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曾谨言量子力学导论(第二版)答案

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量子力学曾谨言练习题答案

量子力学曾谨言练习题答案

量子力学曾谨言练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界的行为规律。

而曾谨言练习题则是量子力学学习过程中的一种重要辅助工具，有助于加深对于量子力学理论的理解和应用。

在这篇文章中，我们将探讨一些量子力学曾谨言练习题的答案，帮助读者更好地理解这一复杂而又神奇的学科。

首先，我们来看一个经典的量子力学练习题：双缝干涉实验。

在这个实验中，一束光通过两个狭缝后形成干涉条纹。

问题是，如果我们只通过其中一个缝让光通过，干涉条纹会发生什么变化？答案是，当只有一个缝让光通过时，干涉条纹会消失。

这是因为双缝干涉实验中的干涉效应依赖于两个缝同时让光通过，以形成干涉图样。

当只有一个缝让光通过时，就无法形成干涉，因此干涉条纹消失。

接下来，我们来看一个更复杂的问题：薛定谔方程。

薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子行为的基本方程。

问题是，如何求解薛定谔方程？答案是，薛定谔方程是一个偏微分方程，可以通过一些数值和解析方法进行求解。

数值方法包括有限差分法和有限元法，可以通过离散化空间和时间来近似求解。

解析方法则包括分离变量法和变分法等，可以通过一系列数学技巧来得到解析解。

薛定谔方程的求解是量子力学研究的基础，对于理解和预测微观世界的行为至关重要。

除了理论问题，量子力学还涉及到一些实验上的考察。

例如，光电效应是量子力学的重要实验现象之一。

问题是，为什么在光电效应中，只有光的频率大于某个临界值时，才能引起电子的发射？答案是，光电效应是由光子与金属表面电子的相互作用引起的。

当光子的能量大于金属表面电子的束缚能时，光子能够将电子从金属中解离出来，形成光电子。

而光子的能量与频率有直接关系，即E=hf，其中E为光子的能量，h为普朗克常数，f为光的频率。

因此，只有光的频率大于某个临界值，光子的能量才能够大于金属表面电子的束缚能，从而引起电子的发射。

最后，我们来看一个与量子力学应用相关的问题：量子计算。

量子计算是利用量子力学的特性来进行计算的一种新型计算方式。

曾谨严量子力学习题解答2

曾谨严量子力学习题解答2
已知： ϕ ( x,0 ) =
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2 1 1 ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ ⎡ϕ1 ( x, t ) + ϕ 2 ( x, t ) ⎤ = 则有：ϕ ( x, t ) = ⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2 (2)求 x (t ) = ?
⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ a sin ⎜ − + ⎛ nπ pa ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ i⎜ − ⎟ ⎪ n +1 ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ 2 2h ⎠ ⎪ ⎝ = π h e ⎝ 2 2h ⎠ ⎨ + ( −1) nπ pa nπ pa ⎬ 2i ⎪ ⎪ − + 2 2h 2 2h ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
3. 《曾 P.163-5》 一维无限深势阱（如右图）中的粒子，设处于 ϕ n ( x ) 态。求其动量分布概率。当 n >> 1 时， 与经典粒子运动比较。 解：利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
V ( x)
0
a
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
∗
5π 2 h 2 5 1 = = E1 = ( E1 + E2 ) 2ma 2 2 2
2 （4）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H 2ϕ ( x )dx
2 −∞
+∞
=∫
+∞
−∞ a
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H 2 ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2

曾谨言量子力学导论(第二版)答案

曾谨言量子力学导论(第二版)答案

1 mω 2 a 2 。 2
−a
0
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
.
由此得
a = 2 E / mω 2 ，
（2）
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 1 2 2 2 2 2 ∫ p ⋅ dx = 2 −∫a 2m( E − 2 mω x ) dx = 2mω −∫a a − x dx = 2 mω a 2 ⋅
ψ ( x, t ) = ϕ (k ) =
1 2π
+∞
2 m ⎡ imx ⎤ ⎛ mx ⎞ ⋅ϕ⎜ exp[− iπ 4] ⋅ exp ⎢ ⎟ t ⎦ ⎝ t ⎠ ⎣2 t ⎥
式中
−∞
∫ψ (x,0)e
α →∞
−ikx
dx 是ψ ( x,0 ) 的 Fourier 变换。
提示：利用
lim
α iπ / 4 −iαx e e = δ (x ) 。 π
= −∇ ⋅ s
所以
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
∂ω +∇⋅s = 0 。 ∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
V1 与 V2 为实函数。
2 ∂ ψ (r , t ) = − ψ (r , t ) ∇ 2ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] ∂t 2m
d d 3 rψ 1* r ,.t ψ 2 r , t = 0 。 ∫ dt
ip0 x /
( ) ( )
⎛ p2 ⎞ i ⎜ p0 x − 0 t ⎟ / ⎜ m ⎟ 2 ⎝ ⎠
2.4 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0 ) = e
， 求ψ ( x, t ) 。

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。

曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。

在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。

1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。

如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。

这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。

而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。

2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。

它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。

波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。

3. 问题：什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。

即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。

这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。

4. 问题：什么是量子隧穿？答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。

这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。

5. 问题：什么是量子比特？答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。

与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。

以上是曾谨言量子力学练习题的答案。

量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。

希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。

曾谨言量子力学课后答案

曾谨言量子力学课后答案

= V (x)
x=a
=
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0a x
由此得
a = 2E / mω 2 ，
（2）
x = ±a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
∫ ∫ ∫ +a p ⋅ dx = 2
2m(E − 1 mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 +a
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
（3）
w = h 2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ +ψ *Vψ , 2m
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
∂w ∂t
=
h2 2m
∇ψ. *⋅ ∇ψ
+
∇ψ
*
⋅ ∇ψ.

.
+ψ * Vψ
+ψ
*V ψ.
=
h2 2m
∇
⋅
ψ.
*
∇ψ
+ψ.
∇ψ
*
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=

量子力学_答案_曾谨言

量子力学_答案_曾谨言

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，⎩⎨⎧<<><∞=a x ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系λ/h p = （2）而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn hn dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(x m x V E a x ω===。

《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)(2)

第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m M r p-==∙μ （1） 总动量 21p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121M P m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’） 总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m uR p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p m Mr p p R -⨯++⨯= )2)(1(⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。

总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m pP u m p m m u m m p P u m p m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222M P += （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、和的算术表示式r i ∇-= R i ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m m Mi p m p m M p ∇-∇-=-=（1） 其中 1111z y x r ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111， 同理，y Y M m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZ M m z ∂∂+∂∂=∂∂11； （利用上题（17）（18）式。

量子力学 曾谨言 习题解答


a
p dx 2
2m(E 1 m 2 x2 ) dx 2m 2 a
a2 x2 dx
a
2
a
2ma2 m a2 nh 2
得 a2 nh 2n m m
（3）
代入（2），解出
En n,
n 1, 2,3,
（4）
积分公式：
a 2 u 2 du u a 2 u 2 a 2 arcsin u c
abc a
b
c
nx , ny , nz 1,2,3,
当 a b c 时，
En n n xyz
2 2 2ma 2
(n
2 x
n
2 y
n
2 z
)
n n n xy z
3
2 2 a
sin nx x sin ny y sin nz y
a
a
a
nx ny nz 时，能级不简并；
nx , n y , nz 三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
px dx nxh , nx 1, 2,3,
即
px 2a nxh （ 2a ：一来一回为一个周期）
px nxh / 2a ,
6
t 2m ，
u
k
mx t
，
参照本题的解题提示，即得
x,t
1 e imx2 2t 2
2m t
e i
/
4
k
k
mx t
d
k
（2）
m t

量子力学——第四章作业参考答案


( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦

量子力学习题答案(曾谨言版)

n
同理有
[ x, F ] i F p
P75 习题3.14
解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ ˆ dx l *l
x

m x
m
1 * ˆ ˆ ˆl ˆ ) dx m ( l y lz l z y m i 1 * ˆ ˆ * ˆ ˆ [ m l y lz m dx m lz l y m dx] i 1 * ˆ ˆ ) * l ˆ dx] [m m ly dx ( l z m z m y m i 1 * ˆ * ˆ [m m ly dx m z m m l y m dx ] 0 i 类似地可以证明 l y 0
1 2 1 ipx p e dp 常数 ( x ) 2m 2
因此(x)=(x) 非能量本征态。 (d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：
( x, t ) C ( p) p ( x, t ) C ( p) p ( x , t )dp
p

Rnl ( r ) N nl l e 2F ( n l 1, 2l 2, )
园轨道（l = n－1）下的径向概率分布函数
n,n1 ( r ) Cr e
2 d n,n1 ( r ) 0 dr
2
2 n 2 Zr na
最概然半径 rn 由下列极值条件决定：



右边


C ( p )dp p ( x , t ) p ' * ( x , t )dx


C ( p ) ( p p ')dp C ( p ')
所以

C ( p ) p * ( x , t ) ( x , t )dx
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