线性系统的可控性与可观性

线性系统的可控性与可观测性经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以控制。

且输出量总是可以被测量的，因而不需提出可控性及可观测性概念，现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就纯在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。

如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则称系统是完全可控的，或者更确切的说是状态完全可控的额，简称为系统可控；否则就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。

相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称西戎是状态完全可观测的，简称为系统可观测；反之系统是不完全可观测的，或简称为系统不可观测。

可控性与可观测概念是卡尔曼与20世纪60年代首先提出来的是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。

它不仅是研究性线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于徐福哦最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。

下面我们现举例来直观地说明可控性与可观测性的而无力概念，然后给出可控性与可观测性的严格定义。

应当指出，对可控性和可观测性所作的直观说明，只是对这两个概念的直觉的但不严密的描述，而且也只能用来解释和判断非常直观和非常简单系统的可控性和可观测性。

为了揭示可控性和可观测性的本质属性，并用于分析和判断更为一般和较为复杂的系统，需要对这两个概念建立严格的定义，并在此基础上导出相应的判别准则。

尽管本章主要研究线性定常数，但由于线性时变系统的可控性和可观测性定义更具有代表性，而线性定常数系统知识线性时变系统的一种特殊类型，因而我们选用线性时变系统给出可控性和可观测性的严格定义。

8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。

在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。

现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。

这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。

如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。

相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。

可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。

可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。

下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。

（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。

系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。

图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。

图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。

线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。

本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。

本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。

通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。

关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。

【例4.10.1】设线性定常系统 u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=01131301100 ， []x y 210-=判别可控性。

若系统不可控，将系统按可控性进行规范分解。

解：（1）判别可控性[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==213111012b A AbbQ c ，n rankQ c<=2，故系统不完全可控。

（2）构造按可控性进行规范分解的非奇异变换阵c R 。

[]321R R R R c =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1102R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1003R ，故而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11011001c R 变换后系统的动态方程为：u B x A x+= ，x C y = 式中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x可控子系统动态方程：u x x x c c c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=01212110， []c x y 111-=cc AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11011001313011001100110011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=10221110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--00101111001100111B R B c [][]2111101100121--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==c CR C不可控子系统动态方程：c c x x-= ， c x y 22-=为了说明在构造变换阵c R 时，n r R R ,,1 +列是任意选取的（当然必须保证c R 为非奇异），现取[]321R R R R c =中的[]TR 1013=，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11011101c R u B x A x+= ，x C y = 式中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x即有 u x x xxc c c c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00110221010[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c x x y 211二、系统按可观测性的结构分解设不可观测线性定常系统为Bu Ax x+= ，Cx y =，其可观测性判别矩阵o Q 的秩为r cc AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11011101313011001100111011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10221010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--00101111001110111B R B c [][]2111101110121--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==c CR C（n r <），即n r rankQo<=，则存在非奇异变换x R x o =将状态空间表达式变换为：u B x A x+= ，x C y = 其中：非奇异线性变换阵可这样构造：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-T n T r T rT oR R R R R 1111-o R 中的前r 个向量Tr TR R ,,1 为可观测性判别矩阵o Q 中的r 个线性无关的行。

§4-5 线性定常连续系统的可观测性一、可观测性的定义定义4.4（可观测性定义）：设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x+= ，cx y =，如果对于任一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。

若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。

二、线性定常连续系统可观测性的判别准则定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ）线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是：由A 、C 构成的可观测性判别矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n o cA cA c Q 满秩，即n rankQ o =【例4.5.1】判别可观测性（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110154 ，[]x y 11-=（2）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=113112 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0101说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ⎰-+-=tt d Bu t t x t t t x 0)()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。

（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 ，[]x y 11= 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5511cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。

（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12120101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。

（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。

定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ）设线性定常连续系统Bu Ax x+= ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。

第四章线性系统得可控性与可观性第四章线性系统得可控性与可观性§4-1 问题得提出经典控制理论中⽤传递函数描述系统得输⼊—输出特性,输出量即被控量,只要系统就是因果系统并且就是稳定得,输出量便可以受控,且输出量总就是可以被测量得,因⽽不需要提出可控性与可观性得概念。

现代控制理论就是建⽴在⽤状态空间法描述系统得基础上得。

状态⽅程描述输⼊引起状态得变化过程;输出⽅程描述由状态变化所引起得输出得变化。

可控性与可观性正就是定性地分别描述输⼊对状态得控制能⼒,输出对状态得反映能⼒。

它们分别回答: “输⼊能否控制状态得变化”——可控性“状态得变化能否由输出反映出来”——可观性可控性与可观性就是卡尔曼(Kalman)在1960年⾸先提出来得。

可控性与可观性得概念在现代控制理论中⽆论就是理论上还就是实践上都就是⾮常重要得。

例如:在最优控制问题中,其任务就是寻找输⼊,使状态达到预期得轨线。

就定常系统⽽⾔,如果系统得状态不受控于输⼊,当然就⽆法实现最优控制。

另外,为了改善系统得品质,在⼯程上常⽤状态变量作为反馈信息。

可就是状态得值通常就是难以测取得,往往需要从测量到得中估计出状态;如果输出不能完全反映系统得状态,那么就⽆法实现对状态得估计。

状态空间表达式就是对系统得⼀种完全得描述。

判别系统得可控性与可观性得主要依据就就是状态空间表达式。

【例如】 (1)分析:上述动态⽅程写成⽅程组形式:从状态⽅程来瞧,输⼊u 不能控制状态变量,所以状态变量就是不可控得;从输出⽅程瞧,输出y 不能反映状态变量,所以状态变量就是不能观测得。

即状态变量不可控、可观测;状态变量可控、不可观测。

(2)分析:上述动态⽅程写成⽅程组形式:由于状态变量、都受控于输⼊u,所以系统就是可控得;输出y 能反映状态变量,⼜能反映状态变量得变化,所以系统就是可观测得。

即状态变量可控、可观测;状态变量可控、可观测。

(3)分析:,似乎该系统得所有状态变量都就是可控得;,似乎系统就是可观测得。