matlab最佳平方逼近教学内容

m a t l a b最佳平方逼近
最佳平方逼近试验
任 兵（200820302025）
一、问题叙述
求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。

二、问题分析
由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在
*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈L
使得
[]22
*()()()min ()()()b b a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰ 则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕL 中的最佳平方逼近函数。

显然，求最佳平方逼近函数)()(0
*
*
x a x S j n
j j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求它的系数**1*0,,,n a a a Λ，使多元函数 dx x a x f x a a a I j n j j b
a n 2
010)()()(),,,(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑⎰=ϕρΛ
取得极小值，也即点(**1*0,,,n a a a Λ)是I (a 0, …，a n )的极点。

由于I (a 0, a 1, …，a n )
是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，
0=∂∂k
a I (k = 0, 1, 2, …, n ) 即
[]0)()()()(20=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂∑⎰=dx x x a x f x a I k j n j j b a k ϕϕρ
得方程组
),,2,1,0(,)()()()()()(0n k dx x x f x dx
x x x a k b a j k b
a n j j Λ==⎰⎰∑=ϕρϕϕρ
如采用函数内积记号
,)()()(),(,)()()(),(dx x x f x f dx x x x k q a k j k b
a j k ϕρϕϕϕρϕϕ⎰⎰==
那么，方程组可以简写为
0(,)(,)
(0,1,2,,)n k j j k j a f k n ϕϕϕ===∑L (1)
这是一个包含n + 1个未知元a 0, a 1,
…, a n 的n + 1阶线性代数方程组，写
成矩阵形式为 000100010
1111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭L L M M L L L L L …………（2） 此方程组叫做求a j (j = 0, 1, 2, …, n )的法方程组。

显然，其系数行列式就是克莱姆行列式G n = G n (ϕ0, ϕ1, …, ϕn )。

由于ϕ0, ϕ1, …, ϕn 线性无关，故G n ≠ 0，于是上述方程组存在唯一解
),,1,0(*n k a a k k Λ==。

从而肯定了函数f (x )在01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕL 中如果存在最佳平方逼近函数，则必是
*
*
0()()n
j j j S x a x ϕ==∑……………………………...（3） 三、实验程序
1、最佳平方逼近算法
（1）输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}和权函数；
（2）解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；
（3）由式（3）得到函数的最佳平方逼近。

2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：
（1）第一个程序（函数名：squar_approx.m）
计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：
function S=squar_approx(a,b,n) ％定义逼近函数
global i;global j; ％全局变量
if nargin<3 n=1;end ％判断
Phi2=zeros(n+1); ％生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组
for i=0:n
for j=0:n;
Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b); ％求rho_phi积分
end
end
PhiF=zeros(n+1,1); ％生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组
for i=0:n
PhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); ％求fun_phi积分
end
s=Phi2\PhiF;
（2）第二个程序（函数名：rho_phi.m）
代码如下：
function y=rho_phi(x)
global i;global j;
y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);
（3）第三个程序（函数名：fun_phi.m）
function y=fun_phi(x)
global i;
y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);
四、试验结果
f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。

（1）编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数；
function y=rho(x) ％外部函数
y=1;
function y=phi_k(x,k) ％多项式函数
if k==0
y=ones(size(x));
else
y=x.^k;
end
function y=obj(x) ％被逼近函数
y=exp(x)
（2）当求的是二次逼近时得到如下结果
>> clear
>> S=squar_approx(-1,1,2)
S =
0.9963
1.1036
0.5367
绘制两者的图形：
>> fun='exp(x)';
>> fplot(fun,[-1,1])
>> hold on
>> xi=-1:0.1:1;
>> yi=polyval(S,xi);
>> plot(xi,yi,'r:')
得到如下结果：
原函数exp(x)
二次逼近
（3）当求的是三次逼近时得到如下结果
>> S=squar_approx(-1,1,3)
S =
0.9963
0.9980
0.5367
0.1761
绘制图形如下：
>> fun='exp(x)';
>> fplot(fun,[-1,1])
>> hold on
>> xi=-1:0.1:1;
>> yi=polyval(S,xi);
>> plot(xi,yi,'r:')
得到如下所得图形：
原函数exp(x)
三次逼近
五．试验结论
在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。

从试验结果看出三次逼近没有二次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。