第1章质量数据的描述

第一章 质量数据的描述 §1.1 质量数据及其分布 1.1.1 过程与过程控制系统 一个产品的制造常常可以分解为若干个过程。这里讲的过程是指制造过程的一个工段、一道工序、一项操作等。一般说来，过程是将人、设备、材料、方法、环境等五项输入资源按一定要求组合起来，转化为中间产品、半成品、零部件等输出的活动。 譬如加工一根机械轴就是一个过程，它是操作者利用机器、刀具、毛坯钢材、一定电压的电源和一定的测量工具等资源（这些都属于输入），按一定的要求将它们组合起来进行加工，形成一根一定规格的轴（这便是输出）。

图1.1.1 过程+反馈系统=过程控制系统 过程的输出是产品（或半成品），产品的质量是通过其质量特性显露出来的，因此把产品的质量特性看作过程的输出更便于研究。质量特性是随机变量，若对一些产品的某个质量特性（记为X）进行测量或观察就可得到一系列测量值或观察值，它们也称为数据，这些数据含有产品质量特性的信息。如果在过程中和过程输出处增加信息的收集，并利用统计方法对收集到的信息进行加工，通过统计处理，发现问题，寻找原因，指出进一步应采取的行动，再反馈给过程的输入，调整过程的某些输入资源，以保证过程工作正常，这样一串处理称为反馈系统。一个过程增加了反馈系统就称为过程控制系统。（见图1.1.1）

nxxx,,,21"

产品质量的改进与提高都要通过过程的反馈系统来实现，因此统计方法在过程控制系统中得到了广泛的应用。质量管理就是建立在“所有工作都是通过过程来完成的”这一基本认识基础上的。一个好的质量管理系统不仅是若干过程的总和，而且是相互协调与相容的。

1.1.2 质量特性的分布 一、两类数据 在质量管理中遇到的数据可分为两类：连续的与离散的。 1．连续数据（又称计量数据）：若质量特性的取值可以是某个区间内任一个值，且可通过某种量具或仪表测定的数据称为连续数据，这样的质量特性可以用连续随机变量描述。只是因为我们所取的刻度单位的局限，才使数据呈间隔状态。譬如在测量厚度时： •用直尺我们只能得到测量精度为0.1厘米的厚度；

•用游标卡尺可以得到测量精度为0.05厘米的同样厚度；

•用千分尺可以得到测量精度为0.005厘米的同样厚度；

•用坐标测量设备可以得到测量精度为0.000001厘米的同样厚度。

类似地，在测量长度、重量、时间等也会发生类似情况。 2．离散数据（又称计数数据或属性数据）：若质量特性的取值只能是有限个或可数个孤立值之一，且可通过计数方法获得的数据称为离散数据，它常用非负整数0，1，2，…等表示。譬如100个产品中的不合格品数，一个铸件上的砂眼数等。这样的质量特性可用离散随机变量描述。

1 人们认识质量特性要从如下两个方面进行： （1）质量特性（随机变量）可取哪些值，或在哪一个区间上取值。 （2）质量特性取这些值（或在某个区间取值）的概率各是多少。 综合上述两点就构成质量特性（随机变量）的概率分布。由于质量特性的取值可以分为两类，因此其概率分布亦有两类，一类是连续分布，一类是离散分布。下面分别叙述。 二、连续分布用概率密度函数表示 任意两个产品不会是完全一样的，即使在自动化生产线上生产的产品也不例外。产品间的差异可以很大，也可以很小，有时可能小到无法测量，但差异总是存在的。每个产品的质量特性取什么值是随机的，但一大批产品的质量特性的取值会呈现出某种规律性。譬如我们一个接一个地去测量机械轴的直径x，并不断地把测量值放在x轴上，差异便会显示出来（见图1.1.2第一行）。

图1.1.2 概率密度函数的形成 )(xp当测量值x增多时就形成一定的图形，为了使图形逐渐稳定下来，把纵轴上的频数改为频率。由于频率的稳定性，随着测量值x的不断增加，这个频率直方图就稳定下来了，其外形显现出一条光滑曲线（见图1.1.2第二行）。这条曲线就是概率密度曲线，相应的函数表达式称为概率密度函数，它表示连续质量特性（即连续随机变量）取值的统计规律性。

)(xp

概率密度函数有多种形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形状不同（见图

1.1.2第三行）。这些不同的分布形式反映了不同的质量特性在总体上的差别，这种差别正是管理层应特别关注之处。一般说来，只要非负，且与x轴所夹面积为1，都可称为概率密度函数。

)(xp)(xp)(xp有了概率密度函数后，可以从中提取很多有用信息。 )(xp 计算均值（数学期望），它表明分布的中心位置： •

∫∞

∞−=dxxxpXE)()(

计算方差，它表明分布的分散程度： •

2∫∞∞−−=−=dxxpEXxEXXEXVar)()()()(22

•计算标准差，它也表明分布的分散程度，但其单位与质量特性X、均值相同： )(XE

)()(XVarX=σ •计算概率，质量特性X位于区间[a,b]内的概率为：

∫=≤≤

b

adxxpbXaP)()(

质量特性X取一点的概率为0，即 •0)()(===∫aadxxpaXP 由此可知)()(bXPbXP<=≤ 例1.1.1 某行业工人的年工资是一个连续随机变量（单位：万元），四个不同地区（用a，b，c，d表示）的该行业工人的年工资的概率密度函数曲线如图1.1.3所示。

图1.1.3 四个地区工人年工资的概率密度函数 从图中可以看出四个地区的年工资的差别。 地区a：多数工人的年工资低于1.5万元 地区b：多数工人的年工资高于1.5万元 地区c：若以0.1万元为区间段，则在每个区间段上的工人的比例相等。 地区d：多数工人的年工资在1.5万元左右，而低于1.5万元和高于1.5万元的工人各占一半。 在概率论中，a曲线与b曲线称为偏态分布，c曲线称为平顶分布，又称均匀分布，d曲线称为正态分布。在质量管理中，这几种形态的概率密度曲线都有可能出现，其中正态分布使用频率最高，以后将要专门讨论正态分布。

三、离散分布用分布列表示 离散分布较为简单，由于它仅可能取有限个值或可数个值，因而只要列出取这些值的概率即可。譬如，离散随机变量X仅取等n个值，且取这些值的概率依次为

，假如诸，且其和nxxx,,,21

"

nppp,,,21"0≥ip121=+++nppp"，那么就可以形成一个概率

分布，并记为：

iipxXP==)(， ni,,2,1"=

或者列成如下的表格形式： X 1x 2

x …

n

x

P 1p 2p …

n

p

该离散分布的均值、方差、标准差分别为： ∑==

n

iiipxXE1)(

21212)()()(EXpxpEXxXVar

niiin

iii−=−=∑∑

== )()(XVarX=σ

3 例1.1.2 某厂生产的三极管100只装一盒，每日随机抽10盒进行质量检查，记录每盒中的不合格品数X，累计50日得X的分布如下： X 0 1 2 3 4 P 0.586 0.232 0.150 0.042 0.008 这是仅取5个值的离散分布，其中概率是用频率估计的。该分布的均值、方差、标准差分别为： 690.0008.04042.03150.02232.01568.00)(=×+×+×+×+×=XE

862.0690.0008.04042.03150.02232.01568.00)(222222=−×+×+×+×+×=XVar

928.0862.0)(==Xσ 由此可见，每盒三极管中平均有0.69个不合格品，或者说三盒中平均有2个不合格品，其标准差为0.928。

1.1.3 质量管理中的常用分布 一、正态分布

概率密度函数为： 222)(21)(σµσπ−−=x

exp，

∞<<∞−x

的概率分布称为正态分布，该密度函数呈对称钟形曲线形状，见图1.1.4。

图1.1.4 正态分布的概率密度曲线，在),(2σµNσµ±处有拐点 正态分布含有两个参数µ与σ，记为，其中： ),(2σµN •µ（∞<<∞−µ）是概率密度曲线的对称中心，又是该分布的均值，即µ=)(XE；

若质量特性X服从正态分布，可记为X~，则X在),(2σµN),(2σµNµ附近取值的机会大，远离µ时取值的机会小。不同的µ表示正态分布的位置不同（见图1.1.5）。 •σ（0>σ）是该分布的标准差，是分布的方差，即。2σ2)(σ=XVarσ愈小分布

愈集中，σ愈大小分布愈分散（见图1.1.6）。

4 图1.1.5 σ相同µ不同（21µµ<） 图1.1.6 µ相同σ不同（21σσ<） 许多实际问题都可以用正态分布描述，很多场合需要计算与正态分布有关的概率。为了回答这类问题，需要研究标准正态分布，它是)1,0(N1,0==σµ的正态分布，它的概率密度函数不含任何未知参数，记为：

2/221)(ueu−

=

πϕ

， ∞<<∞−u

若将服从的随机变量记为U，则对任意实数u，形如“)1,0(NuU≤”的事件的概率可以算出：

)()()(uduuuUPuΦ==≤∫

∞−ϕ

其中称为标准正态分布的分布函数。为了避免繁杂的积分计算，人们编制了标准正态

分布函数表（见附表1.1），供实际使用。譬如，从附表1.1可查得

)(uΦ)(uΦ9357.0)52.1(=Φ 由于分布的对称性，因此有： )(1)(uuΦ−=−Φ

由此可知：0643.09357.01)52.1(1)52.1(=−=Φ−=−Φ。

为了解决一般正态分布有关概率的计算，需要下面的定理：

定理1.1.1 若X~，则),(2σµN)1,0(~NXUσµ−=

。

由该定理可知：

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛−Φ−=>

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛−Φ=≤

⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝

⎛−Φ=≤<

σµσµσµσ

µ

aaXP

bbXPabbXaP1)()(

)(

例1.1.3 设汽车电池的寿命X服从正态分布，其中),(2σµNµ

=800（天），σ=15（天）。

随机地选择一个电池，其寿命不超过760天的概率可由下式求出：

0038.09962.01)67.2(1 )67.2()67.2(15800760)760(=−=Φ−=−Φ=−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤−=≤UPXPXPσ

µ

其中是从附表1.1查得的。

9962.0)67.2(=Φ

例1.1.4 设X~，对正整数k求概率),(2σµN

()σµkXP≤−

。

解：

5