八年级上册数学- 因式分解
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第21讲 因式分解
【板块一】因式分解的基本方法
题型一 提公因式法
【例1】分解因式
(1)232212615a x abx y acx +-；
(2)()()()()2223326a b x y b c a b x y b c ++-++；
(3)()()()32222x y x y x y +-+++；
(4)()()()()23322323x y x y y x x y --+-+；
(5)()()
2212n n a a b b b a --+-；
(6)()2211a b b b b -+-+-.
题型二 公式法
（一）平方公式法
【例2】分解因式：
(1)()()2294m n m n --+； (2)()()22a b c d a b c d +++--+-；
(3)34xy xy -； (4)()()22a x y b y x -+-.
（二）完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+；()2222a ab b a b -+=-
【例3】分解因式：
(1)2292416x xy y -+； (2)()()222248416x x x x ++++.
（三）立方公式
立方和、差公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+；()()3322a b a b a ab b -=-++
完全立方公式：()3322333a a b ab b a b +++=+；()3322333a a b ab b a b -+-=-；
()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---.
【例4】分解因式：
(1) 523972x x y -； (2)32228273654x y x y xy +++.
题型三 分组分解法
（一）分组后可提公式
方法技巧：①将原式适当分组；②每组有公因式可提.
一位高明的棋手，在下棋时绝不会只看第一步，同样，在进行分组分解的时候，不仅要看到第二步，而且要看到第三步.
【例5】分解因式：
(1)22424x y x y --+； (2)22x y x y ---.
（二）分组后可用公因式子
技巧：分组后可用公式法
【例6】分解因式： (1)22114
x xy y -+-； (2)222221a ab b c c -+---.
题型四 十字相乘法
十字相乘法：先看一个乘法公式()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.利用这个乘法公式我们可以得到分解形如2x px q ++的二次三项式的方法：如果我们可以找到两个数,a b ，使得常数项为两者的积，同时一次项
为两者的和，也即ab q
=，a b p
+=,如下图：
a
b
c
d
b
a
1
1
a b p
+=，ab q
=ab A
=，ab C
=, ad bc B
+=
第一列的积为1×1=1为二次系数项；第二列的积为a b q
⨯=为常数项；列间的交叉成乘积11
b a a b p
⨯+⨯=+=为一次项系数.
那么我们就完成了对2x px q
++的因式分解：()()
2
x px q x a x b
++=++.
对于二次项系数不为1，则()()
2
Ax Bx C ac c bx d
++=++.
【例7】分解因式：
(1)256
x x
++；(2)268
x x
-+；(3)26
x x
--.
【例8】因式分解：
(1)2
376
a a
--；(2)2
5129
x x
+-.
【例9】因式分解：
(1)42
730
x x
+-；(2)()()
2412
x y x y
+-+-.
题型五双十字相乘
【例10】分解因式：
(1)22
2332
x xy y x y
+-+++(2)222
695156
x xy y xz yz z
-+-++.
题型六拆添项
【例11】因式分解：
针对练习1
1.分解因式：
(1)23361412abc a b a b --+ (2)32461512a a a -+-
(3)()22224x a x a x +--； (4)()()2121m m p q q p +--+-
2.因式分解
(1)()22a b c +-
(2)()2242y z x --
(3)481y -
(4)22122x y -+
(5)()223216x y y --
(6)()()44a x a x +--
3. 分解因式：
(1)()2222224c a b a b ---
(2)()222416x x +-
4. 分解因式：
(1)66a b +
(2)642729243271a a a -+-
5. 分解因式：
(1)2221a b ab +--；
(2)22216x xy y -+-
(3)()()3322ax y b by bx a y +++.
6. 分解因式：
(1)2263x x --+；
(2)222064x xy y -+
7. 分解因式：
(1)26117x x --+
(2)2321227x x --
8. ()()2222
483482x x x x x x ++++++
9. 分解因式：
(1)222252y xy x ay ax a -+---；
(2)2227225353a ab b a b ---+-；
(3)22225452x y xy x y +++++.
10.
(1)326116x x x +++；
(2)322x x +-；
(3)4231x x -+ (4)4224781x x y y -+
板块二 因式分解应用
题型一 求值
【例12】若x ,y 满足2222210x y xy y +--+=，求52x y +的值.
【练12】 已知225a b +=，222c d +=，求代数式()()22
ac bd ad bc ++-的值.
题型二 巧算
【例13】计算：32321997219971995199719971998
--+- 【练13】计算：
(1)44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2) 332
1999100099919991000999
--⨯⨯.
题型三 证明
【例14】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.
【练14】若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.
题型四 判定三角形的形状
【练15】若a ,b ,c 为△ABC 的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则△ABC 按边分类，应是什么三角形？
针对练习2
1. 已知()22210x y x y +--+=，则()
999x y += ____ .
2. 已知12020a x =
+，11920b x =+，12120
c x =+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值.
3.已知三个数,,a b c 满足方程222214229221b ac c ab a bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a b c ++的值.
4．已知a ，b ，c ，d 为非负整数，且ac ＋bd ＋ad ＋bc ＝1997．求a ＋b ＋c ＋d 的值．
5．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，求x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值．
6．已知正数a ，b ，c 满足ab ＋a ＋b ＝bc ＋b ＋c ＝ac ＋a ＋c ＝3，求（a ＋1）（b ＋1）（c ＋1）的值．
8．已知n为正整数，且n4－16n2＋100是质数，求n的值．。
