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matlab最佳平方逼近

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数值分析第一次试验

最佳平方逼近试验

任 兵（200820302025）

一、问题叙述

求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。

二、问题分析

由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(baCxf，如果存在

*01(){(),(),,()}nSxSpanxxx

使得

22*()()()min()()()bbaaaxbxfxSxdxxfxsxdx

则称S*(x)是f (x)在集合01{(),(),,()}nSpanxxx中的最佳平方逼近函数。

显然，求最佳平方逼近函数)()(0**xaxSjnjj的问题可归结为求它的系数**1*0,,,naaa，使多元函数

dxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),,,(

取得极小值，也即点(**1*0,,,naaa)是I (a0, …，an)的极点。由于I (a0, a1, …，an)是关于a0, a1, …，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，

0kaI (k = 0, 1, 2, …, n)

即

0)()()()(20dxxxaxfxaIkjnjjbak

得方程组

),,2,1,0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjj

如采用函数内积记号 ,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk

那么，方程组可以简写为

0(,)(,)(0,1,2,,)nkjjkjafkn……………...（1）

这是一个包含n + 1个未知元a0, a1, …, an的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为

0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf…………（2）

此方程组叫做求aj (j = 0, 1, 2, …, n)的法方程组。

显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn = Gn (0, 1, …, n)。由于0,

1, …, n线性无关，故Gn  0，于是上述方程组存在唯一解),,1,0(*nkaakk。从而肯定了函数f (x)在01{(),(),,()}nSpanxxx中如果存在最佳平方逼近函数，则必是

**0()()njjjSxax……………………………...（3）

三、实验程序

1、最佳平方逼近算法

（1） 输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}和权函数；

（2） 解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；

（3） 由式（3）得到函数的最佳平方逼近。

2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：

（1）第一个程序（函数名：squar_approx.m）

计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：

function S=squar_approx(a,b,n) ％定义逼近函数

global i;global j; ％全局变量 if nargin<3 n=1;end ％判断

Phi2=zeros(n+1); ％生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组

for i=0:n

for j=0:n;

Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b); ％求rho_phi积分

end

end

PhiF=zeros(n+1,1); ％生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组

for i=0:n

PhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); ％求fun_phi积分

end

s=Phi2\PhiF;

（2）第二个程序（函数名：rho_phi.m）

代码如下：

function y=rho_phi(x)

global i;global j;

y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);

（3）第三个程序（函数名：fun_phi.m）

function y=fun_phi(x)

global i;

y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);

四、试验结果

f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。

（1）编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数；

function y=rho(x) ％外部函数

y=1;

function y=phi_k(x,k) ％多项式函数

if k==0

y=ones(size(x));

else

y=x.^k;

end

function y=obj(x) ％被逼近函数

y=exp(x)

（2）当求的是二次逼近时得到如下结果

>> clear

>> S=squar_approx(-1,1,2)

S =

0.9963

1.1036

0.5367

绘制两者的图形：

>> fun='exp(x)';

>> fplot(fun,[-1,1])

>> hold on

>> xi=-1:0.1:1;

>> yi=polyval(S,xi);

>> plot(xi,yi,'r:')

得到如下结果：

原函数exp(x)二次逼近

（3）当求的是三次逼近时得到如下结果

>> S=squar_approx(-1,1,3)

S =

0.9963

0.9980

0.5367

0.1761

绘制图形如下：

>> fun='exp(x)';

>> fplot(fun,[-1,1])

>> hold on

>> xi=-1:0.1:1;

>> yi=polyval(S,xi);

>> plot(xi,yi,'r:')

得到如下所得图形： 原函数exp(x)三次逼近

五．试验结论

在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。从试验结果看出三次逼近没有二次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。

合集下载

最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现

最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现

曲线拟合（curve-fitting）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(miyxii求一个近似的函数)(x来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x最好地逼近xf，而不必满足插值原则。因此没必要取)(ix=iy，只要使iiiyx)(尽可能地小）。

原理：

给定数据点},...2,1,0),,{(miyxii。求近似曲线)(x。并且使得近似曲线与xf的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差iiiyx)(，i=1,2,...,m。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

2.使偏差绝对值最大的最小

3.使偏差平方和最小

最小二乘法：

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3. 问题转化为求待定系数0a...ka对等式右边求ia偏导数，因而我们得到了：

.......

4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB实现：

MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)

[p,s]= polyfit(x,y,n)

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)

x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

matlab计算拟合误差

matlab计算拟合误差

matlab计算拟合误差

在MATLAB中，可以使用不同的方法计算拟合误差。以下是几种常见的方法：

1. 平方误差（Sum of Squared Errors, SSE）：

平方误差是通过计算实际观测值与拟合值之间的差异的平方，并对所有差异求和得到的。可以使用`sum`函数来计算平方误差。

```matlab

% 实际观测值

y_actual = [1, 2, 3, 4, 5];

% 拟合值

y_fit = [0.8, 1.9, 2.8, 3.9, 5.1];

% 计算平方误差

sse = sum((y_actual - y_fit).^2);

```

2. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）：

均方误差是平方误差除以观测值的数量，即平方误差的平均值。可以使用`mean`函数来计算均方误差。

```matlab

% 计算均方误差

mse = mean((y_actual - y_fit).^2);

```

3. 平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）：

平均绝对误差是通过计算实际观测值与拟合值之间的差异的绝对值，并对所有差异求平均得到的。可以使用`mean`函数来计算平均绝对误差。

```matlab

% 计算平均绝对误差

mae = mean(abs(y_actual - y_fit));

```

这些方法可以根据具体的拟合问题和要求选择合适的方法来计算拟合误差。请注意，在使用这些方法时，需要确保实际观测值和拟合值的向量长度相等。

最小二乘法及matlab程序

最小二乘法及matlab程序

。

。 1 最小二乘法及matlab程序

最小二乘法简介：

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法的矩阵形式：Axb 若未知量的个数大于方程的个数，则方程无解，但在数值计算领域，我们通常是计算min||||Axb ，解出其中的x 。比较直观的做法是求解TTAAxAb ，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对 A进行QR分解（A=QR），其中Q是nk正交矩阵（Orthonormal Matrix），R是nk上三角矩阵（Upper Triangular Matrix），则有：1minminminAxbQRxbRxQb。

Matlab命令：

一次函数线性拟合使用polyfit（x,y,1）；

多项式函数线性拟合使用 polyfit（x,y,n），n为次数；

例如：

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];

p=polyfit(x,y,2)

x1=0.5:0.5:3.0;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

计算结果为：

p =0.5614 0.8287 1.1560 。

。 2 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560

然后可以使用polyval在t处预测： y_hat=polyval(p,t)

非线性函数使用：lsqcurvefit、nlinfit

格式:lsqcurvefit(f,a,x,y)、nlinfit(x,y,f,a)

f:符号函数句柄,如果是以m文件的形式调用的时候,别忘记加@.这里需要注意,f函数的返回值是和y匹对的,即拟合参数的标准是(f-y)^2取最小值,具体看下面的例子

matlab 最小二乘 超定方程 举例

matlab 最小二乘 超定方程 举例

Matlab中的最小二乘法在解决超定方程组问题时起到了很大的作用。下面我们将以实际的例子来说明Matlab如何使用最小二乘法解决超定方程组问题。

1. 我们需要明确什么是超定方程组。超定方程组是指方程的数目大于未知数的数目，这样的方程组往往没有精确解。在实际问题中，经常会遇到这样的情况，例如在数据拟合、信号处理、控制系统等领域。

2. 我们需要了解最小二乘法的原理。最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化误差的平方和来求解未知参数。在超定方程组中，最小二乘法可以用来寻找方程组的最佳拟合解，即使得方程组的误差最小化的解。

3. 接下来，我们以一个简单的线性拟合问题来演示Matlab中最小二乘法的应用。

假设我们有一组数据点(x,y)，其中x是自变量，y是因变量。我们希望找到一条直线y=ax+b来最佳拟合这组数据点。这意味着我们需要找到参数a和b使得数据点到直线的误差最小。

4. 在Matlab中，我们可以使用polyfit函数来进行最小二乘拟合。该函数的调用方式为：

``` matlab p = polyfit(x, y, 1);

```

其中x和y是数据点的坐标，1表示拟合的多项式次数，这里是一次直线拟合。调用polyfit函数后，我们可以得到拟合出的直线的系数。

5. 为了验证拟合的效果，我们可以使用polyval函数来计算拟合出的直线在自变量x处的预测值。该函数的调用方式为：

``` matlab

y_fit = polyval(p, x);

```

y_fit就是拟合出的直线在对应x处的预测值。

6. 我们可以将原始数据点和拟合出的直线一起绘制在同一张图上，以直观地看出拟合效果如何。我们可以使用plot函数来绘制数据点和直线，使用legend函数来加上图例，方便对比。

通过以上步骤，我们可以在Matlab中使用最小二乘法来解决超定方程组问题，例如进行数据拟合、信号处理等。这种方法可以帮助我们找到最佳拟合方程，从而更好地理解数据的特性，或者用于预测未知数据点的结果。