1.(1)(),'(0),,()1.()1'(1).()1'(1).()1'(1)x f x af x f b a bf x x B f x x f aC f x x f bD f x x f ab 设函数对任意均满足且其中为非零常数，则（）A.在处不可导在处可导，且在处可导，且在处可导，且2sin 2.2cos xdxx 103.()[01]"()"()(0)(1)0,()0,4()f x f x f x f f f x dxf x 设函数在，上具有二阶连续导数试证2104.()[01],(1)(0)11['()]f x f f f x dx 设在，上有一阶连续导数且试证：12211222222221215.11111(1)1arctan 1|arctan0arctan 33dx x xd xd x x x x 原式=6.(),(),()[,](,)(,),()()()()()()0'()'()'()f xg xh x a b a b a b f a g a h a f b g b h b f g h 在上连续，在内可导，证明：存在一个使行列式()(,)1,2,12(1)(2),,'()0,'()0()()f x x x x x f x f x A x f x B x f x C f x D f x 7.设在内可导，且对任意当时都有则对任意对任意函数单调增加函数单调增加318.3y x x x 曲线与其在处的切线所围成的部分被y 轴分成两部分，这两部分的面积之比是2229.2821705810,1x y z x yz x y z 过平面和平面的交线作球面的切平面，求切平面方程上大数学系部分试题（插班生考试专用）1110000121002200(1)(1)12(1)()(21)(1)(21)121(1)2(1)121(1)2(1)()12112'()(1)2(1)11()ln(1)2ar n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x x x n n f x x xx x f x x ctan (1)ln 22x f。
2008年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．（4分）计算：=．3．（4分）函数的定义域是4．（4分）方程在区间（0，π）内的解是．5．（4分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．（4分）化简：=．7．（4分）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、若|PF2|=3，则|PF1|=．8．（4分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=．9．（4分）已知无穷数列{a n}前n项和，则数列{a n}的各项和为10．（4分）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）．11．（4分）已知a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n（n是正整数），令L1=b1+b2+…+b n，L2=b2+b3+…+b n，…，L n=b n、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n，则c k=（2≤k≤n）．12．（4分）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知向量，若，则λ等于（）A．B．﹣2 C．D．14．（4分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．815．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件16．（4分）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|=1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）已知，求的值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．19．（14分）已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．20．（14分）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．21．（16分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n （n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p ，求证：．22．（18分）已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12008年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2008•上海）已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4} ．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．2．（4分）（2008•上海）计算：=．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．3．（4分）（2008•上海）函数的定义域是[﹣2，1）∪（1，3]【分析】分式的分母不等于0，偶次根式被开方数大于或等于0．【解答】解：由函数函数的解析式知，∴定义域是[﹣2，1）∪（1，3]；故答案为[﹣2，1）∪（1，3]．4．（4分）（2008•上海）方程在区间（0，π）内的解是．【分析】先利用已知条件求得cos（x﹣）的值，进而求得x的值的集合，最后利用x的范围求得x．【解答】解：∵∴cos（x﹣）=∴x﹣=2kπ+即x=2kπ+或x﹣=2kπ﹣，x=2kπ﹣∵x∈（0，π）∴x=故答案为：x=5．（4分）（2008•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=2n﹣1【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．6．（4分）（2008•上海）化简：=cosα．【分析】把原式中的余弦通过诱导公式转化成正弦，再利用和差化积，最后得出结果．【解答】解：原式=sin[﹣（+α）]+sin（+α）sin（﹣α）+sin（+α）=2sin cosα=cosα故答案为cosα7．（4分）（2008•上海）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、若|PF2|=3，则|PF1|=5．【分析】由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0可得：a=1，又双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a，计算可得答案．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0，∴a=1，由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a=2，∴|PF1|﹣3=2，∴|PF1|=5．故答案为：5．8．（4分）（2008•上海）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=．【分析】复原的几何体是下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长都是1，分别求出体积即可．【解答】解：平面展开图复原的几何体是下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长都是1，正方体的体积是1；棱长为1的正四棱锥的体积是：，故答案为：．9．（4分）（2008•上海）已知无穷数列{a n}前n项和，则数列{a n}的各项和为﹣1【分析】若想求数列的前N项和，则应先求数列的通项公式a n，由已知条件，结合a n=S n﹣S n﹣1可得递推公式，因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和，故由公式S=即得【解答】解：由可得：（n≥2），两式相减得并化简：（n≥2），又，所以无穷数列{a n}是等比数列，且公比为﹣，即无穷数列{a n}为递缩等比数列，所以所有项的和S=故答案是﹣110．（4分）（2008•上海）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）．【分析】本题是一个古典概型，把五个元素全排列有A55种方法，题目要求排列中属性相克的两种物质不相邻，所以当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性．第二位排定后，其他三种属性也确定，故有C51C21，【解答】解：如下排列，金、土、火、木、水当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性．第二位排定后，其他三种属性也确定．故有C51C21=10，所以事件A出现的概率是=，故答案为：．11．（4分）（2008•上海）已知a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n（n是正整数），令L1=b1+b2+…+b n，L2=b2+b3+…+b n，…，L n=b n、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n，则c k=a k﹣a k﹣1（2≤k≤n）．【分析】首先分析题目已知a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n，可以看出等式左边是图中的面积，然后把左边变换形式后等于右边即可得到答案．【解答】解：因为已知恒等式a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n 且L1=b1+b2+…+b n，L2=b2+b3+…+b n，…，L n=b n、又由图中的面积S=a1b1+a2b2+…+a n b n=a1（b1+b2+b3+…+b n）+（a2﹣a1）（b2+b3+…+b n）+…+（a n﹣1﹣a n﹣2）（b n﹣1+b n）+（a n﹣a n﹣1）b n=a1L1+（a2﹣a1）L2+…+（a n﹣1﹣a n﹣2）L n﹣1+（a n﹣a n﹣1）L n所以c k=a k﹣a k﹣112．（4分）（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．【分析】设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可．【解答】解：设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）由题设点P1到A，B两点的距离和为d=32+（4﹣b）2+12+（2﹣b）2=2（b﹣3）2+12显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小同理P2（2，0），P3（1，0），所以故答案为：二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•上海）已知向量，若，则λ等于（）A．B．﹣2 C．D．【分析】由可得2×λ=﹣3×3，即可得到答案．【解答】解：∵∴2×λ=﹣3×3∴λ=﹣故选C．14．（4分）（2008•上海）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D15．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B16．（4分）（2008•上海）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|=1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】|z﹣2﹣2i|=1表示C1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上的点．|z+2﹣2i|表示到（﹣2，2）的距离，求其最小值．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），满足|z﹣2﹣2i|=1的点均在以C1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3，故选B．三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）（2008•上海）已知，求的值．【分析】利用二倍角公式把二倍角变成单角，多项式一般要通分整理，看出公分母是2sinθcosθ，约分化简，得到最简形式，再由余弦值和角的范围求出正弦值，代入求解．【解答】解：原式=又，∴，∴18．（12分）（2008•上海）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F 到直线AB的距离．【分析】先求出直线x+y=2与x、y轴的交点A，B，进而得到中点C的坐标，将C的坐标代入抛物线y2=2px求出p进而可得到焦点坐标，再由点到线的距离公式看得到答案．【解答】解：由已知可得A（2，0），B（0，2），C（1，1），解得抛物线方程为y2=x于是焦点∴点F到直线AB的距离为19．（14分）（2008•上海）已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．【分析】（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．（2）先求得反函数f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），构造函数=利用复合函数的单调性求得函数的值域．【解答】解：（1）任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x1+1）﹣log2（2x2+1）=，∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，∴，∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增（2）∵f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）==当1≤x≤2时，，∴∴m的取值范围是20．（14分）（2008•上海）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．【分析】（1）设△ABC的重心为H，连接OH，根据∠OBH就是OB与平面ABC 所成的角，建立BH与OH的等量关系，解之即可；（2）设∠B=120°，△ABC的重心为H，求出OH，分别在Rt△AHO，Rt△CHO，Rt△BHO中求出OA、OB、OC，再根据比例关系求出所求即可．【解答】解：（1）设△ABC的重心为H，连接OH由题意可得，设细钢管上下两段之比为λ已知凳子高度为30、则∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即∠OBH=45°∵BH=OH，∴解得即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63（2）设∠B=120°，∴AB=BC=24，设△ABC的重心为H，则，由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知OH=12设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC'，则，，∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm21．（16分）（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{a n}的通项，把数列{a n}的通项代入新定义的数列{b n}，验证数列{b n}满足b n+1＞b n，得到{A n}是T点列的结论．（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．【解答】解：（1）由题意可知，∴，显然有b n＞b n，+1∴{A n}是T点列（2）在△A k A k+1A k+2中，，∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，则∴（a k+2∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形、（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0①a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p②同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1、③由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1，④由①、②、③、④可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即22．（18分）（2008•上海）已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【分析】（1）（b，c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）①求出虚根，虚根在定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②（b，c）是线段s上一点（非端点），实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：（1）由题意可得2b+c=0，解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立，∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上（2）当△＜0，即b2＜c时，解得，∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2，∵△=4（b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2，∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2，b∈[﹣m﹣r，﹣m+r]若（b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上（3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=5。
2010上海大学插班生模拟题一． 填空1．1cos(1)1lim ()lim (2sin )x x x x c x x x c x x +→∞→∞-+=++，则c=__________2.设()f x 在0x 处连续且00()lim x x f x A x x →=-（A 为常数），则0'()f x =_________ 3.已知32()f x x ax b =++在x=4处有极值-2，则()f x 极大值是___________4.已知'(ln )1ln (0)0f x x x f =+=且，则()f x =_______________5.若当()(),()lim (0)()x f x x f x g x l l g x →+∞→+∞→+∞→+∞=>时且有限则ln ()lim ln ()x f x g x →+∞=_______________二．选择1.下列广义积分收敛的是（）A ．211xdx x +∞+⎰ B.12011sin dx x x ⎰ C.10ln xdx ⎰D.0a a +∞>⎰常数） 2.已知x y=f(e ),'()1f x x =-，则0lim ||x dy dx →=_________A.1B.eC.2D. 03.曲线0,04xy x π=≤≤⎰的弧长为（） A ．1B.1 4.2,1()cos x f x x a x π⎧≥⎪=⎨⎪⎩，x<1处处连续，则a=（）A ．2 B.-2 C.1 D.-15.设()f x 是以2π为周期的函数，在区间[),ππ-上表达式为,0(),0x x f x x x πππ+-≤≤⎧=⎨<<⎩，则()f x 的Fourier 级数在x π=-处收敛于（）A ．0 B.π C.2π-D.2π三．计算1.求22000()lim ()x x x x f u du f u du →⎰⎰，其中'()f x 连续，(0)0,'(0)1f f ==2.设函数()f x 可导，求21()(tan )1x y f x x =++的导数 3.已知()y y x =由方程1y xy e =-所确定的隐函数，求"(0)y4.已知(sin cos )(cos sin )x a t t t y a t t t =-⎧⎨=+⎩求222d y t dx π=在处的值 5.2(1)x dx e -+⎰6.ln cos 1cos 2xdx x +⎰7.求过直线34210:230x y z L x y z --+=⎧⎨-+-=⎩，且垂直于平面:41x y z π-+=的平面方程，并求直线L 在平面π上的投影直线方程。
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x = ，{}|B x x a = ，且A BR ?，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417xx 5 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABC D A B C D - 的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________（结果用最简分数表示）.8. 已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________. 9. 已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C ab+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ^.若12PF F D 的面积为9，则b =____________. 10. 在极坐标系中，由三条直线0q =，3p q =，cos sin 1r q r q +=围成图形的面积是________.11.当01x ＃时，不等式sin2x kx p ³成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数()sin tan f x x x =+.项数为27的等差数列{}n a 满足22n a p p骣琪?琪桫，，且公差0d ¹.若1227()()()0f a f a f a ++?=，则当k =___________时，()0k f a =.13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
