《结构力学》习题集
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第六章 位移法
一、是非题
1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
3、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
4、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程
的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
5、位移法求解结构内力时如果PM图为零，则自由项1PR一定为零。
6、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于
杆 端 位 移 。
7、位 移 法 可 解 超 静 定 结 构 ，也 可 解 静
定 结 构 。
8、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C之竖直位移为(/)38l（向下）。
/2/22llC 9、图示梁之EI=常数，固定端A发生顺时针方向之角位移，由此引起铰支端B之转角（以顺时针方向为正）是
-/2 。
ABl
10、用位移法可求得图示梁B端的竖向位移为qlEI324/。
qBAELl
11、图 示 超 静 定 结 构 ， D 为 D 点 转 角
（顺 时 针 为 正）， 杆 长 均 为 l , i 为 常
数 。 此 结 构 可 写 出 位 移 法 方 程
111202iqlD/。
PqD
二、选择题
1、位 移 法 中 ，将 铰 接 端 的 角 位 移 、滑 动
支 承 端 的 线 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ：
A. 绝 对 不 可 ；
B. 必 须 ； C. 可 以 ，但 不 必 ；
D. 一 定 条 件 下 可 以 。
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2、AB 杆 变 形 如 图 中 虚 线 所 示 ， 则 A 端
的 杆 端 弯 矩 为 ：
A.MiiilABABAB426/ ;
第6章 位移法习题解答
习题6.1 确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。（除注明者外，其余杆的EI为常数。）
EI22EIEA≠∞EA=∞≠∞EA
(a) (b) (c) (d)
习题6.1图
【解】
各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下：
（a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8
习题6.2 是非判断
(1) 位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。（ ）
(2) 位移法可用于求解静定结构的内力。（ ）
(3) 用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。（ ）
(4) 位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。（ ）
【解】
（1）正确。位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。
（2）正确。无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。
（3）正确。用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。
（4）错误。只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。
习题6.3 已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角B =/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
2Biii2M
习题 6.3图
【解】30i 。发生转角B时，可直接求得结点B所连的各杆端弯矩，再由结点B的平衡条件即可得M。
习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力FP。
105 第六节 静定结构温度变化时的位移计算
对于静定结构，杆件周围温度发生改变时，并不引起结构产生内力，但由于材料随着温度变化
而发生膨胀或收缩，这会引起截面的应变，即温度应变，从而使结构产生位移和变形。
首先推导静定结构在温度变化影响下位移的计算公式。如图6-35(a)所示某刚架，设杆件的外侧
温度上升
1t
(℃)，内侧温度上升
2t
(℃)，求由于温度改变引起K截面竖向位移
Kt
。根据单位荷载
法求位移的思路，虚设的单位荷载状态如图6-35(b)所示。
在结构位移计算的一般公式（6-12）中，若仅考虑温度变化引起的位移，式（6-12）可表示为：
SN
kttttMdsFdsFds
（6-28a）
式中，
ttt、、
分别为实际位移状态中由温度变化引起的微段ds的弯曲曲率、平均剪切应变
和轴向应变，这可以根据微段上温度改变情况来确定。
图6-35 静定结构由温度变化引起的位移计算
(a)实际位移状态(b)单位荷载状态(c) 温度引起ds微段变形
从实际位移状态中取微段ds分析，如图6-35(c)所示，假设温度变化沿杆截面厚度方向为线性分
布。此时，杆件轴线处温度变化
0t
及上下边缘温度改变的差值t
分别为：
1221
0htht
t
h
，
21-ttt
（6-28b）
式中，h
是杆件截面厚度，
1h
和
2h
分别是杆轴至截面上、下边缘的距离。如果杆件的截面是对
称截面，则
21/2hhh
，
021()/2ttt
。
对微段ds，温度变化引起的轴向变形和弯曲变形分别为：
0ttdudstds
（6-28c）
106
2121
tttttdstdstds
dds
hhh
（6-28d）
式中，
为材料的线膨胀系数。
对于杆件结构，温度变化并不引起剪切变形，即：
0
ttdds
（6-28e）
将式(6-28c)至(6-28e)代入式(6-28a)，可得静定结构由温度变化引起位移的计算公式：
位移计算的一般公式
（一）位移计算的一般公式 利用虚功原理求结构位移需要两个状态：实际位移状态
和虚设力状态。要求的位移是由给定的荷载、温度变化和材料胀
缩、支座移动和制造误差等因素引起的，以此作为结构的实际位移状态；再虚设一个恰当的力状态，即在所求位移处沿所求位移方向
加相应的单位荷载，让虚设力在实际位移上作功，利用虚功方程即可求得所求位移。这种计算位移的方法称为单位荷载法。
利用单位荷载法，由虚功方程（1-3）可得平面杆件结构位移计算的一般公式
(1-4) 式中：和、、——虚设单位荷载引起的支座反力和微段上的内力；
和、、——实际位移状态中支座位移和微段上的变形。 公式（1-4）适合静定结构和超静定结构、弹性体系和非弹性体系在
各种因素下产生的位移计算。 【注意】采用单位荷载法求结构位移，应注意以下几点：
（1）每假设一个虚拟状态，只能求出一个未知位移；
（2）所加的单位荷载应与所求位移相对应； （3）虚设单位荷载的指向可以任意假定，结果为正，说明所假设单位荷载方向与实际位移方向相同；结果为负，则说明与实际位移相反。
（二）荷载作用下的位移计算公式
计算荷载作用下的位移时，式（1-4）中的应变、、0是由荷载引起的，可按下列顺序求出：
荷载——内力——应力——应变
下面列出在荷载作用下，静定结构的单位位移的具体计算步骤：
（1）根据荷载情况，求出结构各截面的弯矩、剪力、轴力。 （2）根据内力，求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变：
（1-5a）
（1-5b）
（1-5c）
式中：E和G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量：A和I分
别是杆件截面的面积和惯性矩。EI、GA、EA分别是杆件截面的抗弯、抗剪、抗拉刚度；是剪应力分布不均匀系数。
（3）将式（1-5）代入式（1-4），即得到在荷载作用下的位移计算公式 （1-6） 须指出：上式（1-6）只适用于线弹性平面杆系结构。
关于内力的正负号可规定如下：
