线性系统的可控性和可观测性

8.4线性系统的可控性和可观测性8.4.1可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。

在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。

现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。

这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。

如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。

相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。

可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。

可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。

下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。

(a) (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见洛受U的控制，但X2与U无关，故系统不可控。

系统输出量丫=捲，但X!是受X2影响的，y能间接获得X2的信息，故系统是可观测的。

图（b）中的，X2均受u的控制，故系统可控，但y与X2无关，故系统不可观测。

图（c）中的X i、X2均受u的控制，且在y中均能观测到X i、X2，故系统是可控可观测的。

只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。

842线性定常系统的可控性可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。

状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。

下面分别对离散、连续定常系统的可控性加以研究， 先从单输入离散系统入手。

1•离散系统的可控性(1)单输入离散系统的状态可控性n 阶单输入线性定常离散系统状态可控性定义为：在有限时间间隔内t [0, nT]，存在无约束的阶梯控制序列u ( 0),…，u (n-1),能使系统从任意初态x (0 )转移至任意终态 x (n ),则称该系统状态完全可控，简称可控。

下面导出系统可控性的条件，设单输入系统状态方程为矩阵形式，有x n1gu(0) n2gu(1)川 gu(n 1) u(n 1)m u(n 2)(8-90)g g g :Iu(0)记S [g g ||| n 1g](8-91)称(n n)方阵S 1为单输入离散系统的可控性矩阵。

式(8-90)是一个非齐次线性方程组， n 个方程中有n 个未知数u(0), ,u(n 1)，由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵S 1的秩与增广矩阵 S^x(0)的秩相等时，方程组有解(在此尚有惟一解)，否则无解。

注意到在 x 为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵S 1满秩，即rank S n(8-92)或矩阵S 1的行列式不为零，或矩阵S 1是非奇异的，即 det S 1(8-93)式(8-92)和式(8-93)都称为可控性判据。

当rank S 1V n 时，系统不可控，表示不存在能使任意x(0)转移至任意 x(n)的控制。

x(k 1) x(k) gu(k)(8-87)其解为k 1x(k)kx(0)k 1 igu(i)i 0(8-88 )定义x x(n)nx(0)(8-89 )由于x(0)和x(n)取值都可以是任意的，因此 X 的取值也可以是任意的。

将(8-89)写成从以上推导看出，状态可控性取决于和g，当u(k)不受约束时，可控系统的状态转移过程至多以n个采样周期便可以完成，有时状态转移过程还可能少于n个采样周期。

上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且式( 8-90)还给出了求取控制输入的具体方法。

(2)多输入离散系统的状态可控性单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统，设系统状态方程为x(k 1) x(k) Gu(k) (8-94) 可控性矩阵为S2 G G 川n 1G (8-95)u(n 1)Ix G G川％: (8-96)u(0)该阵为n np矩阵，由于列向量u(0), , u(n 1)构成的控制列向量是np维的。

式(8-96)含有n个方程和np个待求的控制量。

由于x是任意的，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n 时，方程组才有解。

于是多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是n 1rank S2rank[G G G] n (8-97)或detS2S；0 ( 8-98) S2的行数总小于列数，在列写S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余列都计算和列写出来。

另外，用(8-98)计算一次n阶行列式便可确定可控性了，这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单些。

多输入线性定常离散系统的状态转移过程一般可少于n个采样周期(例8-31 )。

例8-20设单输入线性定常散离系统状态方程为1 0 0 1x(k 1) 0 2 2 x(k) 0 u(k)1 1 0 1确定使x(3) 0的控制序列u(0),u(1)试判断可控性；若初始状态x(0) 2 1 0T，u(2);研究使x(2) 0的可能性。

解由题意知1 0 0 1g 00 2 271 1 0 11 1 12 rankE rank[g g g]= rank 0 2 23 n1 1 3 故该系统可控。

可得状2 1 x(1) x(0) gu(0) 2 0 u(0)1 12 1 1x(2) x(1) gu(1) 6 2 u(0) 0 u(1) 0 1 12 1 11 x(3) x(2) gu(2) 12 2 u(0)2 u(1) 0 u(2) 43 111 1 1 u(0)2 令x(3) 0，即解下列方程组 2 2 0 u(1)123 1 1 u(2) 4按式(8-96)求出u(0) ,u(1) ,u(2)。

下面则用递推法来求控制。

令 k=0, 1, 2, 态序列 其系数矩阵即可控性矩阵 S i ,它的非奇异性可给出如下的解 iu(0) 1 1 1 2 u(1)2 2 012u(2) 3 1 1 4 若令x(2) 0，即解下列方程组 1 0 u(0)彳 u(1)1容易看出其系数矩阵的秩为 2，但增广矩阵 12 45 11 81 1 22 06 的秩为3,两个秩不等, 1 1 0组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。

若该两个秩相等时,着可用两步完成状态转移。

方程便意味例8-21多输入线性定常离散系统的状态方程为x(k 1) x(k) Gu(k)2 2 1 0 00 2 0 ,G 0 1 1 4 0 1 0 试判断可控性，设初始状态为 [-1 , 0 ,2] T ，研究使x(1) 0的可能性。

0 0 1 2 24 解 S 2 [G G 2G]= 0 1 0 2 0 41 0 0 4 1 10由前三列组成的矩阵的行列式不为零,故该系统可控，一定能求得控制使系统从任意初态 在三步内转移到原点。

由 x(1) x(0) Gu(0) 0，给出 x(0)1Gu(0) 设初始状态为 U 1(0) u 2(0) U 1(0) u 2(0)1 2 121T1 1 1 02 ，由于 rank 0 =rank 00 =2，可求得222 3 232U 1(0) 1,U 2(0) 0 ,在一步内使该初态转移到原点。

当初始状态为 2 12 3T亦然,只是U 1(0) 0, U 2(0) 1。

但本例不能一步内使任意初态转移到原点。

2•连续系统的可控性 (1)单输入连续系统的状态可控性 单输入线性连续定常系统状态可控性定义为: t [t °,t f ]，如果存在无约束的分段连续控制函数 u(t)，能使系统从任意 初态x(t 。

)转移至任意终态x(t f )，则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。

设状态方程为 有限时间间隔内 x Ax bU (8-99) 终态解为 x(t f ) = e A(t ft 0)x(t °) t fe A(t f}bu( )d t 0 (8-100)定义 x x(t f ) e A(t f t 0)x(t °) 显然，x 的取值也是任意的。

于是有 t 0f e A(tf)bu( )d (8-101) 利用凯莱-哈密顿定理的推论 m ( )A mAt fx et ftm( )A mbu( )dn 1Atfm. e A bt f0 m ( )u( )d令U mm()u( )dm0,1,t o,n 1(8-102)考虑到U m 是标量， 则有u °At feXn 1A mbu mb AbA n 1bu 1(8-103)m 0u n 1记S 3b Ab 川 A n1b(8-104)S 3为单输入线性定常连续系统可控性矩阵，为(n n)矩阵。

可以证明：由于各 m ()之间线性无关，利用(8-103 )式得到的U m 是无约束的阶梯序列。

同离散系统一样，根据解 的存在定理，其状态可控的充分必要条件是rank S 3 n例8-22试用可控性判据判断图 8-21所示桥式电路的可控性。

解 选取状态变量：x 1 i L , x 2 u c 。

电路的状态方程如下:对多输入系统 X A X Bu记可控性矩阵S 4 B AB 川 A n 1B状态可控的充要条件为 rank S 4n 或detS q S ： 0(8-106)(8-107)(8-108)A 、B 矩阵有关。

(8-105)X 11 ( R 1R2 L (RR 2只3巳R3R4)X 11 ( R 1 L (R 1R 2R 3 )X 2 X 2C (RR 2R 2R4)X 丄R 3 R 4 1C R 1 R 21 RT R 4)X 2丄可控性矩阵为S 3 b Ab = L0 1 ( R1 R2L 2 (R 1 R 2 1 ( R 2 LC(R 1 R 2R 3R 4 R 3 R 4 R 4R3R4当R 1R 4 R 2R 3时，rank S 3 2=n ，系统可控；反之当 R 1 R t R 2 R 3，即电桥处于平衡状态时，rankS 3rank b Ab L1 ( R 1R 2L 2(R 1R 2 0R 3R 4 )R s R /，系统不可控，显然，u 不 (2)多输入线性定常连续系统的可控性: 与离散系统一样，连续系统状态可控性只与状态方程中的能控制X2。