waterysun 似水骄阳 1
第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩
⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =⋅=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系λ/h p = （2）
而能量 () ,3,2,12422/2/222222
22
22==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()∫==⋅ ,3,2,1,x x x n h n dx p
即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=
中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,
,2,1,x V E m p n nh x d p −===⋅∫ )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
a x ≤ （1）
其中a 由下式决定：221()2
x a E V x m a ω===。 a − 0 a x
waterysun 似水骄阳 2.
由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
h
n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a
a a a ==⋅=−=−=⋅∫∫∫+−+−22222
22222)21
(22πωπ
ωωω 得ωωπm n
m nh a 22== （3）
代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u
a u a u
du u a ++−=−∫arcsin 2222222
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。
提示：利用,,2,1,20 ==∫n nh d p πϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
ϕ=。 解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。
它的角动量.
ϕϕI p =（广义动量），ϕp 是运动惯量。按量子化条件 ,3,2,1,220===∫m mh p d p ϕπ
ϕπϕ
mh p =∴ϕ，
因而平面转子的能量I m I p E m 2/2/2
22 ==ϕ， ,3,2,1=m
第二章 波函数与Schrödinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势 )(r V 中运动。
（a ）证明粒子的能量平 值为 3E d r ω=⋅∫，
2
**2V m ωψψψψ=∇+ （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0s t ω
∂+∇⋅=∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛∇∂∂+∇∂∂−=*
*22ψψψψt t m s （能流密度）
证：（a ）粒子的能量平 值为（设ψ已归一化）
