第四次实验最佳平方逼近

2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数肖夏， 29，R数学12-1班一、算法理论设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。

以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间H =Span{φ0,φ1,…，φm }则H 中的任意一个元素为p (x )=∑c j φj (x )mj=0对空间C[a,b]的任意两个函数f ，g ，定义内积(f,g )=∫ω(x )f (x )g (x )dx ba对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p ∗(x )∈H ，满足(f −p ∗,f −p ∗)=min p∈H (f −p,f −p )则称p ∗(x )为子空间H 中对于f(x)的最佳逼近平方元素。

特别地，若φj (x )=x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ∗(x )∈H ，为函数f (x )在区间[a,b]上带权ω(x )的m 次最佳平方逼近多项式。

设f(x)∈C[a,b]，p ∗(x )∈H 是子空间H 中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(f −p ∗,φj )=0，(j =0,1,…,m)或对于任意一个p (x )，总有(f −p ∗,p )=0。

求最佳平方逼近元素p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0，只要求出c k ∗。

因(f −p ∗,φj )=(f,φj )−∑c k ∗(φi ,φj )=0mk=0得∑c k ∗(φi ,φj )=(f,φj )mk=0得((φ0,φ0)⋯(φ0,φm )⋮⋱⋮(φm ,φ0)⋯(φm ,φm ))(c 0∗⋮c m ∗)=((f,φ0)⋮(f,φm )) 求出c k ∗，带入p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0即可。

二、算法框图三、算法程序function S=abc(n,a,b) //创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义quan=inline('1','x');for k=1:(n+1)for j=1:(n+1)syms xl(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); endy(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是f(x) endl;y';c=vpa(inv(l)*y',3)p=0;for i=1:(n+1)p=p+c(i)*base(x,i);endp四、算法实现例1.求f (x )=√x 2+1在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。

这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。

最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。

这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。

具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。

然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。

最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：
确定逼近函数的形式，例如多项式函数。

确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。

计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。

最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。

最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。

如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。

在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。

用MATLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。

并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。

二. 程序功能要求：在后面的附一leastp.m 的基础上进行修改，使其更加完善。

要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。

所编程序具有以下功能：1.用Lengendre 多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。

可利用递推关系0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x nn --===---⎡⎤⎣⎦=2.被逼近函数f(x)不用内联函数构造，而改用M 文件建立数学函数。

这样，此程序可通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。

3.要考虑一般的情况。

因此，程序中要有变量代换的功能。

]1,1[],[)(+-≠∈b a x f 4.计算组合系数时，计算函数的积分采用变步长复化梯形求积法（见附三）。

5.程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。

另外，程序中也要有必要的反馈信息。

6.程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点(可以是一个数值或向量)0x （2）区间端点：a,b 。

7. 程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,nc c c c （2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()n n s x c P x c P x c P x c P x =++++ 三：数值试验要求：1.试验函数：；也可自选其它的试验函数。

()cos ,[0,4]f x x x x =∈+2.用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。

3.分别求二次、三次、。

最佳平方逼近函数。

）x s (4.分别作出逼近函数和被逼近函数的曲线图进行比较。

）x s ()(x f （分别用绘图函数plot(,s())和fplot(‘x cos x ’,[x 1 x 2,y 1,y 2])）0x 0x 四：计算实习报告要求：1.简述方法的基本原理，程序功能，使用说明。

§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。

一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。

例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。

例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。

定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。

二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。

例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。

内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。

最佳平方逼近拟合你有没有想过，为什么我们生活中的许多东西都可以用一个简单的曲线或者直线来表示呢？好比说，我们走路的速度，车开到某个地方的距离，甚至是你早上喝几杯咖啡的频率。

哎呀，可能你会觉得这些和数学沾不上边，但它们都有一个共同点——那就是“最佳平方逼近拟合”！是不是听起来很复杂，像是哪个天才数学家发明的理论，搞得大家都一头雾水？其实也没那么神秘，它不过是让我们用简单的线条来描述一些看似杂乱无章的事物罢了。

你想象一下，假如你拿着一支笔在纸上画个点，嗯，就像你随便画了个点在纸上，完全不考虑它是不是在一条直线上。

这些点就好像你生活中的一堆数据，乱糟糟的，哪儿也不想待。

可问题是，生活本来就这么不规则，对吧？你一不小心就走了个弯路，或者一顿饭吃得太多，体重表上就跳起来了几个数字。

说真的，这些数据如果放在一起，真的看起来有点让人头疼。

可是，生活总是有办法的，不是吗？在这些乱七八糟的点中间，总得有一条线能把它们拉得有模有样，让它们看起来不那么难看。

这时候，“最佳平方逼近拟合”就来了。

说简单点，就是给这些乱七八糟的点找一条最合适的线，线能代表这些点的趋势，就像是给一堆散乱的想法找到了一个中心思想。

你看，数学家就是这么聪明！他们发现，只要我们找到一条能最小化所有点和线之间距离的直线，咱们就能用这条线“逼近”数据中的规律。

这就像是你拍了一张照片，原本照片里有好多不太好看的地方，结果你修修图，找到了一个最佳的曝光度和色调，嘿！整张照片看起来都美了。

再说白了，最佳平方逼近拟合就像是你和一群朋友吃饭，大家都说着话，吃着菜，突然你说：“哎，咱们来个自拍吧！”大家都想凑到镜头里，结果每个人都挤成一团，有些人脸上还没照到，最远的几个人脸都模糊了。

这时候你得微微后退一步，调整一下角度，把大家都拍进镜头，拍出来的效果会让大家都满意。

其实就是在做一种调整，找到那个“最适合”的位置。

虽然每个人的位置稍有不同，但最终画面却是一个完美的合照，不是吗？好啦，搞清楚了怎么回事，那这些“乱七八糟”的点是怎么产生的呢？简单来说，生活中一切的数据，几乎都不是完美的。

最佳平方逼近和最小二乘法哎呀，今天我们来聊聊一个挺有意思的话题，那就是最佳平方逼近和最小二乘法。

这听起来好像挺高大上的样子，其实呢，咱们可以把它变得简单易懂。

想象一下，你在阳光明媚的下午，喝着冰凉的饮料，跟朋友闲聊。

说起这些数学名词，大家可能会皱眉头，但我跟你说，这其实跟咱们生活中遇到的那些小烦恼有着千丝万缕的联系。

什么是最佳平方逼近呢？就像你和朋友一起找地方吃饭。

你们各自都提出了自己的想法，但最后为了避免争吵，大家决定选择一个最符合大家口味的地方。

这个过程就像是在给一堆数据点找到一个最合适的“朋友”。

想象一下，在坐标系上，有一堆点在那儿乱七八糟地分布着。

你想找一条线，尽量让这条线离这些点都近一点儿。

没错，这就是最佳平方逼近。

它试图找到那条线，让所有点到这条线的距离平方和最小。

简单点说，就是尽量让大家都满意。

再说说最小二乘法。

这名字听上去像个数学怪物，但其实它就是一种聪明的方式，帮助我们处理那些烦人的数据。

咱们可以把它想象成在考场上，有些同学的分数特别高，有些则低得让人心疼。

如果你只看最高分和最低分，可能会觉得这次考试的结果一片惨淡。

但如果你用最小二乘法来分析，那就好像给每个人的分数加了个权重，最终得出的平均分就能更真实地反映出大家的水平。

你可能会问，这俩东西有什么关系呢？嗯，其实它们是一对好搭档。

最佳平方逼近就是在找一条线，而最小二乘法则是在告诉你怎么画出这条线。

就像你要画一个完美的心形，光靠眼睛估计可不行，得有个具体的方法。

最小二乘法就像那把尺子，帮你量出每个点到线的距离，让你知道要怎么调整，才能画得又圆又满。

而且啊，这些方法可不光是在数学课上用得着。

咱们的日常生活中也是到处都是应用。

比如你在超市买水果，有些橙子很便宜，有些却贵得让你心疼。

你可能想知道，橙子的价格到底是个什么水平。

于是，你就可以用最小二乘法来分析这批橙子的价格走势，看看哪些便宜又好吃，哪些是价格虚高。

结果一出来，你就能得出一个合理的消费建议，哎呀，简直太棒了！还有呢，想想你在网上购物时，看到的那些评价。