线性系统的可控性和可观测性

. . . 线性系统的可控性和可观测性 可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。

（a） (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见1x受u的控制，但2x与u无关，故系统不可控。系统输出量y=1x，但1x是受2x影响的，y能间接获得2x的信息，故系统是可观测的。图（b）中的1x、,2x均受u的控制，故系统可控，但y与2x无关，故系统不可观测。图（c）中的1x、2x均受u的控制，且在y中均能观测到1x、2x，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。 . . .

8.4.2 线性定常系统的可控性 可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。下面分别对离散、连续定常系统的可控性加以研究，先从单输入离散系统入手。 1.离散系统的可控性 （1）单输入离散系统的状态可控性 n阶单输入线性定常离散系统状态可控性定义为：在有限时间间隔内 ],0[nTt，存在无约束的阶梯控制序列u（0），…，u（n-1），能使系统从任意初态x（0）转移至任意终态x（n），则称该系统状态完全可控，简称可控。 下面导出系统可控性的条件，设单输入系统状态方程为 )()()1(kgukxkx （8-87）

其解为 )()0()(101iguxkxkiikk （8-88） 定义 ()(0)nxxnx （8-89） 由于(0)x和()xn取值都可以是任意的，因此x的取值也可以是任意的。将(8-89)写成矩阵形式，有 121(0)(1)(1)(1)(2)(0)nnnxgugugununungggu











LLM

（8-90）

记 11[]nSgggL

（8-91）

称()nn方阵1S为单输入离散系统的可控性矩阵。式（8-90）是一个非齐次线性方程组，n个方程中有n个未知数u(0),)1(,nu，由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵1S的

秩与增广矩阵1(0)SxM的秩相等时，方程组有解（在此尚有惟一解），否则无解。注意到在x为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵1S满秩，即

1rankSn （8-92）

或矩阵1S的行列式不为零，或矩阵1S是非奇异的，即 0det1S （8-93）

式（8-92）和式（8-93）都称为可控性判据。 当rank S1＜n时，系统不可控，表示不存在能使任意)0(x转移至任意 )(nx的控制。 从以上推导看出，状态可控性取决于和g，当 )(ku不受约束时，可控系统的状态转. . .

移过程至多以n个采样周期便可以完成，有时状态转移过程还可能少于n个采样周期。 上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且式（8-90）还给出了求取控制输入的具体方法。 （2）多输入离散系统的状态可控性 单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统，设系统状态方程为 )()()1(kGukxkx （8-94）

可控性矩阵为 12nSGGG

L

（8-95）

1nxGGG

L

(1)(0)unu



M （8-96）

该阵为nnp矩阵，由于列向量)1(,),0(nuu构成的控制列向量是np维的。式（8-96）含有n个方程和np个待求的控制量。由于x是任意的，根据解存在定理，矩阵2S的秩为n时，方程组才有解。于是多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是 rankGrankS[2 nGGn]1 （8-97） 或 0det22TSS （8-98）

2S的行数总小于列数，在列写2S时，若能知道2S的秩为n，便不必把2S的其余列都

计算和列写出来。另外，用（8-98）计算一次n阶行列式便可确定可控性了，这比可能需要多次计算 2S的n阶行列式要简单些。 多输入线性定常离散系统的状态转移过程一般可少于n个采样周期（例8-31）。 例8-20设单输入线性定常散离系统状态方程为

)(101)(011220001)1(kukxkx

试判断可控性；若初始状态Tx012)0(，确定使0)3(x的控制序列)0(u,)1(u, )2(u；研究使0)2(x的可能性。

解 由题意知 1001022,01101g . . .

rank1rank[Sg g ]2g=111rank0223113n 故该系统可控。 按式（8-96）求出)0(u,)1(u,)2(u。下面则用递推法来求控制。令k=0，1，2，可得状态序列 21(1)(0)(0)20(0)11211(2)(1)(1)62(0)0(1)0112111(3)(2)(2)122(0)2(1)04311xxguuxxguuuxxguuu











(2)u



令0)3(x，即解下列方程组 4122)2()1()0(113022111uuu 其系数矩阵即可控性矩阵S1，它的非奇异性可给出如下的解



811541220211211212121214122113022111)2()1()0(1

uuu

若令0)2(x，即解下列方程组 062)1()0(110211uu 容易看出其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 011602211 的秩为3，两个秩不等，方程组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。若该两个秩相等时，便意味着可用两步完成状态转移。

例8-21多输入线性定常离散系统的状态方程为 (1)()()xkxkGuk . . .





011000,041020122G

试判断可控性，设初始状态为[-1 , 0 ,2]T，研究使(1)0x的可能性。 解 GS[2 G ]2G=1014001402010422100 由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使系统从任意初态在三步内转移到原点。由0)0()0()1(Guxx，给出

















)0()0(3221021)0()0(0110002310210120)0()0(21211uuuuGux

设初始状态为102T，由于rank3221021=rank1211002232=2，可求得 12(0)1,(0)0uu，在一步内使该初态转移到原点。当初始状态为2123T亦然，

只是1)0(,0)0(21uu。但本例不能一步内使任意初态转移到原点。 2.连续系统的可控性 （1）单输入连续系统的状态可控性 单输入线性连续定常系统状态可控性定义为：在有限时间间隔内 ],[0fttt，如果存在无约束的分段连续控制函数)(tu，能使系统从任意初态)(0tx转移至任意终态)(ftx，则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。 设状态方程为 buAxx （8-99）

终态解为 )(ftx=00()()0()()ffftAttAttextebud （8-100）

定义 )()(0)(0txetxxttAff 显然，x的取值也是任意的。于是有 0()()fftAttxebud （8-101）

利用凯莱-哈密顿定理的推论 AemnmmA)(10 有 011000()()()()ffffnnttAtAtmmmmtmmxeAbudeAbud