上海大学2000年度研究生入学考试试题
数学分析
1、 设
122(1)n n x x nx y n n +++=
+，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2
n n a
y →∞=；
（2）当a =+∞时，lim n n y →∞
=+∞.
2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且
[]
0,1min ()1f x =-
证明：[]
0,1max ()8f x ''≥
3、 证明：黎曼函数[]1
, x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ⎧>⎪
=⎨⎪⎩
当为互质整数在上可积当x 为无理数.
4、 证明：1
2210
()
lim (0),t tf x dx f t x π+
-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续.
5、 设()1ln 11n n p a n ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，讨论级数2
n n a +∞
=∑的收敛性.
6、 设
()f x dx +∞
⎰
收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0
1
lim ()()h n h f nh f x dx +
+∞
+∞
→==∑⎰.
7、 计算曲面2
2
2
2
x y z a ++=包含在曲面22
221(0)x y b a a b
+=<≤内的那部分的面积.
8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数
1
sin k k
k +∞
=∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题
数学分析
1、 计算下列极限、导数和积分:
(1) 计算极限1
lim ();x
x x +
→ (2) 计算
2
()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ',其中()f x 2
,(1)
.1,(1)
t t t t ≤
⎧=⎨
+>
⎩ (3) 已知)
211sin x x
'
⎤=⎥+⎦,求积分2011sin I dx x π=+⎰. (4) 计算()()2222
2
()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=
>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达
式).
2、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，若()()0f a f b >且(
)02
a b
f +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=. 3、 令(),1y F x y y xe =+-
(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤
<∈-
>∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(2)、证明:对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
中存在唯一的解()y x . (3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性
(1)、函数2
()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对2
10ε-=,试确定
0δ>,使得当
1201x x ≤<≤,且12x x δ-<时有3321210x x --<.
(2)、设[]2231
(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x
+=
∈=+证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的,
但不是一致收敛的.
5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydx
I x y π-=
+⎰其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于
L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.
(2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若
()(),,0,0p q
x y y x
∂∂=≠∂∂
()
0,L pdy qdx c +=≠⎰其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x t
t y t
π=⎧≤≤⎨=⎩ 证明：存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠，使得
()()2222,,,22F c y F c x
p x y q x y x x y y x y
ππ∂∂=+=-∂+∂+. 上海大学2002年度研究生入学考试题
数学分析
1、 求α和β使得当x →+∞
等价于无穷小量x βα.
2、 求椭圆2
2
21Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中2
0,0,,,A AC B A B C >->均为常数.
3、 试给出三角级数
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2
x ,并说明理论依据。
4、
证明：sin ()x e x x f x x ππ⎧≤⎪=>当时
，当时函数在()-∞+∞，上一致连续
5、 设()f x 在[]0,1上有连续的导函数()f x '，(0)0f =，证明：1
12
2
1()()2f x dx f x dx '≤⎰
⎰.
6、 证明:当x y ≤≤1,1时,有不等式2
22
2
2
()2.x y y x -≤+-
7、 设()f x 在(),a b 上连续,并且一对一,(即当()12,,,x x a b ∈且12x x ≠时有12()()f x f x ≠),
证明: ()f x 在(),a b 上严格单调.
上海大学2003年度研究生入学考试题
数学分析
1、 证明与计算：
（1）对于任意的0a >
，证明：n .
（2）设()11
1,0,1,2,...,n n a k x k n n α
α+==>=∑,证明: lim n n x →∞存在并求之.
2、 判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例. （3）存在级数
1
n
n u
∞
=∑,使得当n →+∞时, n u 不趋于0,但
1
n
n u
∞
=∑收敛.
（4）
20
sin xdx +∞
⎰
是收敛的.
(5) 2
1
1
lim sin 0x x e
nxdx --→∞=⎰
(此题只需指明理论依据)
3、 计算
(6)
3
2
2
22
,()
S
xdydz ydzdx zdxdy x y z ++++⎰⎰
其中S 为曲面: ()221,0z x y z -=+≥的上侧.
(7)将把()f x x =在[],ππ-上展成Fourier 级数,并由此计算2
11n
k k
=∑. 4、 证明:
