任意角的三角函数教学案例解读

任意角的三角函数 教学案例
教学目标：
1 理解并掌握任意角的三角函数的定义
2 理解并掌握各三角函数在各象限的符号
教学重点：
任意角三角函数的定义
教学难点：
利用定义计算任意角的三角函数值
授课类型：
新授课

根据新课程改革的基本理念，我准备在教学过程中从问题情境出发，让学生
进行观察、操作、探究从而感受数学，然后引导学生去发现数学、建构数学，使
他们在这种过程中感悟并获得数学知识与思想方法，最终能运用所学的知识去解
决实际问题。

一 问题情境
问题1 求sin30的值。

师：sin30等于多少？ 生：等于12。

我们知道，30是一个锐角，在初中，我们是如何定义锐角三角函数的？
复习锐角三角函数的定义：

在RtABC中，sincos,tanabaAAAccb，。
前面我们把角的概念推广到了任意角。那么如何求任意角的三角函数值呢？

问题2 求sin300的值。
师：怎么办？在直角三角形中能表现300这个角吗？还能不能在直角三角形
来求这个值？
生：不能在直角三角形中求出来。
师：对，显然，不能再用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没
有什么对边、邻边和斜边。那么，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推
广。
这就是我们本节课要研究和解决的问题。

二 建构数学
【学生操作】 课件1
打开课件1，观察任意角α的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情
况。（请同学们仔细观察这个课件的演示情况，对我们以后的学习将有很大的帮
助。）
【教师总结】
随着α的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一
个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在y轴上时，y/x除外），根据函
数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数。我们把它
们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。
对课件1的说明：
随着α的终边在轴上及各象限内的变化，利用几何画板的动态演示和度量功
能，展示三个比值的变化情况。学生通过对课件1的操作，将新授的抽象内容形
象化，有利于学生准确理解和掌握新知识；它也能为以后学习（三角函数的定义
域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性）作铺垫。

（一）任意角的三角函数的定义
根据在平面直角坐标系中研究角的做法，以角的顶点为坐标原点，以它的始
边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系。设任意角的终边上任意一点P的坐标
为(,)xy，它与原点的距离是r（220rxy）。

当为锐角时，过点P作x轴的垂线PM，M为垂足，则PMy，OMx，

22
0OPxyr
，所以，在RtOPM中，sinyr，cosxr，tanyx。

sin

，cos，tan的值与P点的选择无关。想一想，为什么？

事实上，我们在角的终边上另取一点'P，，过点'P作x轴的垂线''PM，'M为

垂足，则''PMy，'OMx，''2'2'0OPxyr，可以证明OPM∽
''
OPM
，从而''sinyyrr，''cosxxrr，''tanyyxx。

一般地，对任意角，我们规定：
（1） 比值yr叫做的正弦，记作sin，即sinyr；

（2） 比值xr叫做的余弦，记作cos，即cosxr；
（3） 比值yx（0x）叫做的正切，记作tan，即tanyx；
对于确定的角，比值yr和xr都惟一确定，故正弦和余弦都是角的函数，
当2k（kZ），角的终边在y轴上，故有0x，这时tan无意义。
除此之外，对于确定的角（2k）（kZ），比值yx也是惟一确定的，
故正切也是角的函数。以上三种函数，都称为三角函数。
说明：这样定义以后，
（1）当是锐角时，此定义与初中定义相同。（指出对边，邻边，斜边所在）
（2）当2k（kZ）时，与的同名三角函数值应该是相等的，
即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

（二）正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号规律。
首先，在第一象限内讨论，由定义知，正弦函数值的符号与y的符号相同，
而在第一象限内，0y，因此，在第一象限内，sin0；同理，余弦函数值的
符号与x的符号相同，0x，cos0；对于正切函数，由于0x，0y，由
定义，tan0。
同理，我们可以得到sin，cos，tan的值在各象限的符号。如下图：

y y y
＋ ＋ — ＋ — ＋

－ O － x － O ＋ x ＋ O — x

sin cos tan
三 数学应用
师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就根据定义来解决实际的问
题。请看
例1 已知角的终边经过点(2,3)P，求的正弦、余弦、正切值。

师：要求三个三角函数值，我们需要知道哪些量？
生：,,xyr。
师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了？生：只
需知道其中的两个量。 师：例1中是否有咱们所需要的两个量？ 生：
有。2,3xy。 师：好的。下面就由大家动手计算出这三个三角函
数的值。

师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就
可以求三个三角函数值，如果所给终边上一点含有参数呢？请看变式1：

变式1 已知角的终边经过点(2,3)Paa(0)a，求的正弦、余弦、正切
值。
师：这里的,,xyr，分别是什么？
生：2222,31313xayarxyaa，。
师：很好。当0a时，13ra；当0a时，13ra，因此要分情况讨
论。 以下留给大家完成。
师：若已知函数值，如何确定终边上一点的坐标呢？请看变式2：

变式2 已知角的终边经过点(2,6)Pa且5cos13，求a的值。
师：审题以后，大家有什么想法？
生：由三角函数的定义，把cos的值用a表示出来，然后解得a。
师：很好。这样就可以把a解出来。大家还有什么想法？
生：先由cos的值确定角的终边所在象限，从而确定a的范围。这样在解
方程的时候就避免了增根或失根。
师：这位同学讲得很好。在解三角函数问题时，要十分“关注”角的终边所
处位置，从而确定函数值的符号。如果告诉你角的终边在某一直线上，
又如何求三角函数值呢？请看变式3：
变式3 已知角的终边在直线2yx上，求的正弦、余弦、正切值。
生：由定义出发，在直线2yx上任意取一点，就可以求出的正弦、余弦、
正切值。
师：想法不错。由于直线2yx经过一三象限，因此需分情况讨论，在两个
不同的象限的终边上各取一点，求出的正弦、余弦、正切值。

例2 确定下列三角函数值的符号：
（1）7cos12 （2）sin(465) （3）11tan()3 （4）11tan2sin3
师：如何来确定上述三角函数值的符号？
生：看角的终边在第几象限，由三角函数定义来确定它的符号。
师：这就需要我们正确的判断出角的终边所在位置。再用我们今天学的知识
解决。可谓是温故知新，新旧结合。下面就请大家练习一下。（由学生先
练习，再请学生回答，然后引入变式1。）

变式1 设是三角形的一个内角，在sin，cos，tan，tan2中，哪些可能
取负值？
师：三角形的内角取值有什么范围？

生：(0,)。
师：在这个范围内，上述三角函数值，哪些可能取负值？
生：cos，tan。
师：此时，是什么角？的终边在第几象限？
生：是钝角，的终边在第二象限。

变式2 若cos0且tan0，则为第几象限角？
师：这个问题是说，如果cos，tan的值都为负值，则的终边在第几象限？
生：的终边在第二象限。
变式3 若costan0，则为第几象限角？
师：这个问题的实质是什么？请同学们换句话，把它的意思表达出来。
生：这个问题是说，如果cos，tan的值同号，则的终边在第几象限？
师：非常好。此时的终边一定在第二象限吗？
生：不一定。还有可能在第一象限。

四 回顾反思：[教师引导，由学生总结]
1 本节课我们学习了任意角的三角函数的定义，它是锐角三角函数定义的扩
展，体现了由特殊到一般的思想。
2 分类讨论（按角的位置）是确定三角函数值正负（或0）及求值过程中使用
频率非常高的一个数学思想，而分类的标准往往是四个象限及四个坐标半轴。
3 【探究·拓展】圆周222xyr上任一点P的坐标为(,)Pxy，你能用本节课
的知识，用r和来表示P点的坐标吗？

五 练习
作业 16P 1,2,3,4,5,6 22P 5616，，。