对数函数的图象和性质

第19讲对数函数图像及性质【知识点梳理】1.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数，它是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数．对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y x =的对称图形，即可获得．同样也分1a >与01a <<两种情况归纳：以2log y x =与12log y x =为例1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤(2)底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)图2-3-3【典型例题】题型一：对数函数的概念【例1】下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a yx =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【题型专练】1.已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =-；④0.2log y =3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥题型二：对数函数的定义域【例1】函数()ln 1f x -的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【例2】函数y =）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【例3】已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．2⎤⎥⎣⎦D ．⎤⎦【例4】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（）A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y【例5】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为（）A ．[]2,5B ．()(]2,33,5⋃C ．(]2,5D ．[)(]2,33,5⋃【题型专练】1.函数()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是__________．2.已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．3.函数()()1log 121-=x x f 的定义域为（）.A ．(),2-∞B ．()2,C ．()1,2D ．(]1,24.函数()21log (3)f x x =-的定义域为题型三：对数函数的定义域为R 和值域为R 的区别【例1】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【例2】函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．【题型专练】1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.2.若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

1 0, 2
.
解： 因为x 2 2 x 5 , 2 对一切实数都恒有 x 2 x 5 4 , 所以函数定义域为R, 从而 log2 ( x 2 x 5) log2 4 2 ,
2
即函数值域为 [ 2, ).
例题解析 2 (3) y log1 ( x 4 x 5)
由(2) 当a
2
,
综合(1)(2)得 1
x 0 且0 a 1 .
例题解析
1 当 1 x 0 时( x x )的 最 大 值 为 4
2
1 1 2 所以0 x x ，所以 loga ( x x ) loga 4 4
2
所以 原函数定义域为：
(2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以 log0.71.6 >log0.71.8.
例题解析 例 3 求下列函数的定义域、值域：
(1) y 2
x 2 1
解：要使函数有意义,必须：2 2 即： x 1 2 1 x 1 2 值域:因为 1 x 1所以 1 x 0

练习 97页1 例6 在同一坐标系内函数y= x 与 y= 2 的函数图像
log
2
x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=2x (0<a≠1)与对数函数
y=log2x(0<a≠1) 的图像关于直线y=x
对称.
Y
5
Y=2x
Y=X ● ●
4
3 2 ● ● 1●
●
●
Y=log2x
-1 O -1
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).

4.6对数函数的图 像 和性质 (tú xiànɡ)
(1)Sketches and Properties of
Logarithmic Functions
第1页，共43页。
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做(jiàozuò)指数函数,其
中x是自变量.函数的定义域是 R.
a
a
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例2 比较下列各组中两个(liǎnɡ ɡè)值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴
log67＞log76
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像的㈡纵则坐正标好都相小反于0;
自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
函数性质
定义域是( 0,＋∞）
1 的对数是 0
当底数a＞1时 x＞1 , 则logax＞0
当底数0＜a＜100时＜＜xx＜x＜＞111,,则则, 则lologlgoaxagx＞a＜x0＜0 0 当a＞1时,
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
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练习:
1、比较下列(xiàliè)各题中两个值的大小:
2
2
求函数

联系。
小结：
01
对数函数的图像与性质
利用对数函数的性质解决有关 问题
02
l o g 2 0 . 6 ＞ l o g 2 0 . 8
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ loA组 3,4
思考题： 对比对数函数与指数函数的图 像与性质，找出他们的区别和
求解对数函数定义域问题的关键是要求
总 真数大于零，当真数为某一代数式时， 结 可将其看作一个整体单独提出来求其大
于零的解集即该函数的定义域。
例题讲解（二）
例2：比较下列各组中，两个值的大小 ：
（1） （2）
lloogg203.7与1.6lo与g2l3o.5g
0.7
1.8
比较两个同底对数值的大小时，
总 结
首先观察底是大于1还是大于0小于1 （大于1时为增函数，大于0且小于1 时为减函数）；再比较真数值的大小
；最后根据单调性得出结果。
(3) log34与 log43 (4) log32与 log20.8
总 结
当不能利用对数函数的单调性进行比较 时,可在两个对数中间插入一个中间数(如1
或0等),间接比较上述两个对数的大小。
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对数函数的图像及性质
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对数函数的定义
一般地，形如y= logax(a＞0,且a≠ 1)的函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域 是(0 ,+∞).
注：(1) logax 的系数为1； ② 底数是不为1的正数； ③ 真数只含自变量x,而且x>0