江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(12)

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（12）

一、填空题（共14小题，每小题3分，满分41分）

1．设集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=x2，﹣1≤x≤2}，则M∩N=__________．

2．函数的定义域是__________．

3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=__________．

4．已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=__________．

5．若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是__________．

6．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为__________．

7．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．

8．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=__________．

9．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是__________．

10．=__________．

11．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为__________．

12．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是__________．

13．若实数a，b，c满足lg（10a+10b）=a+b，lg（10a+10b+10c）=a+b+c，则c的最大值是__________．

14．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是__________．

二、解答题（共3小题，满分20分）

15．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，y=lg的定义域为集合B．

（1）若A=B，求实数a；

（2）是否存在实数a使得A∩B=φ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．

16．已知函数f（x）=，其中b∈R．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设b＞0．若∃x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值范围．

17．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．

（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；

（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（12）

一、填空题（共14小题，每小题3分，满分41分）

1．设集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=x2，﹣1≤x≤2}，则M∩N=[0，2]．

考点：交集及其运算．

专题：集合．

分析：先求出x2﹣x﹣2≤0的解集M，由二次函数的性质求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．

解答： 解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合M=[﹣1，2]，

因为y=x2，﹣1≤x≤2，所以0≤y≤4，则N=[0，4]，

所以M∩N=[0，2]，

故答案为[0，2]．

点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式、一元二次函数的性质，属于基础题．

2．函数的定义域是{x|x＞﹣1且x≠1}．

考点：函数的定义域及其求法．

专题：计算题．

分析：欲求此函数的定义域，可由x+1＞0，且1﹣x≠0，解出x的取值范围，最终得出答案．

解答： 解：∵x+1＞0，且1﹣x≠0，∴x＞﹣1且x≠1，

故答案为：{x|x＞﹣1且x≠1}．

点评：本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．

3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=2．

考点：幂函数的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，根据幂函数y=f（x）的图象过点求出α的值，可得函数的解析式，从而求得的值．

解答： 解：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，由幂函数y=f（x）的图象过点可得

=3α，∴α=﹣，∴f（x）=， ∴==2，

故答案为 2．

点评：本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．

4．已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．

考点：二次函数的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．

解答： 解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．

由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．

所以a+b=3﹣1=2．

故答案为：2．

点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．

5．若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．

考点：特称命题．

专题：不等式的解法及应用．

分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围

解答： 解：令f（x）=2x2﹣ax+2

若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，

则f（1）＞0，或f（2）＞0

即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，

即a＜4，或a＜5

故a＜5

即实数a的取值范围是（﹣∞，5）

故答案为：（﹣∞，5）

点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．

6．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为2．

考点：根的存在性及根的个数判断．

专题：计算题． 分析：函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数即函数y=f（x）的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．

解答： 解：函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数即函数y=f（x）的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：

由于函数y=f（x）的图象与直线y=x只有2个交点，

故答案为 2．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．

7．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是[0，12）．

考点：函数的定义域及其求法．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据函数成立的条件，即可求出结论．

解答： 解：∵y=的定义域为R，

∴不等式mx2+mx+3≠0，

若m=0，则3≠0成立，

若m≠0，则等价为判别式△=m2﹣12m＜0，

解得0＜m＜12，

综上0≤m＜12，

故答案为：[0，12）

点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件以及一元二次不等式的求解．

8．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=﹣1．

考点：函数奇偶性的性质．

专题：计算题．

分析：由题设知，当x≥0时，f（x）不可能为负，故应求出x＜0时的解析式，代入f（a）=﹣2，求a的值． 解答： 解：令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x（1﹣x），

又f（x）为奇函数，所以当x＜0时有f（x）=x（1﹣x），

令f（a）=a（1﹣a）=﹣2，得a2﹣a﹣2=0，

解得a=﹣1或a=2（舍去）．

故应埴﹣1

点评：本题考点是函数奇偶性的运用，用奇偶性这一性质求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用．

9．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是2．

考点：函数的值域．

专题：新定义．

分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．

解答： 解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，

观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，

当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，

当x＞1时，f（x）=5﹣3x，

f（x）的最大值在x=±1时取得为2，

故答案为：2

点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．

10．=．

考点：对数的运算性质．

专题：计算题．

分析：利用对数的运算性质，直接化简表达式，求出它的值． 解答： 解：==﹣

故答案为：﹣

点评：本题主要考查函数值的求法，以及对数的运算，

11．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：计算题．

分析：由a，b为正实数，知函数f（x）=ax3+bx+2x是增函数，故f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，所以a+b=2．由此能求出f（x）在[﹣1，0]上的最小值．

解答： 解：∵a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，

∴f（x）在R上是增函数，

∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，

∴a+b=2．

∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2﹣1=﹣2+=﹣．

∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．

故答案为：﹣．

点评：本题考查函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

12．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．

考点：其他不等式的解法．

专题：计算题；转化思想．

分析：先得到函数在定义域上是增函数，再由函数单调性定义求解．

解答： 解：易知函数在定义域上是增函数

∴f（2﹣a2）＞f（a），