新冀教版九年级上《25.5相似三角形的性质》练习题

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A.3个B.2个C.1个D.0个2、已知两个三角形相似，对应中线之比为1：4，那么对应周长之比为（）A.1：2B.1：16C.1：4D.无法确定3、若两个相似矩形的相似比为，较小矩形面积为，较大矩形一边为，则其相邻的一边是（）A. B. C. D.4、在下列命题中：①三点确定一个圆；②同弧或等弧所对圆周角相等；③所有直角三角形都相似；④所有菱形都相似；其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.35、如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A.y=﹣B.y=﹣C.y=﹣D.y=﹣6、如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（）A.(-x, -y)B.(-2x, -2y)C.(-2x, 2y)D.(2x, -2y)7、下列各组数中，能成比例的是（）A.3，4，5，6B.-1，-2， 2，4C.-3，1，3，0D.-1，2，-3，48、如图，中，点D在线段BC上，且，则下列结论一定正确的是（）A. B. C.D.9、在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A. B. C. D.10、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是AD边上一动点(不含端点A，D)，连接PC，E是AB边上一点，设BE=a，若存在唯一点P，使∠EPC=90°，则a的值是( )A. B. C.3 D.611、如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是( )A.18B.50C.12D.12、如图，AD是⊙O的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，连结BC交AD于点E，若DE=3，BC=8，则⊙O的半径长为( )A. B.5 C. D.13、如图，四边形是正方形，是的中点，连接与对角线相交于点，连接并延长，交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A.1B.2C.3D.414、下列各组线段的长度成比例的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.2cm，3cm，4cm，5cmC.0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D.30cm，20cm，90cm，60cm15、有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长5cm，那么等地铁造好后实际长约为________千米.17、如图，点A在y＝（k＞0）图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y 轴于C.若＝，△AOB的面积为15，则k＝________.18、如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE与AC于点F，则的值是________．19、如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=60°，分别连接BC、BD，作AE平分∠BAC 交BD于点E，若BE=4，ED=8，则DF=________.20、如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE ：S△ABC=________．21、如图，菱形的对角线、交于点O，点E、F、G分别在、、上，且四边形为矩形．若，，则的长为________．22、已知，且a+b-2c=6，则a的值为________ 。

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》解答题专题训练（附答案）1．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE 于点H．（1）如图1，与△GHE相似的三角形是（直接写出答案）；（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．2．如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B ＝60°．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC＝AG•AD，求证：EG•CF＝ED•DF．4．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．5．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论．6．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．7．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB 上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD．（1）求证：∠ACF＝∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB．8．已知：▱ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．9．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB 方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？10．如图，△ABC中，BC＝30，高AD＝18，作矩形PQRS，使得P、S分别落在AB、AC 边上，Q、R落在BC边上．（1）求证：△APS∽△ABC；（2）如矩形PQRS是正方形，求它的边长；（3）如AP：PB＝1：2，求矩形PQRS的面积．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．12．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．①计算小亮在路灯AD下的影长；②计算AD的高．13．如图正方形ABCD的顶点E，F是AD和CD上的动点，与AC交于P、Q两点，AB＝1．（1）当AB＝AQ＝CP时，①求∠EBF的度数；②求以BQ为边长的正方形面积；（2）当E，F在AD，CD上运动时，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，则△BEF面积的最小值为（直接写出答案）．14．如图，已知平行四边形ABCD，过点A作BC的垂线，垂足为点E，且满足AE＝EC，过点C作AB的垂线，垂足为点F，交AE于点G，连接BG．（1）如图1，若BG＝2，AB＝6，求AC的长度；（2）如图2，取BE的中点M，在EC上取一点N，使EN＝BE，连接AN，过点M作AN的垂线，交AC于点H，求证：BG＝2CH．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．16．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D 与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．17．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF ＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）求▱DEFG对角线DF的长；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．18．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．（1）求证：EF⊥BD．（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．（3）求OF的长度．19．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；（2）当AE＝1时，求PQ的长．20．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF 交AD于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．参考答案1．（1）解：如图1中，∵GH∥AD，∴△GHE∽△ADE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△GHE∽△ADE∽△ABC，故答案为△ADE，△ABC．（2）解：∵GH∥BD，∴∠FGH∠DBF，∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，∴△BFD≌△GFH（ASA），∴BD＝GH，∵GH∥AD，∴＝＝＝，∴＝．（3）证明：如图2中，∵GH∥BD，∴＝，∵GH∥P A，∴＝，∵DH∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴PF∥AG，即PF∥AC．2．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠B＝60°，∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AE＝3，∠B＝60°，∴BE＝，CE＝4﹣．在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4，∴DE＝＝5．∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴DF＝，∴EF＝DE﹣DF＝．3．证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，∴DE＝AE＝CE，∴∠ADE＝∠A，∴∠BCD＝∠ADE．又∠ADE＝∠FDB，∴∠FCD＝∠FDB．∵∠CFD＝∠DFB，∴△CFD∽△DFB，∴DF2＝BF•CF．（2）∵AE•AC＝AG•AD，∴＝．∵∠A＝∠A，∴△AEG∽△ADC，∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，∴＝．由（1）知：△CFD∽△DFB，∴＝，∴＝，∴EG•CF＝ED•DF．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EF A；（2）∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EF A，∴，即，∴AE＝16.9，∴DE＝AE﹣AD＝4.9．5．（1）证明：如图（1），∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∴△DFG∽△DEA，∴，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴，∴＝即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FDC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝90°，∵CF⊥BD，∴∠FDE+∠DFE＝90°，∴∠CDE＝∠DFE，又∴∠DEC＝∠CDF＝90°，∴△DEC∽△FDC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥BC，∴＝＝，∵△DEC∽△FDC，∴CE•CF＝CD2＝12，∴CF＝3，∴DF＝＝，∴BC＝AD＝2．7．证明：（1）∵CG2＝GE•GD，∴．又∵∠CGD＝∠EGC，∴△GCD∽△GEC．∴∠GDC＝∠GCE．∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC．∴∠ACF＝∠ABD．（2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE．∴．又∵∠FGE＝∠BGC，∴△FGE∽△BGC．∴．∴FE•CG＝EG•CB．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，∴∠BAG＝∠DEA，∴△ABG∽△EDA（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BFE，∴＝，∴AD＝BE，∴BC＝CE，∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．9．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，∵∠B＝90°，∴分两种情况：①当时，即，解得：t＝2.4；②当时，即，解得：t＝；综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．10．（1）证明：∵四边形PQRS是矩形，∴PS∥QR，即PS∥BC，∴△APS∽△ABC；（2）解：∵四边形PQRS是正方形，∴PS＝PQ＝SR，PS∥QR，∵AD是△ABC得高，即AD⊥BC，∴AM⊥PS，即AM是△APS的高，∵△APS∽△ABC，∴，设PS＝x，∵BC＝30，高AD＝18，∴AM＝18﹣x，∴，解得：x＝，∴它的边长为：；（3）解：∵四边形PSRQ是矩形，∴PQ⊥QR，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴PQ∥AD，∴△PBQ∽△ABD，∴PQ：AD＝BP：BA，∵AP：PB＝1：2，∴PQ＝AD＝×18＝12，∵△APS∽△ABC，∴PS：BC＝AP：AB＝1：3，∴PS＝BC＝10，∴矩形PQRS的面积为：PS•PQ＝10×12＝120．11．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠ECD＝∠B，∴∠FDC＝∠B，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDC，∴＝．（2）解：∵，∴，∴，∵△FBD∽△FDC，∴，∴＝．12．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．13．解：（1）①在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝AB＝AQ，∠BAC＝45°，∴∠AQB＝＝67.5°，同理∠CPB＝67.5°，∴∠EBF＝180°﹣∠AQB﹣∠CPB＝45°，②∵AB＝BC＝AQ＝CP＝1，∠ABC＝90°，∴AC＝，∴PQ＝AQ+CP﹣AC＝2﹣，又∵∠BAP＝∠PBQ＝45°，∠AQB＝∠BQP，∴△ABQ∽△BPQ，∴＝，即BQ2＝AQ•PQ＝2﹣，故以BQ为边的正方形面积为2﹣；（2）如图，延长DC至点G，使CG＝AE，连接BG，在△ABE与△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝∠CBG+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°﹣∠EBF＝45°＝∠EBF，在△BEF与△BGF中，，∴△BEF≌△BGF（SAS），∴EF＝GF，在Rt△EDF中，EF2＝DE2+DF2≥2DE•DF，当且仅当DE＝DF时等号成立，此时EF2最小值＝2DE•DF，不妨设此时DE＝DF＝a，则AE＝CF＝1﹣a，EF＝GF＝CF+CG＝CF+AE＝2（1﹣a），由EF2＝DE2+DF2得：a+a2+[2（1﹣a）]2，即a2﹣4a+2＝0，解得a＝2﹣或a＝2+（舍去），∴EF2最小值＝2a2，∴EF最小值＝a∴△BEF面积的最小值＝△BCF面积的最小值＝BC•GF＝EF最小值＝﹣1，故答案为：﹣1．14．解：（1）∵AE⊥BC，AE＝EC，∵AB⊥CF，∴∠ABE+∠BAE＝∠ABE+∠BCF＝90°，∴∠BAE＝∠BCF，在△AEB和△CEG中，∴△AEB≌△CEG（ASA），∴BE＝GE，∴△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝BG＝2，在Rt△AEB中，∵AB＝6，∴AE＝＝4，∴AC＝AE＝8；（2）解法一：证明：取GE的中点K，连接KM，KC，∴GK＝KE，∵点M和点E为BN的三等分点，∴ME＝EN＝BM，∴KM为△BEG的中位线，∴KM∥BG，KM＝BG，由（1）知△AEB≌△CEG，∴BE＝GE，∴KE＝EN，∴∠KME＝∠GBE＝∠ACE＝45°，在△AEN和△CEK中，∴△AEN≌△CEK（SAS），∴∠EAN＝∠ECK，∵AN⊥HM，∴∠EAN＝∠HME，∴∠MCK＝∠HNE，在△MKC和△CHN中，∴△MKC≌△CHN（ASA），∴KM＝CH，∴BG＝2CH．解法二：过H作HK⊥BC于K，则△CHK是等腰直角三角形，∴CK＝HK，设AE＝EC＝a，EM＝EN＝b，HK＝KC＝x，∵AN⊥NH，∴∠EAN+∠ANE＝∠ANE+∠KMH＝90°，∴∠EAN＝∠HMN，∴△AEN∽△MKH，∴＝，∴＝，∴x＝b，∴BE＝2EM＝2HK，BG＝2CH．15．（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．16．解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M∵∠ABG＝150°，BE⊥CB∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°∴∠MFB＝30°∵BF的长为2米，∴BM＝1米，MF＝米∵BE⊥CB，MF⊥BE∴BH∥MF∴△EBH∽△EMF∴＝又∵EB＝1.8米∴＝∴BH＝∵BE∥CD∴△HBE∽△HCD∴＝∵CB＝5∴＝∴CD＝15.8米∴大树CD的高度为15.8米．17．解：（1）如图1所示：连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；故▱DEFG对角线DF的长．（2）如图2所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，∵▱DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠AED＝∠BFE，又∵∠A＝∠EBF＝90°，∴△DAE∽△EBF（AA）∴，∴，解得：x＝1，或x＝2①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，如图3（甲）所示：∵▱DEFG为矩形，∴∠A＝∠ABF＝90°，又∵BF＝1，AD＝2，∴在△ADE和△BEF中有，，∴△ADE≌△BEF中（SAS），∴DE＝EF，∴矩形DEFG是正方形；在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴BH＝＝，又∵△BEF∽△FHB，∴，HF＝，在△BPH和△GPF中有：，∴△BPH∽△GPF（AA），∴∴PF＝，又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴．②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，如图3（乙）所示：∵▱DEFG为矩形，∴∠A＝∠EBF＝90°，∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：∴ED＝＝＝2，EF＝＝＝，∴∠ADE＝45°，又∵四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，∠EDG＝90°，∴DG＝，∠HDG＝45°，∴△DHG是等腰直角三角形，∴DH＝HG＝1，在△HGQ和△BCQ中有，∴△HGQ∽△BCQ（AA），∴，∵HC＝HQ+CQ＝2，∴HQ＝，又∵DQ＝DH+HQ，∴DQ＝1+＝，∵AB∥DC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴＝，综合所述，BP：QG的值为或．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵EF∥AC，∴EF⊥BD；（2）证明：∵EF∥AC，∴＝，＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CP，OA＝OC，∴＝，即＝，∴AO∥DP，∵AD∥CP，∴四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，∵四边形ACPD为平行四边形，∴CP＝AD＝BC，∴＝，∵AD∥BP，∴＝＝，∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，∵DO＝BD＝，∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，∴∠DFE＝45°，∴EF＝DE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．19．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．②∵△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴＝，∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠QDP＝∠QAE＝45°，∴∠DPE＝90°，∴DP⊥EF，∵DE＝DF，∴PE＝PF，∴DP垂直平分线段EF．（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x+×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．综上所述，PQ的长为或．20．（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴＝，∴AD2＝AC•AE，∵AC＝AB，∴AD2＝AB•AE．解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．（2）解：如图，连接DF．∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DF＝AB＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，∴＝＝＝，∴＝．。

冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB 的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.AB 2=AP•ACD.2、已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )A. B. C.D.3、如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )A.DE∥BCB.∠ADE=∠ACBC.D.4、下列各组图形一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等边三角形C.两个菱形D.两个矩形5、如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是( )A. BC∶ DE=1∶2B.△ ABC的面积∶△ DEF的面积=1∶2C.∠ A 的度数∶∠ D的度数=1∶2D.△ ABC的周长∶△ DEF的周长=1∶26、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．AB＝8cm，则AB边上高等于（）A.3 cmB.6 cmC.9cmD.12cm7、如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A. B. C. D.8、在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A.1:20B.1：20000C.1：200000D.1：20000009、如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分別与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（）A.连接BD，可知BD是△ABC的中线B.连接AE，可知AE是△ABC的高线 C.连接DE，可知 D.连接DE，可知S△CDE ：S△ABC＝DE：AB10、下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形11、如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE ：S△CAB=1：4．其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④12、如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A.（0，0），2B.（2，2），C.（2，2），2D.（1，1），13、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A.7B.14C.21D.2814、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A.10米B.12米C.15米D. 米15、如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（）对.A.2对B.3对C.4对D.5对二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时，平移的距离的长为________.17、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为________18、如图，ACM中，ABC、BDE和DFG是等边三角形，点E、G在ACM边CM上，设ABC，BDE和DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S 1=8，S3=2，S2=________.19、小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高1.75米，他的影长为2.0m，小刚比小明矮5cm，此刻小明的影长是________ m．20、如图，在矩形中，，，是的黄金分割点（），是上一点，将沿直线折叠，点落在边上的点处，再将沿直线折叠，点落在上的点处，则的长为________．21、如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：① ，② ，③ ，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有________．22、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为________．23、如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k ＝________．24、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为________.25、如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．求点P的坐标．28、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．29、如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．30、如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，求证：△DAF∽△AEB.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、C4、B5、D6、B7、D8、D9、B10、C11、A12、B13、B14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。