通信原理第3章随机过程

（1）写出 y（t）的双边功率谱密度表示式； （2）计算 y（t）通过低通滤波器后的输出信号 yo（t）的平均功率值。 解：
3.7 设ζ（t）是均值为零、双边功率谱密度为 N0／2 的高斯白噪声通过截止频率为 fH 的理 想低通滤波器的输出过程，以 2fH 的速率对 采样，得到采样值
求 n 个采样值的联合概率密度。 解：因为ξ（t）是白高斯过程通过线性系统的输出，故ξ（t）是 0 均值的高斯过程。设 白噪声的功率谱密度为 ，则ξ（t）的功率是 ，所以ξ（t）的一维概率密度是
其中 因此
图 3-1（a）
其图形如图 3-1（b）图所示。
图 3-1（b）
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3.4 设
，其中，n（t）为高斯白噪声（特性同题 3.2），
φ1（t）和φ2（t）为确定函数。求 E（ξ1ξ2），并说明ξ1 与ξ2 统计独立的条件。
，但此时 u（t）的平均功率是
所以 由于
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因此输出信噪比为
3.6 设 y（t）=dn（t）／dt，已知：n（t）是白噪声的样本函数，其均值是零，双边功率 谱密度 N0／2=10-6W／Hz，另有一理想低通滤波器，其单边带宽 B=10 Hz。
的平均自相关函数是
，所以 Y (t)
3.2 设 X（t）是白噪声通过升余弦滤波器的输出，白噪声的均值为 0，双边功率谱密度为 ， 升余弦滤波器的传输函数为
求 X（t）的双边功率谱密度及平均功率。 解：X（t）的平均功率谱密度为 X（t）的平均功率为
3.3 Y（t）是白白噪声通过图 3-1 所示电路的输出，求 Y（t）及其同相分量和正交分量的 双边功率谱密度，并画出图形。

此时Ｘ(t)是很多随机变量．记为{Ｘ(t) ,t＝０, １, 2 , ….}
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引例3

具有随机初位相的简谐波， X(t)=Acos（wt+ φ ） 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布。 由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0，Ｘt0是一个 随机变量．

思考：如何观察该谐波的波形与规律？ 需要在任意时刻t处观察，即观察随机变量Ｘ(t)，此时Ｘ (t)是很多随机变量.记为{Ｘ(t)，t∈[0，+∞)}

xn

随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
n Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n 30
随机过程分布函数的例子
例子1 ：X (t ) A cost t 0;其中A具有以下的概率分布 1 P（A i） i 1 ， 2 ， 3 3

显然，n越大，对 随机过程统计的描 述就越充分，但问 若上式中的偏导存在的话。 题的复杂性也随之 随机过程 (t) 的n维分布函数： 增加。在一般的实 际问题中，掌握二 Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n ) 维分布函数就已经 P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) 足够了。
14 Nhomakorabeat一定时， φ变化，X(t)，就变化，所有变化 的全部构成样本函数集 只有样本函数集可以较为全面的反映所想了 解的随机现象. 为此将概率论中的随机变量推广为样本函数 集.
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随机过程

随机过程的基本特征
它是时间的函数，当然这个函数会随着时间的变 化而变化 在某个固定的时刻t1，,全体样本在时刻t1的取值 X(t1)是一个不含t变化的随机变量 因此，随机过程看成依照时间参数的一般随机变 量，可见，随机过程具有随机变量和时间函数的 特点

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3.2 平稳随机过程
内蒙古大学电子信息工程学院 《通信原理》
3.2.2 各态历经性（遍历性）
问题：随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过 程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量 的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试 验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?
通信原理
第3章 随机过程
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第 3 章 随机过程பைடு நூலகம்
内蒙古大学电子信息工程学院 《通信原理》
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
随机过程的基本概念 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声 高斯白噪声和带限白噪声
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第3章 随机过程
内蒙古大学电子信息工程学院 《通信原理》
回答：是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有 趣而又非常有用的特性，就是其数字特征（均为统计平均）完 全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。称为“各 态历经性”（又称“遍历性”）
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假设 x(t) 是平稳随机过程ξ(t) 的任意一个实现，它的 时 间均值 和 时间相关函数 分别为：
1 a x(t ) lim T T

T /2
T / 2
x(t )dt
(3.2-6)
1 R( ) x( t ) x( t ) lim T T
如果平稳随机过程使下式成立：

T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa
R( ) R( )
即平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值， 则称该平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。 ―各态历经”的含义：随机过程中任一实现（样本）都经 历了随机过程的所有可能状态。

• 随机过程定义
S {e}是它的样本空间。 • 定义：设进行某一随机实验E，
如果对每一个样本 e(e S ) 来说，总可以按某一规则确定 一个时间函数 X (e, t ) 与之对应，那么，对所有的样本， 就得到一簇时间函数，并称此簇时间函数为随机过程， 其中每个时间函数称为该随机过程的样本函数。 • 随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们 又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
• 相关 ：指随机过程在某时刻的取值对下一时刻的取值的影响。 X(t1)和X(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。R(t1, t2)是 两个变量t1和t2的确定函数。 • 协方差函数：
B (t1 , t 2 ) E [ X (t1 ) a (t1 )][ X (t 2 ) a (t 2 )]
取值不确定， 仅有取某个 值的可能性 时间的函数
• 随机过程举例
n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形。 • 样本函数Xi(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 • 随机过程：X(t) ={X1(t),X2(t),…, Xn(t)}，是全部样本函数的 集合。 • 随机过程X(t)是一个由全部可能的实现（或样本函数）构 成的集合，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机 性就体现在出现哪一个实现是不确定的。
• 各态历经性
• 问题的提出：难以获得大量的实验样本。 • 平稳过程在满足一定的条件下具有“各态历经性” （又称“遍历性”）。平稳随机过程的一个实现能够 经历此过程的所有状态。 • 各态历经过程的特点：数字特征的获得可用随机过程 中的任一实现的时间平均值代替统计平均值。
• 各态历经性的条件
• 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其 时间均值和时间相关函数分别定义为：