上海海事大学高数期末试题高等数学B(B)

大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。

答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。

答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。

答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。

因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。

答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。

因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。

4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

试卷号：B020013(答案)注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分N =N⨯一、解答下列各题(本大题共12小题，总计60分) 1、(本小题5分)u y xy x =+221cos()（5分） u xy xy y =22cos()（10分）2、(本小题5分)解：－y y x x xy z z zd 3d 2d d 112232+=-+， 3分 2222232d )1(3d )1(2d z y z y x x z xy z ++++-=， 6分2232)1(2zz xy x z ++-=∂∂；22222)1(2z z y x y z ++-=∂∂。

（10分）3、(本小题5分)4、(本小题5分)f x x x x xx x x (,)lim ()12022=+-=→∆∆∆（10分）或x y x y x x f x x x 2tan )1(2)1,()1,(2='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=或f x x f x x x (,),(,)1122='= 5、(本小题5分)（1）令x y ==0，则z =2 令y z ==0，则x =3 令z x ==0，则y =-6 故截距分别为：3，－6，25分（2）令x y ==0，则z =1 令y z ==0，无解 令z x ==0，则y =2故平面在y 轴，z 轴上截距为2，1，而与x 轴不交。

10分6、(本小题5分)对应的切平面法向量{}{}ϖn =-=---8642432,,,,5分切平面方程 4231240()()()x y z +---+= 或43230x y z --+= 8分 法线方程x y z+=--=+-24134210分 7、(本小题5分)由⎩⎨⎧=+==++=0)cos(0cos )cos(y x z x y x z yx6分解得驻点：m n πππ+⎛⎝⎫⎭⎪2,其中m n ,,,,=±±⋅⋅⋅01210分8、(本小题5分)9、(本小题5分)cos ,sin ,θθ=⨯==303265131213a b ⨯=72(10分)10、(本小题5分)解：limsin x y y xxy →→+-00211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy2116分 = 410分11、(本小题5分)特征方程为λλ2410++=特征根为λλ122323=-+=--,（2分）通解为：y C e C e xx=+-+--123223()() （5分）由初始条件得C C 1223232323=+=-, （8分）原问题的解为：y e ee x xx=+----233232323[()()]（10分）12、(本小题5分)解：x x y xx y +=-332d d ， 2分 通解为 y x C x x =++2232(ln ) 8分由初始值求得：C =-72，y x x x =+-327242(ln )。

高等数学B（二）试卷B一、解答下列各题(本大题共13小题，总计59分)1、(本小题2分),。

=ln()2，求z zz xyx y2、(本小题2分)设z x y x,。

=+()arctan，求z zx y3、(本小题4分)设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。

4、(本小题5分)过z 轴及点M (,,)447-，作一平面，求它的方程。

5、(本小题5分)计算二重积分6、(本小题5分)求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程 。

7、(本小题5分)求函数z x y xy y=-+++2322的极值。

8、(本小题5分)计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。

9、(本小题6分)设a=2,b=3，求a b a b⨯+⋅22()。

10、(本小题6分)求微分方程满足初始条件的解：''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)曲线上任意一点的矢径长等于夹在曲线和ox 轴之间的法线长，求此曲线.2、(本小题5分)证明：l x y z y z 1010:++=++=⎧⎨⎩与l x z x y 21010:++=++=⎧⎨⎩垂直。

三、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分)判别∑∞=+132)1(3cosn n n n π的敛散性。

2、(本小题5分)横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S ，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？3、(本小题5分)判别∑∞=+-1)2ln(1)1(n nn 的敛散性，若收敛，说明是条件收敛，还是绝对收敛？四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)nn n nn x4)1(1⋅-∑∞=2、(本小题6分) 设()xe xf =，试求函数关于()1+x 的幂级数。

第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2013 — 2014 学年第一学期期末考试《 高等数学A （一）》（B 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)1、当x →0时，()2cos 1x -是sin 2x 的 （ ）。

(A)高阶无穷小; (B)同阶无穷小;但不等价; (C)等价无穷小; (D)低阶无穷小xx D x x x x C x x x x e B x x e A y x x e y 222222csc sec cot csc tan sec cot csc tan sec 11csc sec 11csc sec arctan 2++++++++-='-+=．　．．　．）（，则、设　也无水平渐近线无铅直渐近线又有水平渐近线，有铅直渐近线无水平渐近线）有铅直渐近线无铅直渐近线，有水平渐近线）渐近线的正确结论是（、关于曲线,)(,)(,(,)(1cos 32D C B A xxy +=⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-202022sin 2)( 0)(sin )(sin )(sin 224ππππππxdxD C xdxB xdx A x x y 、 、　、 、 ）轴围成图形的面积为（与上的曲线，、在--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页5、曲面22y x z +-=是（ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面;（B ）zoy 平面上曲线y z -=绕z 轴旋转而成的旋转曲面; （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面; （D ）zoy 平面上曲线y z -=绕y 轴旋转而成的旋转曲面.二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、处的法线方程为曲线在设曲线方程为1,sin sin 122=⎪⎩⎪⎨⎧+=++=x tt y tt x 2、='⋅⋅+⎰x x f x f x x xx f d )()( , sin 1sin )(则的一个原函数为已知3、设a b c ,,均为非零向量，且a b c b c a c a b =⨯=⨯=⨯,,b ++=4、⎰-=223_______________cos ππxdx三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、之值。

高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。

A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。

A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。

A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。

A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。

答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。

答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。

答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。

答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。

解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。

经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。

解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。

3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。

第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2011 — 2012 学年第一学期期末考试《 高等数学A （一）》（B 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、()2n121)()()(1)(lim 1e D ••••e C •••e B •••A •••••••e ee e nn n n n 、=⋅⋅-∞→2、当0→x 时，x x -tan 为阶无穷小，的k x 则k 为（ ） （A ）2 （B ）1 (C)4 (D)3()eD e C ••e B e A •••••••••x x f x e x x x f x +-+-=⎩⎨⎧<≥=---⎰3)(3)(3)(3)(d )(0)(31121． ．　． ． 则，，、若 4、设(),()f x g x 在点0x =某邻域内连续，且()f x 具有连续的一阶导数，满足1200ln(1())lim2,()2ln(1)()x g x f x x x g xt dt x→+'==-++⎰，则（ ）（A ）0x =为()f x 极大值点 （B ）0x =为()f x 极小值点 （C ）(0,(0))f 为()y f x =曲线拐点（D ）0x =不是()f x 的极值点，(0,(0))f 也不是曲线拐点--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)=∑=+∞→ni n in e n i 1)(22lim 1、 2、_____________20cos 2上的最大值为，在区间函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+=x x y 3、设()f x 在1x =可导，(1)1f '=，则(1)(12sin )2(13tan )limx f x f x f x x→+++--=________.4、设{}{}3,1,2,2,1,1==b a ，则)7()3(b a b a-⨯-= _____ 三 计算题（必须有解题过程，否则不给分）（本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、 求极限xx x xx 12)2123(lim +∞→++2、讨论x x x f cos )2()(π-=，在2π=x 处的可导性。

高等数学期末考试卷课程高等数学(A 、B 类)（A 卷）参考答案2018~2019学年第 1 学期一．填空题（每小题3分，共15分） 1.3sin 0lim 12x x x → += 32e2.设()f x 可导，则极限0(1)(1)lim x f h f h h αβ→+−−=()(1)f αβ′+3.不定积分2ln 2x dx =∫22ln 2xC+4.若连续函数()f x 满足：20()sin x f t dt x x π=∫，则(4)f =2π5.反常积分20x x e dx +∞−=∫ 2 。

二． 选择题（每小题3分，共15分）1．设麦克劳林公式221(),x e x ax o x −−=+则常数a =（ B ）（A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）162.设曲线11x y e =−水平渐近线的条数为a ，铅直渐近线的条数为b ，则( D )(A)0,1a b ==; (B)1,0a b ==; (C)1,1a b ==; (D)2,1a b ==。

3．设()ln 2,y x =则它的微分dy =（ D ）(A) 12||dx x (B) 12dx x (C)1||dx x (D) 1dxx 4.设定积分32231211ln ,ln ,I xdx I xdx ==∫∫则（ C ）（A ）12I I = （B ） 1223I I = （C ） 12I I > （D ） 12I I <5.从原点()0,0引曲线y =( B )（A ）y x = （B ）12y x =（C ）2y x =（D ）23y x=三．计算（每小题8分，共48分）1．求极限x →解：原式＝0x →0x x →→012x →=012x →=201cos x x x →−=2． 已知(ln ,y x =求11,x x dy y ==′′。

解：因为 y ′=所以1x dy dx ==y ′′=1x y =′′3、设函数()y f x =由方程x y e e xy −=所确定，求导数0,x y y =′′′ 解：由方程x y e e xy −=的两边对x 求导，得x y e e y y xy ′′−=+，从而可解得x y e y y e x+′=+且当0x = 时得0y =，将0x =，0y =代入上式得(0)1y ′=再由方程x y e e y y xy ′′−=+的两边对x 求导数得 2x y y e e y e y y y xy ′′′′′′′−−=++，将0x =，0y =，(0)1y ′=代入上式得02x y =′′=−。

题目一二三四五六七八九得分阅卷人上 海 海 事 大 学 试 卷--------------------------------------------------------------------------------------装 订 线------------------------------------------------------------------------------------2012 — 2013 学年第一学期期末考试《 高等数学B（一）》（A卷）（本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、在x →0时，下面说法中错误的是 （ ）（A ）xsinx 是无穷小;（B ）; (C)sin 是无穷大 ; (D)是无穷大2、(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 24、定积分的值是（ ）（A ）、0 ; （B ）、 ; （C ）、4 ; (D)、.二、填空题（将正确的最简答案填在横线上）(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、=2、3、=4、三计算题（必须有解题过程）(本大题共10小题，每题6分，共60分) 1、(本小题6分)求2、(本小题6分)3、(本小题6分)4、(本小题6分)5、 ( 本小题6分 )6、 ( 本小题6分 )讨论的单调区间，凹凸区间及拐点。

7、( 本小题6分 )8、 ( 本小题6分 )9、( 本小题6分 )如果10、( 本小题6分 )四、应用题（必须有解题过程）（本大题共14分）1、( 本小题7分 )求2、( 本小题7分 )体积为V的圆柱体，如果其表面积最小，求其直径和高的比值五、证明题( 本小题6分 )设，在连续且可导，；证明：存在，使。