高中数学 对数函数图像与性质共20页文档

专题36 对数函数的概念、图象及性质

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.

2．对数函数的图象及性质

a的范围 01

图象

定义域 (0，＋∞)

值域 R

性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0

单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．

4．底数对函数图象的影响

对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12 x，y＝log13 x的图象如图所示，可得如下规律：

①y＝logax与y＝log1a x的图象关于x轴对称；

②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．

5．函数图象的变换规律

1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.

题型一 对数函数的概念及应用

1．指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2) y＝log6x；(3) y＝logx3；(4) y＝log2x＋1.

[解析] (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

第04讲_对数函数

知识图谱

-对数函数-指对数比较大小对数函数的概念与对数函数有关的三要素问题与对数函数有关的单调性问题与对数函数有关的奇偶性问题指对数比较大小指对数比较大小的运用第04讲_对数函数

错题回顾

对数函数

知识精讲

一． 对数函数的定义

（）叫做对数函数，它的定义域为，值域是．

注意以下几个方面：

1．定义域：因为对数函数由指数函数变化而来，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值的取值范围，所以对数函数的定义域是；

2．对数函数的底数：对数函数的底数且；

3．形式上的严格性：在对数函数的定义表达式中的表达式中，前面的系数必须是，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数；

二．对数函数的图像与性质

图象

定义域

值域

性质

过定点，图像都在一、四象限

对于相同的，函数与的图象关于轴对称．

单调性

当时，

当时，

在上是增函数

当时，；

当时，

在上是减函数

三．对数函数与指数函数的关系

1．定义：一般的，设函数的值域是，若找得到一个函数在每一处都等于，这样的函数叫做函数的反函数，记作．反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域．

2．对数函数与指数函数图像关于直线对称．互为反函数．

3．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

（定义法）

（转化法）

（取对数法）

三点剖析

一．方法点拨

1．利用对数函数的单调性比较大小 （1）如果两对数的底数相同，由对数函数的单调性（底数为增函数，为减函数）比较大小；

（2）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间值进行比较；

（3）如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（）

①当时，曲线比的图像（在第一象限内）上升得慢，即当时，；当时，，即在第一象限内，越大图像越靠近轴；

②当时，曲线比的图像（在第一象限内）下降得快，即当时，；当时，，即在第四象限内，越小图像越靠近轴．

题模精讲

题模一 对数函数的概念

例1.1、

下列函数是对数函数的是（ ）

第1页 共10页 对数函数的图象与性质

• 对数函数的图形：

•

对数函数的图象与性质：

• 对数函数与指数函数的对比：

第2页 共10页 (1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．

(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O

(3)指数函数与对数函数的联系与区别：

第3页 共10页 • 对数函数单调性的讨论：

解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．

利用对数函数的图象解题：

涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a>l与O

• 底数对函数值大小的影响：

1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O

2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应

第4页 共10页 函数，则必有

指数函数与对数函数是高中数学的重点及难点，高考也常有考题出现，现在我们将指数函数与对数函数的关系，指数函数与对数函数之间的相互转换、指数函数与对数函数图像及性质整理如下：

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1

对数函数

图象与性质：

要点 定义 符号

对数函数 一般地，函数log(0ayxa且1)a叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,) ()log(0afxxa且1)a

注：xya与logayx(0a且1)a互为反函数

对数函数的图象 1a 01a

对数函数的图象特征 （1）图象都在y轴的右边 （1）图象都在y轴的右边

（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）函数图象都经过（1，0）点

（3）从左往右看，图象逐渐上升 （3）从左往右看，图象逐渐下降 .

（4）图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. （4）在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .

注意：当底与真数均大于1或均大于0小于1，则log0ax；当底与真数一个大于1另一具大于0小于1，则log0ax

底不同的两个图象的关系 （1）logayx与1logayx(0a且1)a的图象关于x轴对称

几个不同的指数函数的图象规律：

当1x时，图象是“底大图低”

即10badc

指数函数与对数函数的关系 xya与logayx(0a且1)a互为反函数，它们的图象关于直线yx对称

典例精讲剖析

例1.函数log(25)4ayx的图象恒过定点 logayxlogbyxlogcyxlogdyx

2

例2.

已知()fx是对函数xya(0a且1)a的反函数，并且()fx的图象经过1(3,)2P，求3()3f的值

例3. 求下列函数的定义域：

（1）2logayx (2)log(42)ayx （3）(1)log(164)xxy

例4. 求函数2()log||fxx的定义域，并画出它的图象.

练习：

1.下列函数是对数函数的是 ( )