数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析方案(内含matlab程序)

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（4.1）
min b (x)[f(x)S(x)2 ]d.x S(x) a
则称 S * (是x ) 在f (子x)集
中的C最[a佳,b平] 方逼近
函数.
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由（4.1）可知该问题等价于求多元函数
I(a 0 ,a 1 , ,a n)a b
n
(x )[a j j(x )f(x )]2dxBiblioteka （4.2）若记集合的下确界为
EnP in n Hn{ f(f,Pn)}P in H n nm a fx ba f(x x)P n(x),（3.2）
则称之为 f ( x在) [上a , 的b ]最小偏差.
2
定义8
假定 f C[a,b],若存在 Pn*(x)Hn 使得
(f,Pn*)En,
27
例5 设 f(x) 1x2, 求 [0,上1]的一次最佳平方 逼近多项式.
解 利用（4.7），得
1
d0 0
于是方程组（4.3）有唯一解 a ka k * (k0 ,1 , ,n ),
S * (x ) a 0 *0 (x ) a n *n (x ).
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下面证明 S满* (足x )（4.1）， 即对任何 S(x), 有
b( x )f[ ( x ) S * ( x )2 d ] x b( x )f[ ( x ) S ( x )2 d ] x
P ( x k ) f ( x k ) ( 1 ) k P ( x ) f ( x ) , 1, （3.4）
这样的点组称为切比雪夫交错点组.
证明
只证充分性.
假定在 [a上, b有] 个n点使2（3.4）成立，
P ( x) 是 f ( x在) [上a , 的b ]最佳逼近多项式

x dx cos xdx 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
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阜师院数科院第六章 函数逼近

b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
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下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0

第四章最佳逼近学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和方法、以及最小二乘法常用的正交多项式以及正交多项式的性质。

重点为最佳一致逼近和最佳平方逼近的特征性质（如契比雪夫定理等）以及最佳一致逼近和最佳平方逼近多项式的计算方法。

§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间，简记为C[a,b]。

为描述方便，引进符号函数 ，称为C[a,b]上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为∞⋅],[],[,)(max b a b a x C f x f f ∈∀=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合. 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。

{}n n x x span P ,,,1 =对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量：)()(min ),(x p x f P f n P p n -=∆∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。

满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。

围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。

定理（契比雪夫定理） 对任意是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。

n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果 ，那么在中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且 在（a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。

)1(+n f§4.3 最佳平方逼近假设X是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数（·，·）：（1）（x, y）=（y, x），x, y∈X；（2）（αx, y）=α（x, y），x, y∈X；α∈R；（3）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X；（4）（x, y）≥0，x, y∈X, （x, y）=0↔x=0则称X为内积空间。

数学软件实验任务书实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近1 实验原理设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。

通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数0()()nj j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x bf x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。

使()()()0lim b pa n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。

比较常用的p=2，称为平方逼近。

设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式()f x P εε-<对所有[,]x a b ∈一致成立()()max n a x b f x P x ≤≤-则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。

求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）3 实验程序function g=cheby(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);function s=lag(x,y,t)syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;endf=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出逼近函数图形subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),grid subplot(2,2,2),ezplot(z1),grid subplot(2,2,3),ezplot(z2),grid subplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改变背景为白色set(gcf,'color','white')4 实验结果z1 =-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2 =.2001*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.2 5z3 =-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^1 0+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.520 9*x^3+.9981*x^2+.9729*x实验2 Chebyshev最佳平方逼近1 实验数据的5 次最佳求函数()arccos,(11)=-≤≤关于权函数f x x x平方逼近。