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通信原理中的随机过程分析

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语音信号的随机过程分析

语音信号的随机过程分析

语音信号的随机过程分析语音信号是一种非常重要的信息载体，它是人类进行交流和沟通的基本方式之一。

而对语音信号的分析是实现语音处理、语音识别、语音合成等应用的基础。

语音信号的随机过程分析是一种数学方法，可以用于揭示语音信号中的随机特性和规律，为后续的信号处理提供指导。

本文将从语音信号的随机性质、随机过程的基本概念和语音信号的随机过程建模等方面进行阐述。

一、语音信号的随机性质语音信号在时间和频率上都具有一定的随机性质。

从时间上看，语音信号通常是非平稳的，即其统计特性会随时间不断变化。

从频率上看，语音信号在频谱上的分布也具有一定的随机性，即其频率成分不是严格固定的。

这些随机性质导致了语音信号具有丰富的变化和多样性。

二、随机过程的基本概念随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，是一组随机变量的集合。

语音信号可以被看作是一种连续时间的随机过程。

在随机过程的分析中，我们常关注两个方面的性质：均值和自相关函数。

1. 均值：语音信号的均值是指信号在长时间内的平均值。

对于平稳信号（即统计特性不随时间变化），其均值是常数。

而对于非平稳信号（如语音信号），其均值会随时间变化。

2. 自相关函数：自相关函数描述了随机过程中不同时间点的两个随机变量之间的相关性。

对于语音信号，自相关函数可以揭示信号的周期性和谐波结构。

三、语音信号的随机过程建模为了更好地理解和分析语音信号，我们常使用随机过程来建立其模型。

常用的语音信号模型包括自回归（AR）模型、线性预测（LP）模型和隐马尔可夫模型（HMM）等。

1. 自回归模型：自回归模型是一种线性滤波模型，它假设当前的信号点与过去的若干个信号点之间存在线性相关关系。

自回归模型的主要参数是滞后系数，可以通过最小均方误差或最大似然估计得到。

2. 线性预测模型：线性预测模型是通过估计语音信号的参数来近似表示信号。

它假设语音信号是由一个线性滤波器和一个随机激励信号相互作用而成的。

线性预测模型的参数可以通过最小均方误差或最大似然估计得到。

周炯盘《通信原理》第3版课后习题(随机过程)【圣才出品】

周炯盘《通信原理》第3版课后习题(随机过程)【圣才出品】
（1）写出 y（t）的双边功率谱密度表示式； （2）计算 y（t）通过低通滤波器后的输出信号 yo（t）的平均功率值。 解：
3.7 设ζ（t）是均值为零、双边功率谱密度为 N0／2 的高斯白噪声通过截止频率为 fH 的理 想低通滤波器的输出过程，以 2fH 的速率对 采样，得到采样值
求 n 个采样值的联合概率密度。 解：因为ξ（t）是白高斯过程通过线性系统的输出，故ξ（t）是 0 均值的高斯过程。设 白噪声的功率谱密度为 ，则ξ（t）的功率是 ，所以ξ（t）的一维概率密度是
其中 因此
图 3-1（a）
其图形如图 3-1（b）图所示。
图 3-1（b）
3 / 10
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3.4 设
，其中，n（t）为高斯白噪声（特性同题 3.2），
φ1（t）和φ2（t）为确定函数。求 E（ξ1ξ2），并说明ξ1 与ξ2 统计独立的条件。
，但此时 u（t）的平均功率是
所以 由于
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因此输出信噪比为
3.6 设 y（t）=dn（t）／dt，已知：n（t）是白噪声的样本函数，其均值是零，双边功率 谱密度 N0／2=10-6W／Hz，另有一理想低通滤波器，其单边带宽 B=10 Hz。
的平均自相关函数是
，所以 Y (t)
3.2 设 X（t）是白噪声通过升余弦滤波器的输出，白噪声的均值为 0，双边功率谱密度为 ， 升余弦滤波器的传输函数为
求 X（t）的双边功率谱密度及平均功率。 解：X（t）的平均功率谱密度为 X（t）的平均功率为
3.3 Y（t）是白白噪声通过图 3-1 所示电路的输出，求 Y（t）及其同相分量和正交分量的 双边功率谱密度，并画出图形。

通信原理随机过程

通信原理随机过程

4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)

（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]

E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt

通信原理第2章-随机信号分析

通信原理第2章-随机信号分析

1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:

通信原理-随机过程课件

通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。

通信原理辅导及习题解析

通信原理辅导及习题解析

通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。

第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。

③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。

2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。

通信原理第3章(樊昌信第七版)

通信原理第3章(樊昌信第七版)
6
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас

通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统

通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统

输出o(t)的统计特性
2
第3章 随机过程
1.输出过程o(t)的均值 对下式两边取统计平均：
0 (t ) h( ) i (t )d

得到
E[ 0 (t )] E

h( ) iFra bibliotek(t )d
h( )E[i (t )]d
H ( ) (1 e jT ). j 2 cos
所以
2
T
2
e
j
t
2
. j
pY ( ) H ( ) p X ( ) 2(1 cos T ). 2 p X ( )
8
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E


R0 (t1 , t1 )


h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d





h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd

设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)


式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：


0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i

通信原理教程3-随机过程

通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d


R( ) PX ( f )e

j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f


)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为

随机过程在通信系统性能分析中应用

随机过程在通信系统性能分析中应用

随机过程在通信系统性能分析中应用随机过程在通信系统性能分析中的应用随机过程是一种在时间和状态上都是随机变量的数学模型，被广泛应用于通信系统性能分析中。

本文将探讨随机过程在通信系统性能分析中的应用，并且介绍常见的几种随机过程模型。

一、随机过程的定义和特点随机过程是一组随机变量的集合，表示系统在不同时间点的状态。

在通信系统中，随机过程可以用来描述信号传输、信道噪声和干扰等随机事件的变化。

随机过程的特点包括：状态空间、状态变化模型和随机性。

二、马尔可夫链马尔可夫链是一种最简单的随机过程模型，其特点是当前状态只依赖于前一个状态。

在通信系统中，马尔可夫链可以描述信道的干扰情况、数据包的传输等。

通过对马尔可夫链进行建模和分析，可以计算系统的稳态概率分布、状态转移概率等指标，从而评估和优化系统性能。

三、泊松过程泊松过程是一种重要的随机过程模型，可以用来模拟随机事件的到达过程。

在通信系统中，泊松过程常用于描述数据包到达信道的过程，以及信道的错误率等。

通过对泊松过程进行建模和分析，可以计算系统的到达率、平均等待时间等指标，为信道资源的调度和分配提供依据。

四、布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程模型，常用于描述随机游走、误差扩散等现象。

在通信系统中，布朗运动可以用来建模信道噪声，通过对布朗运动进行建模和分析，可以计算系统的误码率、信噪比等指标，为系统性能的评估和改进提供依据。

五、排队论排队论是一种用于描述随机到达、随机服务和排队等待的随机过程模型。

在通信系统中，排队论可以用于描述网络中的数据包到达和传输过程。

通过对排队论进行建模和分析，可以计算系统的平均等待时间、平均队列长度等指标，为网络拥塞控制和流量调度等问题提供解决方案。

总结：随机过程是一种在通信系统性能分析中经常使用的数学工具。

通过对随机过程的建模和分析，可以计算系统的各种性能指标，为系统优化和改进提供依据。

常见的随机过程模型包括马尔可夫链、泊松过程、布朗运动和排队论等。

通信原理第2章 随机过程

通信原理第2章 随机过程
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2

数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)

数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
于是 R (t , t ) 0 1 1




h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)

式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t

C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t

C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t

第三章通信原理 随机过程

第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )

B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P

、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1

通信原理第3讲随机过程

通信原理第3讲随机过程
脉冲噪声产生原因
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。

通信原理——随机信号分析

通信原理——随机信号分析

x(fx)dxE(X)
称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表 示。 ▪ 方差 设X为一随机变量，则：
E{[X-E(X)]2}＝D(X) 称为随机变量X的方差，用D(X)表示。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ 协方差 设X，Y为两随机变量，则： E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成 一个二维随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，则 F2(x1,x2; t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2] 称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。
f(x) dF(x) dx
( 导数关系 )
则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ ▪ 设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和 Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的 向量(X, Y)，叫做二维随机变量/向量。 ▪ 设 (X, Y) 是二维随机变量，对于任意实数x, y，二 元函数： F(x,y)= P{X≤x ,Y≤y} 称为二维随机变量(X, Y) 的概率分布函数。
▪ 相关系数 设X，Y为两随机变量，则： covX(,Y) XY D(X) D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 随机过程： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间 波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现 的结果的总体 {x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机 过程，记作ξ(t)。 简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程， 如图所示。

樊昌信《通信原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机过程)

樊昌信《通信原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机过程)

（1）高斯过程的 n 维分布仅由各随机变量的均值、方差和两两间的协方差函数决定。 （2）高斯过程若是宽平稳的，也是严平稳的。 （3）高斯过程丌同时刻的叏值若互丌相关，则彼此独立。 （4）高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程。
2．高斯随机变量 一维正态分布的概率密度函数为：
F1 ( x1 , t1 ) x1
(t) 的 n 维概率分布函数和 n 维概率密度函数分别是：
Fn (x1, x2,..., xn;t1, t2,..., tn ) P{ (t1) x1, (t2) x2,..., (tn) xn}
fn
( x1 ,
x2 , ...,
xn;t1, t2,..., tn )
则称这个随机过程是狭义平稳的(也称严平稳)。由此可见，平稳随机过程的统计特性丌 随时间的推秱而改变，即
（1）一维分布不 t 无关： f1(x1, x2 ) f1(x) ；
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（2）二维分布只不 =t2 t1 有关： f1(x1, x2;t1,t2 ) f1(x1, x2; ) 。
n Fn
(x1, x2,..., xn;t1, t2,..., x1x2,..., xn
tn
)
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2．随机过程的数字特征 （1）均值（数学期望）
E[ (t)] xf1(x,t)dx a(t)
随机过程的数学期望是时间 t 的函数，如图 3-1 所示。表示随机过程在某时刻的摆动中 心（平均值）。
5．平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度（PSD）乊间互为傅立叶变换关系，即维纳辛钦关系：

通信原理—随机过程

通信原理—随机过程
所有实数，有
fn (x1,x2 ,,xn ；t1,t2 ,,tn ) fn (x1, x2 ,, xn；t1 ,t2 ,,tn ) 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
12
第3章 随机过程
性质：
该定义表明，严平稳随机过程的统计特性不随时间 的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 （广义）平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有 着很大的实际意义。
14
第3章 随机过程
3.2.2 各态历经性
互相关函数
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
11
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与
时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
x
2
f1
(x,
t)dx
[a(t
)] 2
均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随
机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
9
第3章 随机过程
相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f 2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2

随机过程在通信原理的应用

随机过程在通信原理的应用

随机过程在通信原理的应用引言随机过程（random process）是概率论中的一种数学模型，描述了随机事件在时间上的演变规律。

在通信原理中，随机过程发挥着重要的作用。

本文将介绍随机过程在通信原理中的应用，并对其中一些常见的应用进行详细说明。

随机过程在通信原理中的应用随机过程在通信原理中的应用非常广泛，下面列举了一些常见的应用：1.信道建模：在通信系统中，信号在传输过程中会受到噪声的影响，因此需要对信道进行建模。

随机过程可以用来描述信道中的噪声，通过对噪声进行建模，可以分析其对信号传输的影响，从而优化通信系统的设计。

2.误码率性能分析：在数字通信中，误码率是衡量通信系统性能的重要指标之一。

随机过程可以用来描述信道中的干扰和噪声，通过对随机过程的分析，可以计算出误码率，进而评估通信系统的性能。

3.信号检测：在通信系统中，接收机需要对接收到的信号进行解调和检测。

随机过程可以用来描述信号的统计特性，通过对随机过程的分析，可以设计出高效准确的信号检测算法。

4.信道编码：为了提高通信系统的可靠性和效率，通信系统常常会使用信道编码技术。

随机过程可以用来描述信道编码中的编码字和解码字的统计特性，通过对随机过程的分析，可以选择合适的编码方案，提高通信系统的性能。

5.信号处理：在通信系统中，对信号进行处理是非常重要的。

随机过程可以用来描述信号的统计特性，通过对随机过程的分析，可以设计出高效准确的信号处理算法，提高通信系统的性能。

以上只是随机过程在通信原理中的一部分应用，随机过程在通信原理中还有许多其他的应用，如自适应信号处理、频谱分析等。

这些应用都使得随机过程成为通信原理中不可或缺的工具。

结论随机过程在通信原理中的应用广泛而重要。

通过对随机过程的分析，可以优化通信系统的设计，改善系统的性能。

随机过程为通信原理提供了有力的数学工具，使得通信系统能够更加稳定可靠地工作。

因此，深入理解和应用随机过程对于从事通信原理的研究和工程人员来说都是非常重要的。

《通信原理》第六版_樊昌信、曹丽娜课后答案解析_第三章__随机过程

《通信原理》第六版_樊昌信、曹丽娜课后答案解析_第三章__随机过程

本章练习题：3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数,其中均为常数。

查看参考答案3-2．设一个随机过程可表示成式中，是一个离散随机变量，且试求及。

查看参考答案3-3．设随机过程,若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求：（1）、（2）的一维分布密度函数；（3）和。

查看参考答案3-4．已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为和。

（1）试求乘积的自相关函数。

（2）试求之和的自相关函数。

查看参考答案3-5．已知随机过程,其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为=随机变量在（0，2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。

（1）证明是广义平稳的；（2）试画出自相关函数的波形；（3）试求功率谱密度及功率。

查看参考答案3-6．已知噪声的自相关函数为=（为常数）（1）试求其功率谱密度及功率；（2）试画出及的图形。

查看参考答案3-7．一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为(为延迟时间)（1）试画出该线性系统的框图；（2）试求的自相关函数和功率谱密度。

查看参考答案3-8. 一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。

假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：图3-4（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。

查看参考答案3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。

图3-5查看参考答案3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。

图3-6查看参考答案3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。

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RE (τ ) = E ⎡ e ( t ) e ( t + τ ) ⎤ = E ⎡ s ( t ) cos (ϖ c t + θ ) ⋅ s ( t + τ ) cos (ϖ c t + ϖ cτ + θ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= E ⎡ s ( t ) ⋅ s ( t + τ ) ⎤ E ⎡ cos (ϖ c t + θ ) cos (ϖ c t + ϖ cτ + θ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 ⎡1 ⎤ 1 = Rs (τ ) ⋅ E ⎢ cos ( 2ϖ c t + ϖ cτ + 2θ ) + cos (ϖ cτ ) ⎥ = Rs (τ ) cos (ϖ cτ ) 2 2 ⎣2 ⎦
2 平稳随机过程(6)
■
相互独立的随机变量。s ( t ) 的功率谱密度为Ps ( f ) , θ 在0到 2π 之间均匀分布，试证明e ( t ) 的功率谱密度为
PE (
■
已知平稳随机过程 e ( t ) = s ( t ) cos ( ω c t + θ ) , 其中s ( t ) 与θ 是
1 f ) = ⎡ Ps ( f + f c ) + Ps ( f − f c )⎤ ⎦ 4⎣
RX ( t1 , t2 ) = E⎡X(t1 )X(t2 )⎤ = ∫ ⎣ ⎦
自协方差函数
∞
−∞ −∞ 1 2 2
∫
∞
x x p ( x1 , x2;t1 , t2 ) dx1dx2
CX ( t1 , t2 ) = E ⎡ X(t1 ) − mX (t1 )⎤ ⎡ X(t2 ) − mX (t2 )⎤ = RX ( t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ) ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎧RX ( t1 , t1 +τ ) = RX (τ ) ⎪ ⎨ 2 CX ( t1 , t1 +τ ) = RX (τ ) − mX ⎪ ⎩
广义平稳(宽平稳)
(1)
2009-08-24
E [ X ( t )] = m X
(2) RX ( t1 , t1 +τ ) = RX (τ )
8
2 平稳随机过程(2)
'
1
(
1
m
m
(n + m) 维联合概率密度
' pn , m x1 ,… x n ; t1 , … t n ; y1 ,… ym ; t 1' , … t m
(
=
' ∂Fn , m x1 ,… x n ; t1 , … t n ; y1 ,… ym ; t 1n ∂y1 … ∂ym
2009-08-24
3
1 随机过程的一般表述(2)
分布函数与概率密度
一维分布函数 F1 ( x1 , t1 ) = P { X ( t1 ) ≤ x1 } 一维概率密度
p1 ( x1 , t1 ) = ∂F1 ( x1 , t1 ) ∂x1
n 维分布函数
Fn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 , t 2 , … t n ) n 维概率密度
1 随机过程的一般表述(1)
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不 确定(随机变量)
样本函数：随机过程的具体实现 ~ x i ( t ) 样本空间：所有实现构成的全体 ~ S = { x1 ( t ), … , x i ( t ),…} 所有样本函数及其统计特性构成了随机过程 ~ X ( t )
( )
( )
(n + m) 维联合分布函数
' Fn , m x1 ,… x n ; t1 , … t n ; y1 ,… ym ; t 1' , … t m ' 1 1 n n
) = P { X ( t ) ≤ x ,… , X ( t ) ≤ x ;Y ( t ) ≤ y ,… , Y ( t ) ≤ y }
⎡1 ⎤ ∴ PE ( f ) = F ⎡ RE (τ ) ⎤ = F ⎢ Rs (τ ) cos (ϖ cτ ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣2 ⎦
2009-08-24
1 = ⎡ Ps ( f + f c ) + Ps ( f − f c )⎤ ⎦ 4⎣
13
3 高斯过程(1)
定义：任意 n 维概率密度是正态分布式
第三章
随机过程
信息与通信工程学院 无线通信系统与网络实验室(WCSN)
刘 丹 谱
dpliu@ 62282289
第三章 随机过程
随机过程的一般表述 平稳随机过程 高斯过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程 循环平稳随机过程 加性噪声 匹配滤波器
2009-08-24 2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎦
概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两 两之间的归一化协方差函数(相关系数) 性质： 广义平稳 ⇔ 狭义平稳 各随机变量之间互不相关 ⇔ 统计独立
2009-08-24 14
3 高斯过程(2)
一维正态分布
p1 ( x ) =
p1 ( x )
⎡ ( x − a )2 ⎤ 1 ⎥ exp ⎢ − 2 2σ 2π σ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
pn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 , t 2 , … t n ) = 1 ⎡ 1 ⋅ exp ⎢ − ⎢ 2B ⎣ ⎛ xj − aj ∑1 ∑1 B jk ⎜ σ ⎜ j= k= j ⎝
n n
( 2π )
n 2
σ 1σ 2
σn B
12
⎞ ⎛ xk − ak ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ σk
2009-08-24
∀ n, m , 若有 Fn , m = Fn Fm 或 pn , m = pn pm ∼ X ( t ) 和 Y ( t ) 相互独立
6
1 随机过程的一般表述(5)
两随机过程的数字特征
互相关函数
RXY ( t1 , t2 ) = E⎡X(t1 )Y(t2 )⎤ = ∫ ⎣ ⎦
4
1 随机过程的一般表述(3)
随机过程的数字特征
均值 方差
E [ X ( t )] =
D [ X ( t ) ] = E { X ( t ) − E [ X ( t ) ]}
∫
∞ −∞
xp1 ( x , t ) dx = m X ( t )
2
自相关函数
2 2 = E ⎡ X 2 (t )⎤ − m X (t ) = σ X (t ) ⎣ ⎦
⎧ m X = x(t ) ⎪ ⎨ ⎪ R X (τ ) = x ( t ) x ( t + τ ) ⎩
时间平均代替统计平均
遍历过程必定是平稳过程，反之不然。
2009-08-24
9
2 平稳随机过程(3)
实平稳随机过程的自相关函数
偶函数： RX (τ ) = RX (−τ ) 有界性： RX (τ ) ≤ RX (0) 周期性：若 X ( t ) = X ( t + T ) , 则 RX (τ ) = RX (τ + T ). 统计平均功率：E ⎡ X 2 ( t ) ⎤ = RX (0) ⎣ ⎦
2009-08-24
7
2 平稳随机过程(1)
狭义平稳(严平稳)
pn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 , t 2 , … t n ) = pn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 + τ , t 2 + τ , … t n + τ ) ， ∀ n,τ
p1 ( x1 ; t1 ) = p1 ( x1 ; t1 + τ ) = p1 ( x1 )
相关系数
{
}
ρX ( t1 , t2 ) =
CX ( t1 , t2 )
σ X (t1 )σ X (t2 )
5
若 ρX ( t1 , t2 ) = 0， X ( t1 ) 和 X ( t2 ) 不相关。 称
2009-08-24
1 随机过程的一般表述(4)
两随机过程的联合分布函数和概率密度
对于( n + m )维随机向量 ⎡ X ( t1 ) ,… , X ( t n ) ;Y t 1' ,… , Y t 'm ⎤ ⎣ ⎦
{
}
2⎤ ⎦
=
∴ X ( t ) 是广义平稳随机过程 作业：P64 3.1 1 PX ( f ) = F ⎡ RX (τ ) ⎤ = ⎡δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ⎤ ⎣ ⎦ 4⎣ ⎦ 2009-08-24 12
■
1 1 cos 2π f 0 ( t 2 − t1 ) − 0 = cos 2π f 0τ 2 2
互协方差函数
∞
−∞ −∞
∫
∞
xy p2 ( x, t1 , y, t2 ) dxdy
CXY ( t1 , t2 ) = E ⎡X(t1 ) − mX (t1 )⎤⎡Y(t2 ) − mY (t2 )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = RXY ( t1 , t2 ) − mX (t1 )mY (t2 )
{
}
∀t1 , t 2 , 若有 C XY ( t1 , t 2 ) = 0 ∼ X ( t ) 和 Y ( t ) 不相关
■
= sin 2π f 0 tE [ cos θ ] + cos 2π f 0 tE [ sin θ ] 2π 2π 1 1 = sin 2π f 0 t ∫ cos θ ⋅ dθ + cos 2π f 0 t ∫ sin θ ⋅ dθ = 0 0 0 2π 2π
■
RX ( t1 , t 2 ) = E ⎡sin ( 2π f 0 t1 + θ ) sin ( 2π f 0 t 2 + θ ) ⎤ ⎣ ⎦ = E ⎡ cos 2π f 0 ( t 2 − t1 ) − cos ⎡ 2π f 0 ( t1 + t 2 ) + 2θ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣