).因此有最小 差错概率的序列与R的汉明距离最小.
n t
,而纠t个错的(n,k)循
t 1
环码译码所需错误图案表大小为 n 1,
循环码伴随式译码举例
纠一个错的循环码:汉明码
– 共有n种可纠的错误图案,而它们都是 000…001 000…001(伴随式为S0(x))的循环移位.因 S (x) 此它们可以归为一类,即对计算出的S(x)做 0~n-1次模g(x)移位,直到出现S0(x)为止,将 R(x)做相应次移位后最后一位反转,再做剩 余的移位,即得到正确的译码结果.可见伴 随式表可以大大缩小.
�
i=1 t
称 σ (x) = ∏(1 xi x) 为错误位置多项式.
i=1
t
BCH译码的运算量
因此找错误位置就又可分为两步
– 根据S(x)确定σ(x)的各项系数,运算量正比 于t3. t – 求解σ(x).可用Chien搜索算法,运算量正比 于t.
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6
2
mod x x 1
mod x
3

3


x 1
循环汉明码译码电路
[7,4,3]循环汉明码的生成多项式为x3+x+1
6 ~ H x

T
~ x5
T
~ x4
T
~ x3
T
~ x2
T
~ x1
T
1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
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第六章 循环码的译码
循环码的译码
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码
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一、一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
软判决译码准则
码字错误概率最低：广义最小距离译码、Chase 译码 码元错误概率最低：APP译码、逐位译码、重量 删除译码
几类最佳译码 最小欧几里德距离译码
max p( R | Cl ) min (ri cli ) 2
i 1 n
最大内积译码（最大相关译码）
min dE max R Cl
错误集中在n-k个校验元上的条件
纠正t个错误的GF(q)上的[n,k]循环码，捕错译码 过程中，已把t个错误集中在Ri(x)的最低次n-k 位 以内的充要条件是：
wS i x t
其中w(Si(x))是伴随式Si(x)的重量
Ex en1 x n1 enk x nk enk 1 x nk 1 e0
en k x
nk
k 1 x
k 1
en k

S I j x x
nk
Qx modg x
修正捕错译码原理
因此，如果能找到一个k-1次多项式Q(x) ，使 错误图样E(x)或E(x)的循环移位在前k位码段 内与Q(x)一致，即可找到最终的错误图样
覆盖多项式的数目
对于纠正t个错误的GF(q)上的[n, k]循环码， 当且仅当R<2/t时，覆盖多项式集合必存在。 对于t=2，覆盖多项式{Qj(x)}中，最少的多 项式数目为
j n /(2(n k ))
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0 T ~ x mod g x
非门
与门
输入R(x) 门
七级缓存
循环汉明码译码电路 (需要14移位)
Example：设计一个由g(x)=x4+x3+1 生成的[15,11]循环汉明码译码电路。
基本要求：需要一个除法电路和一个逻辑电路
要设计逻辑电路，须知道该码可纠正的错误图样及伴随式 汉明码可纠一个错误，只需知道一个错误图样的伴随式
修正的捕错译码
当循环码的信息比特数k等于n/t或比n/t稍大时，可 采用某种方法，将大部分错误集中在n-k位上，而 把个别错误集中在固定的某几位上，即可实现修正 的捕错译码
固定几位错误 大部分错误
修正捕错译码原理
E I x en 1 x x x
nk nk
n 1
Qx
e
编码增益和软判决增益
在某一误码率下，应用一定的纠错码系统后，相对于没有 应用时所获得的信噪比减少的分贝数称为此纠错码的编码 增益 高信噪比时所获得的编码增益称为渐进编码增益 码率R,纠t个错误，AWGN信道，硬判决译码 t 1 pb Kpe K (Q((2REb / N0 )1/ 2 ))t 1 未应用纠错码，AWGN信道
伴随式又可由校验矩阵H得到
扩展汉明码的译码
缩短循环码的译码
扩展汉明码的译码
扩展汉明码的码长是8的整数倍。 扩展汉明码d=4，能纠正一个错误同时发现两个错 误。 译码电路主要部分与循环汉明码译码器相同，需 要加上检错电路。
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1、根据接收序列R计算伴随式S=RHT(n-k维向量) 2、根据伴随式S寻找错误图样E 3、根据错误图样E估计码向量C’， 进而计算信息序列
伴随式计算的多项式表示
R Rx rn1 x
n1
rn2 x
c n 2 x en 2 x
n 2
r0
c 0 e0
S1 x xS x
mod g x
循环码计算伴随式电路的特点
推论：xjR(x)的伴随式Sj(x)≡xjS(x) (mod g(x))， j=0， 1， …， n-1。 而任意多项式a(x)乘R(x)所对应的伴随式 Sa(x)≡a(x)S(x) (mod g(x))
在 q 进制时， 若码要纠正 ≤ t 个错误， 则错误图样代表共有 t j n 1 N1 ( q 1) j 1 j 1
' ' pb KQ[(2Eb / N0 )1/ 2 ]
dh 1 ) 硬判决渐进编码增益：G 10 lg R(t 1) 10 lg R( 2
C Cx cn1 x E Ex en1 x
n1
n 2
n1
n 2
nk 1 n k 2 S S x s nk 1 x s n k 2 x s0
系统循环码的一致校验矩阵H
n 1 T ~ n 2 ~ H x , x
使得循环码译码器的错误图样识别电路大为简 化， 由原来识别N2个图样减少到N1个
N2
j 1
t
n j j ( q 1)
Example:循环码生成多项式g(x)=x3+x+1， 计算E(x)=x6和E(x)=x5的伴随式
x x 1
x x x 1
5 2


T
1 T ~0 ~ , x , x

T

(mod g ( x))
S RH T
~ x n 1 ~ x n2 rn 1 , rn 2 , r0 x n 1 x n 1 n2 n2 ~ ~ x x c n1 , c n 2 , c0 mod g x e n 1 , e n 2 , e0 mod g x 0 0 ~ ~ x x
n2
m
m k i 0 i
r
nk
m r 1

i 0
m i
r阶RM码是r+1步大数逻辑可译 码
极长码
对任何整数m>=2，均存在有如下参数的极 长码：n=2m-1，k=m, d=2m-1。码的生成多 项式g(x)=(xn-1)/p(x)。p(x)是一个m次本原 多项式。 极长码是汉明码的对偶码。 一步大数逻辑译码
软判决译码
软判决译码是最佳译码的折衷
软判决译码
软判决距离：二进制输入Q元输出的DMC中，最 大似然译码近似等价于最小软判决距离译码 软判决重量wls 软重量和汉明重量关系：wls=(Q-1)wlh 一个最小距离为dh的二进制[n,k]线性分组码，有 最小软距离ds=(Q-1)dh,它一定能纠正软重量为 ts<(Q-1)dh/2的任何错误图样 有最小距离为dh的二进制线性分组码，在Q进制 输出的DMC中，当信噪比很高时，应用最小软判 决距离译码，能纠正dh-1个硬判决错误
汉明码的对偶码，极长码
大数逻辑译码
如果某一码元位置集合{ci1,ci2,…,cil}的线性组合 ai1ci1+ai2ci2+…+ailcil 在A1，A2,…,AJ的一致校验和式中均出现，而其 余码元位置集合至多在其中一个校验和式中出现， 则说A1，A2,…,AJ在集合{ci1,ci2,…,cil}上正交，称 A1，A2,…,AJ是正交于该码元位置集合的正交一 致校验和式。 例：[7,4,3]循环汉明码，两步大数逻辑可译码
1 0 1 1 0 0 0 H0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
H0CT 0
大数逻辑译码
A1=c6+c4+c3=0 A2=c6+c5+c1=0 A3=c6+c2+c0=0 该校验方程的特点：c6含在每一方程中，c5, c4, c3, c2, c1, c0只含在某一方程中。称为正交于c6码元位的 正交校验方程。H0称为正交一致校验矩阵。 定义：若某一特定码元位出现在H0矩阵中J行的 每一行中，其他码元位至多在其中一行出现，则 称H0为正交于该码元位的正交一致校验矩阵。
若前面k位没有错误，则可用捕错译码实现
若前面k位也有错误，此时伴随式S(x)为：
S x E P x E I x mod g x E P x S I x
若EI(x)和SI(x)已知，可由此得到EP(x)， 进而确定E(x)= EI(x) +EP(x)，即是修正捕错译码
大数逻辑可译码
RM码 极长码（汉明码的对偶码） 差集循环码 复数旋转码
RM码
G0是长为N的全1矢量，G1是 G0 m×2m阶矩阵，其各列由2m个 G m重矢量组成；Gi是从G1中选 G 1 ... 取i行进行矢量与运算所得到的 矢量构造的。 Gr r阶RM码
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四 软判决译码
软判决译码
能够充分利用接收信号波形信息 比硬判决译码能得到额外的2～3dB的增益 适合中等码长和中等纠错能力的码 信噪比可以在很宽的范围内变化 硬判决译码<软判决译码<最大后验概率译 码