电路理论-耦合电感和理想变压器

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顺接时，电压电流关系为
u 1R 1 iL 1d d tiu 12 R 1 iL 1d d tiM d dti
u 2R 2 iL 2d d tiu 2 1R 2 iL 2d d tiM d dti
u u 1 u 2 R 1 i L 1d d tiR 2 i L 2d d ti2 M d d
（6-2a） （6-2b）
如果线圈周围无铁磁物 质，则各磁链是产生该磁 链电流的线性函数，故有
1L1i1M 1i22 2L2i2M 2i1
(6-3a) (6-3b)
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6
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当耦合线圈的线圈电流变化时，线圈中的自磁链和互磁链将
随之变化。由电磁感应定律可知，各线圈的两端将会产生感应电
u u 1 u 2 R 1 i L 1d d ti R 2 i L 2d d ti 2 M d d ti u(R 1R 2)i(L 1L22M )d dti
在正弦稳态的情况下,应用相量法可得:
U 1 R 1 I jL 1 I jM I R 1 I j( L 1 M ) I
具有磁耦合的线圈称为 耦合线圈或互感线圈。图6-1 两个线圈磁耦合华中科技大学出版社
3
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如图6-1所示，电流的方向与它产生的磁通链的方向满足右手螺 旋关系，参考方向按这一关系设定。若线圈周围没有铁磁物质，则 各磁通链与产生该磁通链的电流成正比，即
Ψ11L1i1 21M21i1 （6-1a）
华中科技大学出版社
17
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6.2 耦合电感器的串联和并联
6.2.1 耦合电感器的串联
1.串联顺接 图6-10所示为两个有耦合的实际线圈的串联电路，电流均从两 个线圈的同名端流出（流进），这种接法称为顺接。图6-10(b)为 其受控源去耦等效电路。

u1
2 2221
i2 u2
11、 22为自感磁通链，21、 12为互感磁通链。 L1、L2分别为线圈1和线圈2的自感，M21、 M12为耦 合电感的互感。可以证明M21＝M12＝M。
第1个线圈总的磁通链为 1＝ 11＋ 12＝L1 i1+M i2 第2个线圈总的磁通链为 2＝ 22＋ 21 ＝L2 i2+M i1
第十一章 耦合电感和理想变压器
• 11.1 耦合电感元件 • 11.2 含耦合电感正弦稳态电路的分析 • 11.3 空芯变压器 • 11.4 理想变压器 • 11.5 铁芯变压器的模型 • 11.6 例题
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11.1 耦合电感元件
1
一. 互感和互感压降 11
11 L 1 i1, 21 M 2i112 22 L 2 i2, 12 M 1i2 2 i1
u 2 L 2d 2d i M t d 1d i t
6
例2：右图电路中,已知L1＝4H, L2＝3H，M＝2H ，求
以下3种情况的 u2 。
+ i1
i2
+
M
( 1 )i1 5 e 4 t(A ),i2 0 (A )u 1 L 1
L2 u2
( 2 )i1 0 (A ),i2 3 e 4 t(A ) -
2
若取各线圈电压与电流为关联参考方向，则：
u 1 d 1d L t 1 d 1d i M td 2d i t u 2 d 2d L t 2 d 2d i M td 1 d i t
自感压降
互感压降
二. 互感压降的正负号 11 1
12
1＝ 11－ 12＝L1 i1－M i2 2＝ 22－ 21 ＝L2 i2－M i1

第1个线圈总的磁通链为 1＝ 11＋ 12＝L1 i1+M i2 第2个线圈总的磁通链为 2＝ 22＋ 21 ＝L2 i2+M i1
2
若取各线圈电压与电流为关联参考方向，则：
u1 d1 dt L1 di1 dt M di2 dt u2 d 2 dt L2 di2 dt M di1 dt
iL u
等效电感： L L1 L2 2M 证： 左边电路的VAR：
u u1 u2
(L1 di dt M di dt) (L2 di dt M di dt) (L1 L2 2M ) di dt
右边电路的VAR： u L di dt 证毕。
9
反接串联：
L1 M
L2
L
等效电感： L L1 L2 2M
R1
jL1R2
jM jL2
ZL2M
2
U S
20
若电路中同名端的位置改变，则方程中M前应
加负号。I1
置无关，但
和I2将I随2 表同达名式端可位见置I不1 与同同而名相端位的改位变
180。（电子线路中有时对输出电流相位有要
求，这时应注意线圈的接法）
三、原边等效电路
有时只需计算原边电流，这时可采用原边等效 电路。
接电源边称为初级绕组（又称为原边）
接负载边称为次级绕组（又称为副边） 19
二、分析
含空芯变压器的电路与一般含互感的电路分
析一样，这里用回路法求解。
jR1MIj1L1RI2
jMI2 jL2
U S
ZL I2
0
解得：
I1
R1
R2 jL2 ZL
jL1 R2 jL2 ZL 2M
2
U S
I2

L1, L2, M ,
k 1 M L1 L2
变比（匝数比）
L1 L2 N1 N 2 n
在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把 实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。
12
2.理想变压器的主要性能
1
i

N2
1）电压变换关系 1' 1 2 11 22 k 1 N1 d 1 d d 2 d u1 N1 u2 N2 dt dt dt dt n:1
R2
jL2
U S
+ –
I1
I 2
RL
L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 1150o V 314rad/s, U S , I . 求: I
1 2
I 1
Z11
解
(M ) 2 Z 22
应用原边等效电路
3
§10-4 变压器原理
变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电 路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为 非铁磁性物质时，称为空心变压器。
1.空心变压器的电路
I1

R1 j L1
j M
* *
R2
US
一次 回路

+ –
I2
j L2 ZL=RL+jXL

二次 回路
4
2.分析方法
1）列方程分析 回路电流方程：
2
2'
u1 N1 n u2 N 2
n:1 + u1 _ * + u2 _
+ u1 _
*
*
+ u2 _

若i1,i2以及u1,u2的参考方向对同名端不一致，则前表达 式中符号取反。
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–

§13－5 耦合电感与理想变压器的关系
我们介绍了耦合电感和理想变压器两种电路元件，其 电压电流关系如下所示，一个是双口动态元件，另一个是 电阻双口元件，它们都是从具有互感耦合的线圈抽象出的 理想电路元件，为什么要提出两种电路元件？它们之间的
关系如何？
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
I 2
i1 ( t ) 2 2 cos(103 t 53.1 )A
i2 ( t ) 2 2 cos(103 t 3.69 )A
图13－21
根据最大功率传输定理，当负载为
Z L Z o (0.5 j1.8)
时可获得最大功率
2 U oc 5 W 2.5W 4 Ro 4 0.5
di1 di2 u1 di1 u1 L1 L1 L2 dt dt L1 dt 1 u1dt i1 L1
L2 di2 L1 dt
L2 L1 i2 0 i2 i1 ni1 L1 L2
u1 nu2 i2 ni1
以上讨论表明：用导线绕制的磁耦合线圈，在忽略导 线和磁心(或铁心)损耗的条件下，可以用一个耦合电感或 两个电感和一个变压器的组合作为它的电路模型。
图13－21
Zi (3 j4)
再计算出电流
(2 j1)V U oc
Zo (0.5 j1.8)
j1 2 36.9 A I 1 j1 1 j1
U 10 0 S I A 2 53 . 1 1 Zi 3 j4
(a)
(b)
k=1
N1 n N2 Lm L1 LS 0

M
L1
L2
u
= u1 + u2
=
( L1
di dt
−M
di dt
)
+
(
L2
di dt
−M
di ) dt
=
(L1
+
L2
− 2M )
di dt
∴ L = L1 + L2 − 2M
互感的测量方法：
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
M = L顺 − L反
2023/4/13
4电路理论
15
2. T形连接的耦合电感的去耦等效电路 (a) 同名端同侧联接
M
R1 • L1
L2 •
Zeq = jω(L2 − M ) + R1 + jω(L1 − M ) / /(R2 + jωM )
= j5 + (6 + j5)(6 + j5) (6 + j5) + (6 + j5)
= 8.08∠68.2o Ω
R2
R1 jω(L1 − M) jω（L2 − M）
jω M
U&1 = jωL1I&1 + jωMI&2
*
U&1 jωL1
*
jω L2
U& 2
U&2 = jωL2I&2 + jωMI&1
I&1 jωM I&2
*
U&1 = jωL1I&1 − jωMI&2
U&1 jωL1
jωL2 U&2 U&2 = jωL2I&2 − jωMI&1

21
i1
+
N1
e11
u11
–
N2
e21
s1 漏磁通 11 N111 自感磁链
i1 11
21 互感磁通 21 N 221 互感磁链
自感磁通
21
N 221
M 21

线圈1对线圈2的互感系数，单位：H
i1
i1
电感的耦合和互感
同理
s 2
i2 22
dt
dt
dt
电感的耦合和互感
di1
u11 L1
dt
di2
u22 L2
dt
di1
u21 M 21
dt
di2
u12 M 12
dt
在正弦情况下，相量形式为：
U11 j LI1
U 21
U 21 j M 21 I1
U12 j M 12 I 2
U 22 j LI 2
I1
12
M 12
12
i2
漏磁通
互感磁通
N112

i2
22 N 222 自感磁链
12 N112 互感磁链
线圈2对线圈1的互感系数，单位：H
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有 M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置和周
围的介质磁导率有关。
( R1 jωL1 )I 1 jωM I 2 U S
一次侧自阻抗Z11
•
•
jωM I 1 ( R2 jωL2 Z ) I 2 0
二次侧自阻抗Z22
j MI1
I2

L1 L2
可以证明，k1。
全耦合: 11= 21 ，22 =12
L1
N 1Φ11 i1
,
L2
N 2Φ22 i2
M 21
N 2Φ21 i1
,
M12
N 1Φ12 i2
M12 M 21 L1L2 , M 2 L1L2
k1
k 的大小与两个线圈的结构、相互位置及周 围磁介质有关。
注意
电路理论基础
•一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有多个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每 对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。
电路理论基础
第六章 含耦合电感电路的计算
第六章 含耦合电感电路的计算 电路理论基础
6. 1 耦合电感 6. 2 含有耦合电感电路的计算 6. 3 空心变压器 6. 4 理想变压器
6.1耦合电感
电路理论基础
1、互感现象
自感现象
i1 ↕ →φ11 →ψ11(ψ11 = N1φ11) ↕ →u11(自感电压）
1、电流流入端 2、磁场加强
该端为同名端。
例6-1
•*
1
2
Байду номын сангаас
电路理论基础
3
*
1'
2'
3' •
实际中，线圈制好后，很难看出其绕向，用上
述的方法不能判断出同名端，但是同名端是与感应 电压和施感电流有关的。
由上述分析可以看出： 感应电压与施感电流的方向对同名端是一致的，
换句话讲，电流方向（参考方向）由一个线圈同名端 处流入，则在另一线圈的线圈同名端处产生的感应电 压的极性（或参考极性）必然为“+”极性。
L2
di2 dt

电流。
Im
Usm (1 j2)( j j2)
2 j2
20
(1 j2) ( j j2)
7.2.2 耦合电感的T形等效
[例7.3] 求RL吸收的功率。
由分流公式得：
ILm
1
j j2 j2 j
j2
Im
2(135
)A
RL吸收的均功率：
PL
1 2
I
2 Lm
RL
1 2
22
1W
2W
方法二：戴维南定理法(课后练习）
L L1 L2 2M
第7章 7.2 耦合电感的去耦等 效
7.2.1 耦合电感的串并联等效
1. 耦合电感的串联等效
串联反接如图b，反接就是一对同名端相接，应用KVL：
（a）
u
u1
u2
L1
di（ bM）di dt dt
L2
di dt
M
di dt
(L1
L2
2M )
di dt
L
di dt
L L1 L2 2M
2.耦合电感的等效电路 由于耦合电感中的互感反映了一个线圈对另一个线圈的耦
合关系，因此耦合线圈的互感电压可用受控源——电流控制 电压源CCVS等效模型来表示。 参考方向确定方法：
如果电流的参考方向由线圈的同名端流向另一端，那么由这 个电流在另一线圈内产生的互感电压的参考方向由该线圈的同 名端指向另一端。
空芯变压器常有的分析方法：直接列方程法、反映阻抗法、 戴维南等效电路法。
7.3 含空芯变压器的电路分析方法 1. 直接列方程法
如图7.14（a）所示等效电路如图7.14（b）所示，对两个回路列KVL
方程
jL1I1 jMI2 US