1 选修4—5 不等式选讲
必备知识预案自诊
知识梳理
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤ ,当且仅当 时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤ ,当且仅当 时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a(a>0)的解法:
①|x|a⇔x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔ ;
②|ax+b|≥c⇔ .
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.
3.基本不等式
定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥ ,当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:若a,b为正数,则𝑎+𝑏2≥√𝑎𝑏,当且仅当a=b时,等号成立.
定理3:若a,b,c为正数,则𝑎+𝑏+𝑐3≥√𝑎𝑏𝑐3,当且仅当a=b=c时,等号成立.
定理4:若a1,a2,…,an为n个正数,则
𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛≥√𝑎1𝑎2…𝑎𝑛𝑛,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
4.柯西不等式
(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(𝑎12+𝑎22+…+𝑎𝑛2)(𝑏12+𝑏22+…+𝑏𝑛2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
学校：临清二中 学科：数学 编写人： 路云明 审稿人 :马英济
1.4 绝对值三角不等式
☆教课目的： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基天性质的推导过程；2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式 ；
4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教课要点： 定理 1 的证明及几何意义。 ☆教课难点： 换元思想的浸透。 ☆教课过程： 一、引入 ：
证明一个含有绝对值的不等式建立，除了要应用一般不等式的基天性质以外，常常还要用到对于绝对值的和、差、积、商的性质：
（ 1） a b a b （2） a b a b
（ 3） a b a b a a (b 0) （4）
b b
请同学们思虑一下，能否能够用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道 理？
实质上，性质 a b a a (b 0) 能够从正负数和零的乘法、除法 a b 和
b b
法例直接推出； 而绝对值的差的性质能够利用和的性质导出。 所以，只需能够证明 a b a b 对于随意实数都建立刻可。我们将在下边的例题中研究它的证
明。
此刻请同学们议论一个问题：设 a 为实数， a 和 a 哪个大？
明显 a a ，当且仅当 a 0时等号建立（即在 a 0 时，等号建立。在 a 0
时，等号不建立）。相同， a a. 当且仅当 a 0 时，等号建立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a a 、 a a 及绝对值的和的
性质。 二、典型例题 ：
例 1、证明 （ 1） a b a b ， （2） a b a b 。
证明（ 1）假如 a b 0, 那么 a b a b. 所以 a b a b a b .
如 果 a b 0, 那 么 a b (a b). 所 以
a b a ( b) (a b) a b
（2）依据（ 1）的结果，有 a b b a b b ，就是， a b b a 。
选修4-5中的著名不等式
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军
新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。
绝对值的三角不等式（）：
定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。
绝对值的三角不等式一般形式：
，简记为。
柯西不等式（）
定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。
当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。
当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。
定理：（代数形式）设均为实数，则， 当且仅当时，等号成立。
柯西不等式的一般形式（）
定理：设为实数，则
，
当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。
闵可夫斯基不等式（）
定理：设均为实数，则，
当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。
闵可夫斯基不等式的一般形式：
定理：设是两组正数，，则
或，
当且仅当时，等号成立。
排序不等式（）
定理：设为两组实数为的任一排列，则有。
当且仅当或时，等号成立。
排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。
切比晓夫不等式（）：
定理：设为任意两组实数，
①如果或，则有
②如果或，则有
①②两式，当且仅当或时，等号成立。
平均值不等式（）
定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。
当时，，当且仅当时，等号成立。
加权平均不等式（）
定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。
杨格不等式（）：
定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。
当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。
贝努利不等式（）：
定理：设，且，为大于1的自然数，则。
贝努利不等式的一般形式：
（1）设，且同号，则；
（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。
第5讲 绝对值不等式
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅
|x|＞a {x|x＞a或x＜－a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
2．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
上述定理还可以推广得到以下几个不等式：
(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；
(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；
(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
[教材衍化]
1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为________．
解析：由题意得|2x－5|<9，|2x－5|≥3， 即－9<2x－5<9，2x－5≥3或2x－5≤－3，
解得－2
所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．
答案：(－2，1]∪[4，7)
